WikiDer > Водовороты Моффатта

Водовороты Моффатта представляют собой последовательности водовороты которые развиваются в углах, ограниченных плоскими стенками (или иногда между стеной и свободной поверхностью) из-за произвольного возмущения, действующего на асимптотически больших расстояниях от угла. Хотя источником движения является произвольное возмущение на больших расстояниях, вихри развиваются совершенно независимо, и поэтому решение этих вихрей возникает из проблемы собственных значений, a автомодельное решение второго рода.

Водовороты названы в честь Кейт Моффатт, открывший эти водовороты в 1964 г.,^[1] хотя некоторые результаты уже были получены Уильям Реджинальд Дин и П. Э. Монтаньон в 1949 г.^[2] Лорд Рэйли также изучал задачу обтекания около угла с однородными граничными условиями в 1911 г.^[3] Вихри Моффатта внутри конусов решаются П. Н. Шанкар.^[4]

Описание потока

Возле угла поток можно считать равным Стокса поток. Описание двумерной плоской задачи цилиндрическими координатами ${ Displaystyle (г, тета)}$ с компонентами скорости ${ Displaystyle (и_ {г}, и _ { theta})}$ определяется функция потока такой, что

${ displaystyle u_ {r} = { frac {1} {r}} { frac { partial psi} { partial theta}}, quad u _ { theta} = - { frac { partial psi} { partial r}}}$

можно показать, что основное уравнение - это просто бигармоническое уравнение ${ displaystyle nabla ^ {4} psi = 0}$. Уравнение необходимо решать с однородными граничными условиями (условия взяты для двух стенок, разделенных углом ${ displaystyle 2 alpha}$)

${ displaystyle { begin {align} r> 0, theta = - alpha: & quad u_ {r} = 0, u _ { theta} = 0 r> 0, theta = альфа: & quad u_ {r} = 0, u _ { theta} = 0. end {align}}}$

В Соскоб Тейлора аналогична этой задаче, но с неоднородным граничным условием. Решение получается разложением по собственным функциям,^[5]

${ displaystyle psi = sum _ {n = 1} ^ { infty} A_ {n} r ^ { lambda _ {n}} f _ { lambda _ {n}} ( theta)}$

куда ${ displaystyle A_ {n}}$ являются константами, а действительная часть собственных значений всегда больше единицы. Собственные значения ${ displaystyle lambda _ {n}}$ будет функцией угла ${ displaystyle alpha}$, но независимо от собственных функций можно записать для любых ${ displaystyle lambda}$,

${ displaystyle { begin {align} f_ {0} & = A + B theta + C theta ^ {2} + D theta ^ {3}, f_ {1} & = A cos theta + B sin theta + C theta cos theta + D theta sin theta, f_ {2} & = A cos 2 theta + B sin 2 theta + C theta + D , f _ { lambda} & = A cos lambda theta + B sin lambda theta + C cos ( lambda -2) theta + D sin ( lambda -2) theta, quad lambda geq 2. end {выровненный}}}$

Для антисимметричного решения собственная функция четна и, следовательно, ${ Displaystyle B = D = 0}$ а граничные условия требуют ${ Displaystyle грех 2 ( лямбда -1) альфа = - ( лямбда -1) грех 2 альфа}$. Уравнения не допускают действительного корня, когда ${ Displaystyle 2 альфа <146}$°. Эти комплексные собственные значения действительно соответствуют вихрям Моффатта. Комплексное собственное значение, если задано ${ displaystyle lambda _ {n} = 1 + (2 alpha) ^ {- 1} ( xi _ {n} + i eta _ {n})}$ куда

${ Displaystyle { begin {align} sin xi cosh eta & = - k xi, cos xi sinh xi & = - k eta. end {align}}}$

Здесь ${ Displaystyle к = грех 2 альфа / 2 альфа}$.

Смотрите также

• Соскоб Тейлора

Рекомендации