WikiDer > Многоканонический ансамбль

В статистика и физика, мультиканонический ансамбль (также называемый многоканоническая выборка или же плоская гистограмма) это Цепь Маркова Монте-Карло метод отбора проб, использующий Алгоритм Метрополиса – Гастингса вычислить интегралы где подынтегральная функция имеет грубый ландшафт с несколькими локальные минимумы. Он производит выборку состояний согласно инверсии плотность состояний,^[1] который должен быть известен априори или вычисляться с использованием других методов, таких как Алгоритм Ванга и Ландау.^[2] Мультиканоническая выборка - важный метод для вращение такие системы, как Модель Изинга или же спиновые очки.^[1][3][4]

Мотивация

В системах с большим количеством степеней свободы, например вращение системы, Интеграция Монте-Карло необходимо. В этой интеграции выборка по важности и в частности Алгоритм мегаполиса, это очень важная техника.^[3] Тем не менее, алгоритм Metropolis выборки состояний согласно ${ Displaystyle ехр (- бета E)}$ где бета - величина, обратная температуре. Это означает, что энергетический барьер из ${ displaystyle Delta E}$ на энергетическом спектре экспоненциально трудно преодолеть.^[1] Системы с множественными локальными минимумами энергии, такими как Модель Поттса становится трудным для выборки, поскольку алгоритм застревает в локальных минимумах системы.^[3] Это мотивирует другие подходы, а именно другие распределения выборки.

Обзор

Мультиканонический ансамбль использует алгоритм Метрополиса – Гастингса с распределением выборки, заданным обратной плотностью состояний системы, в отличие от распределения выборки ${ Displaystyle ехр (- бета E)}$ алгоритма Метрополис.^[1] При таком выборе в среднем количество состояний, отобранных для каждой энергии, является постоянным, то есть это моделирование с «плоской гистограммой» по энергии. Это приводит к алгоритму, для которого уже нетрудно преодолеть энергетические барьеры. Еще одно преимущество перед алгоритмом Метрополиса состоит в том, что отбор проб не зависит от температуры системы, что означает, что одно моделирование позволяет оценить термодинамические переменные для всех температур (отсюда и название «многоканонический»: несколько температур). Это большое улучшение в изучении первого порядка. фазовые переходы.^[1]

Самая большая проблема при выполнении мультиканонического ансамбля состоит в том, что необходимо знать плотность состояний. априори.^[2][3] Одним из важных вкладов в мультиканоническую выборку была Алгоритм Ванга и Ландау, который асимптотически сходится к многоканоническому ансамблю при вычислении плотности состояний при сходимости.^[2]

Мультиканонический ансамбль не ограничивается физическими системами. Его можно использовать в абстрактных системах, которые имеют функцию стоимости F. Используя плотность состояний по отношению к F, метод становится общим для вычисления многомерных интегралов или нахождения локальных минимумов.^[5]

Мотивация

Рассмотрим систему и ее фазовое пространство ${ displaystyle Omega}$ характеризуется конфигурацией ${ displaystyle { boldsymbol {r}}}$ в ${ displaystyle Omega}$ и функция "стоимости" F из фазового пространства системы в одномерное пространство ${ displaystyle Gamma}$: ${ Displaystyle F ( Omega) = Gamma = [ Gamma _ { min}, Gamma _ { max}]}$, спектр F.

Вычисление средней величины ${ displaystyle langle Q rangle}$ по фазовому пространству требует вычисления интеграла:

${ displaystyle langle Q rangle = int _ { Omega} Q ({ boldsymbol {r}}) P_ {r} ({ boldsymbol {r}}) , d { boldsymbol {r}}}$

куда ${ displaystyle P_ {r} ({ boldsymbol {r}})}$ вес каждого состояния (например, ${ Displaystyle P_ {r} ({ boldsymbol {r}}) = 1 / V}$ соответствуют равномерно распределенным состояниям).

