WikiDer > Конус Монжа

Monge cone

в математический теория уравнения в частных производных (PDE), Конус Монжа - геометрический объект, связанный с уравнением первого порядка. Он назван в честь Гаспар Монж. В двух измерениях пусть

{ Displaystyle F (х, у, и, и_ {х}, и_ {у}) = 0 qquad qquad (1)}

быть PDE для неизвестной функции с действительным знаком ты в двух переменных Икс и у. Предположим, что это УЧП невырождено в том смысле, что ${ displaystyle F_ {u_ {x}}}$ и ${ displaystyle F_ {u_ {y}}}$ оба не равны нулю в области определения. Зафиксируйте точку (Икс₀, у₀, z₀) и рассмотрим функции решения ты который имеет

{ displaystyle z_ {0} = u (x_ {0}, y_ {0}). qquad qquad (2)}

Каждое решение (1), удовлетворяющее (2), определяет касательная плоскость к графику

{ Displaystyle г = и (х, у) ,}

через точку (Икс₀,у₀,z₀). Поскольку пара (ты_Икс, ты_у) решение (1) меняется, касательные плоскости конверт конус в р³ с вершиной в (Икс₀,у₀,z₀), называется Конус Монжа. Когда F является квазилинейный, конус Монжа вырождается в одну линию, называемую Ось Монжа. В противном случае конус Монжа является собственным конусом, поскольку нетривиальное и некоаксиальное однопараметрическое семейство плоскостей, проходящих через неподвижную точку, огибает конус. Явно исходное уравнение в частных производных дает скалярную функцию на котангенсный пучок из р³, определенная в точке (Икс,у,z) к

{ displaystyle a , dx + b , dy + c , dz mapsto F (x, y, z, -a / c, -b / c).}

Исчезновение F определяет кривую в проективная плоскость с однородные координаты (а:б:c). В двойная кривая кривая в проективном касательное пространство в точке, а аффинный конус над этой кривой - конус Монжа. Конус может иметь несколько ветвей, каждая из которых является аффинным конусом над простой замкнутой кривой в проективном касательном пространстве.

В качестве базовой точки (Икс₀,у₀,z₀) меняется, конус тоже меняется. Таким образом, конус Монжа является полем конусов на р³. Таким образом, поиск решений уравнения (1) можно интерпретировать как нахождение поверхности, которая всюду касается конуса Монжа в этой точке. Это метод характеристик.

Этот метод обобщается на скалярные уравнения в частных производных первого порядка в п пространственные переменные; а именно,

{ displaystyle F left (x_ {1}, dots, x_ {n}, u, { frac { partial u} { partial x_ {1}}}, dots, { frac { partial u) } { partial x_ {n}}} right) = 0.}

Через каждую точку ${ displaystyle (x_ {1} ^ {0}, dots, x_ {n} ^ {0}, z ^ {0})}$ , конус Монжа (или ось в квазилинейном случае) представляет собой огибающую решений уравнения в частных производных с ${ displaystyle u (x_ {1} ^ {0}, dots, x_ {n} ^ {0}) = z ^ {0}}$ .