В математика, то полиномиальная теорема описывает, как расширить мощность суммы с точки зрения полномочий членов этой суммы. Это обобщение биномиальная теорема от биномов к полиномам.
Теорема
Для любого положительного целого числа м и любое неотрицательное целое число п, полиномиальная формула говорит нам, как сумма с м термины расширяются при возведении в произвольную степень п:

куда

это полиномиальный коэффициент. Сумма берется по всем комбинациям неотрицательный целое число индексы k1 через kм так что сумма всех kя является п. То есть для каждого члена в разложении показатели степени Икся должно составлять до п. Также, как и в случае с биномиальная теорема, количества вида Икс0 которые появляются, принимаются равными 1 (даже если Икс равно нулю).
В случае м = 2, это утверждение сводится к утверждению биномиальной теоремы.
Пример
Третья степень трехчлена а + б + c дан кем-то

Это можно вычислить вручную, используя распределительное свойство умножения над сложением, но это также можно сделать (возможно, более легко) с помощью полиномиальной теоремы, которая дает нам простую формулу для любого коэффициента, который нам может понадобиться. Можно "считать" полиномиальные коэффициенты из членов, используя формулу полиномиальных коэффициентов. Например:
имеет коэффициент 
имеет коэффициент 
Альтернативное выражение
Формулировку теоремы можно кратко записать, используя мультииндексы:

куда

и

Доказательство
Это доказательство полиномиальной теоремы использует биномиальная теорема и индукция на м.
Во-первых, для м = 1, обе стороны равны Икс1п так как есть только один термин k1 = п в сумме. Для шага индукции предположим, что полиномиальная теорема верна для м. потом
![{ displaystyle { begin {align} & (x_ {1} + x_ {2} + cdots + x_ {m} + x_ {m + 1}) ^ {n} = (x_ {1} + x_ {2 } + cdots + (x_ {m} + x_ {m + 1})) ^ {n} [6pt] = {} & sum _ {k_ {1} + k_ {2} + cdots + k_ {m-1} + K = n} {n выбрать k_ {1}, k_ {2}, ldots, k_ {m-1}, K} x_ {1} ^ {k_ {1}} x_ {2 } ^ {k_ {2}} cdots x_ {m-1} ^ {k_ {m-1}} (x_ {m} + x_ {m + 1}) ^ {K} end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1adc5f8add6e0ee01e9fc422b22e5d75ac722cc7)
по предположению индукции. Применяя биномиальную теорему к последнему множителю,


что завершает индукцию. Последний шаг следует, потому что

в этом легко убедиться, записав три коэффициента с использованием факториалов следующим образом:

Полиномиальные коэффициенты
Цифры

фигурируют в теореме полиномиальные коэффициенты. Они могут быть выражены различными способами, в том числе как продукт биномиальные коэффициенты или из факториалы:

Сумма всех полиномиальных коэффициентов
Замена Икся = 1 для всех я в полиномиальную теорему

сразу дает, что

Количество полиномиальных коэффициентов
Количество членов в полиномиальной сумме, #п,м, равно количеству одночленов степени п по переменным Икс1, …, Иксм:

Подсчет можно легко произвести с помощью метода звезды и решетки.
Оценка полиномиальных коэффициентов
Наибольшая степень простого числа
который делит полиномиальный коэффициент, может быть вычислен с использованием обобщения Теорема Куммера.
Интерпретации
Способы складывать предметы в мусорные ведра
Полиномиальные коэффициенты имеют прямую комбинаторную интерпретацию, поскольку количество способов внесения п отдельные объекты в м отдельные бункеры, с k1 объекты в первой корзине, k2 объекты во второй корзине и так далее.[1]
Количество способов выбора в зависимости от распределения
В статистическая механика и комбинаторика если имеется несколько распределений меток, то полиномиальные коэффициенты естественным образом возникают из биномиальных коэффициентов. Учитывая числовое распределение {пя} на наборе N всего предметов, пя представляет количество элементов, которым будет присвоена метка я. (В статистической механике я это метка состояния энергии.)
Количество аранжировок определяется по
- Выбор п1 от общего N быть помеченным 1. Это можно сделать
способами. - Из оставшихся N − п1 предметы выбрать п2 на метку 2. Это можно сделать
способами. - Из оставшихся N − п1 − п2 предметы выбрать п3 на метку 3. Опять же, это можно сделать
способами.
Умножение количества вариантов на каждом шаге дает:

После отмены мы приходим к формуле, приведенной во введении.
Количество уникальных перестановок слов
Мультиномиальный коэффициент - это также количество различных способов переставлять а мультимножество из п элементы и kя являются множественность каждого из отдельных элементов. Например, количество различных перестановок букв слова MISSISSIPPI, которое имеет 1 M, 4 Is, 4 Ss и 2 Ps, равно

(Это все равно что сказать, что существует 11! Способов переставлять буквы - обычное толкование факториал как количество уникальных перестановок. Однако мы создали повторяющиеся перестановки, потому что некоторые буквы совпадают и должны разделиться, чтобы исправить наш ответ.)
Обобщенный треугольник Паскаля
Можно использовать полиномиальную теорему для обобщения Треугольник Паскаля или же Пирамида паскаля к Симплекс Паскаля. Это обеспечивает быстрый способ создания таблицы поиска для полиномиальных коэффициентов.
Смотрите также
Рекомендации