Когда Q не зависит от конкретного состояния, а только от конкретного значения F состояния ${ Displaystyle F ({ boldsymbol {r}}) = F _ { boldsymbol {r}}}$, формула для ${ displaystyle langle Q rangle}$ может быть интегрирован ж добавив дельта-функция Дирака и будет написано как

${ displaystyle { begin {align} langle Q rangle & = int _ { Gamma _ { min}} ^ { Gamma _ { max}} int _ { Omega} Q (F _ { boldsymbol {r}}) P_ {r} (F _ { boldsymbol {r}}) delta (f-F _ { boldsymbol {r}}) , d { boldsymbol {r}} , df & = int _ { Gamma _ { min}} ^ { Gamma _ { max}} Q (f) int _ { Omega} delta (f-F _ { boldsymbol {r}}) P_ { r} (F _ { boldsymbol {r}}) , d { boldsymbol {r}} , df & = int _ { Gamma _ { min}} ^ { Gamma _ { max} } Q (f) P (f) , df конец {выровнено}}}$

куда

${ displaystyle P (f) = int _ { Omega} P_ {r} (r) delta (f-F ({ boldsymbol {r}})) , d { boldsymbol {r}}}$

- маргинальное распределение F.

Когда система имеет большое количество степеней свободы, аналитическое выражение для ${ displaystyle langle Q rangle}$ часто бывает трудно получить, и Интеграция Монте-Карло обычно используется при вычислении ${ displaystyle langle Q rangle}$. В простейшей формулировке метод выбирает N равномерно распределенные состояния ${ displaystyle { boldsymbol {r}} _ {i} in Omega}$, и использует оценщик

${ displaystyle { overline {Q}} _ {N} = sum _ {i = 1} ^ {N} Q ({ boldsymbol {r}} _ {i}) VP_ {r} ({ boldsymbol { r}} _ {i})}$

для вычислений ${ displaystyle langle Q rangle}$ потому что ${ displaystyle { overline {Q}} _ {N}}$ почти наверняка сходится к ${ displaystyle langle Q rangle}$ посредством сильный закон больших чисел:

${ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} { overline {Q}} _ {N} = langle Q rangle.}$

Одна типичная проблема такой конвергенции состоит в том, что дисперсия Q может быть очень высоким, что требует больших вычислительных затрат для достижения разумных результатов.

Чтобы улучшить эту сходимость, Алгоритм Метрополиса – Гастингса было предложено. Как правило, идея методов Монте-Карло заключается в использовании выборка по важности для улучшения сходимости оценки ${ displaystyle { overline {Q}} _ {N}}$ путем выборки состояний в соответствии с произвольный распределение ${ displaystyle pi ({ boldsymbol {r}})}$, и используйте соответствующую оценку:

${ displaystyle { overline {Q}} _ {N} = sum _ {i = 1} ^ {N} Q ({ boldsymbol {r}} _ {i}) pi ^ {- 1} ({ boldsymbol {r}} _ {i}) P_ {r} ({ boldsymbol {r}} _ {i})}$.

Эта оценка обобщает оценку среднего для выборок, взятых из произвольного распределения. Следовательно, когда ${ displaystyle pi ({ boldsymbol {r}})}$ - это равномерное распределение, оно соответствует тому, которое использовалось для однородной выборки выше.

Когда система представляет собой физическую систему, контактирующую с термостатом, каждое состояние ${ displaystyle { boldsymbol {r}}}$ взвешивается в соответствии с Фактор Больцмана, ${ displaystyle P_ {r} ({ boldsymbol {r}} _ {i}) propto exp (- beta F _ { boldsymbol {r}})}$.В Монте-Карло канонический ансамбль определяется выбором ${ displaystyle pi ({ boldsymbol {r}})}$ быть пропорциональным ${ displaystyle P_ {r} ({ boldsymbol {r}} _ {i})}$. В этой ситуации оценка соответствует простому среднему арифметическому:

${ displaystyle { overline {Q}} _ {N} = { frac {1} {N}} sum _ {i = 1} ^ {N} Q ({ boldsymbol {r}} _ {i} )}$

Исторически это произошло потому, что оригинальная идея^[6] было использовать Алгоритм Метрополиса – Гастингса для вычисления средних значений для системы, контактирующей с термостатом, где вес определяется коэффициентом Больцмана, ${ Displaystyle P ({ boldsymbol {x}}) propto exp (- бета E ({ boldsymbol {r}}))}$.^[3]

Хотя часто бывает, что распределение выборки ${ displaystyle pi}$ выбрано в качестве распределения веса ${ displaystyle P_ {r}}$Это не обязательно. Одна ситуация, когда канонический ансамбль не является эффективным выбором, - это когда для схождения требуется сколь угодно много времени.^[1]Одна из ситуаций, когда это происходит, - это когда функция F имеет несколько локальных минимумов. Вычислительные затраты для алгоритма, чтобы покинуть конкретную область с локальным минимумом, экспоненциально возрастают с увеличением значения функции стоимости минимума. То есть, чем глубже минимум, тем больше времени алгоритм там проводит, и тем сложнее будет уйти (экспоненциально возрастает с глубиной локального минимума).

Один из способов избежать застревания в локальных минимумах функции стоимости - сделать метод выборки «невидимым» для локальных минимумов. Это основа мультиканонического ансамбля.

Многоканонический ансамбль

Мультиканонический ансамбль определяется выбором распределения выборки

${ displaystyle pi ({ boldsymbol {r}}) propto { frac {1} {P (F _ { boldsymbol {r}})}}}$

куда ${ Displaystyle P (f)}$ предельное распределение F, определенное выше. Следствием этого выбора является то, что среднее количество выборок с заданным значением ж, m (f), определяется выражением

${ displaystyle m (f) = int _ { Omega} delta (f-F _ { boldsymbol {r}}) pi ({ boldsymbol {r}}) P_ {r} ({ boldsymbol {r }}) , d { boldsymbol {r}} propto int _ { Omega} delta (f-F _ { boldsymbol {r}}) P_ {r} ({ boldsymbol {r}}) { frac {1} {P (F _ { boldsymbol {r}})}} d { boldsymbol {r}} = { frac {1} {P (f)}} int _ { Omega} delta (f-F _ { boldsymbol {r}}) P_ {r} ({ boldsymbol {r}}) d { boldsymbol {r}} = 1}$

то есть среднее количество выборок не зависит от ж: все затраты ж выбираются одинаково, независимо от того, более или менее вероятны они. Это мотивирует название «плоская гистограмма». Для систем, находящихся в контакте с термостатом, отбор проб не зависит от температуры, и одно моделирование позволяет изучить все температуры.

Время туннелирования и критическое замедление

Как и в любом другом методе Монте-Карло, есть корреляции выборок, взятых из ${ Displaystyle P ({ boldsymbol {r}})}$. Типичным измерением корреляции является время туннелирования. Время туннелирования определяется количеством марковских шагов (марковской цепи), которое необходимо моделированию для выполнения обхода между минимумом и максимумом спектра F. Одним из мотивов использования времени туннелирования является то, что, когда оно пересекает спектр, оно проходит через область максимума плотности состояний, тем самым декоррелируя процесс. С другой стороны, использование круговых обходов гарантирует, что система посещает весь спектр.

Поскольку гистограмма плоская по переменной F, мультиканонический ансамбль можно рассматривать как процесс диффузии (т. е. случайная прогулка) на одномерной линии F значения. Детальный баланс процесса диктует, что нет дрейф о процессе.^[7] Это означает, что время туннелирования в локальной динамике должно масштабироваться как процесс диффузии, и, следовательно, время туннелирования должно масштабироваться квадратично с размером спектра, N:

${ Displaystyle тау _ {тт} propto N ^ {2}}$

Однако в некоторых системах (модель Изинга является наиболее парадигматической) масштабирование страдает от критического замедления: это ${ displaystyle N ^ {2 + z}}$ куда ${ displaystyle z> 0}$ зависит от конкретной системы.^[4]

Нелокальная динамика была разработана для улучшения масштабирования до квадратичного масштабирования.^[8] (см. Алгоритм Вольфа), преодолевая критическое замедление. Однако остается открытым вопрос, существует ли локальная динамика, которая не страдает от критического замедления в спиновых системах, подобных модели Изинга.

Рекомендации