WikiDer > Теорема Майерса - Википедия

Теорема Майерса, также известный как Теорема Бонне – Майерса, является знаменитой фундаментальной теоремой в математической области Риманова геометрия. Это было обнаружено Самнер Байрон Майерс в 1941 году. В нем утверждается следующее:

Позволять ${ displaystyle (M, g)}$ - полное риманово многообразие размерности ${ displaystyle n}$ кривизна Риччи которого удовлетворяет ${ Displaystyle Ric ^ {g} geq (п-1) к}$ для некоторого положительного действительного числа ${ displaystyle k.}$ Тогда любые две точки M можно соединить геодезическим отрезком длины ${ displaystyle leq pi / { sqrt {k}}}$.

В частном случае поверхностей этот результат был доказан Оссиан капот в 1855 г. Для поверхности кривизны Гаусса, сечения и кривизны Риччи одинаковы, но доказательство Бонне легко обобщается на более высокие измерения, если предположить положительную нижнюю границу для секционная кривизна. Таким образом, ключевой вклад Майерса состоял в том, чтобы показать, что нижняя граница Риччи - это все, что необходимо для того, чтобы прийти к такому же выводу.

Следствия

В заключении теоремы, в частности, говорится, что диаметр ${ displaystyle (M, g)}$ конечно. Следовательно, из теоремы Хопфа-Ринова следует, что ${ displaystyle M}$ должен быть компактным, как замкнутый (а значит, и компактный) шар радиуса ${ displaystyle pi / { sqrt {k}}}$ в любом касательном пространстве переносится на все ${ displaystyle M}$ экспоненциальным отображением.

Как очень частный случай, это показывает, что любое полное и некомпактное гладкое риманово многообразие, которое является Эйнштейном, должно иметь неположительную константу Эйнштейна.

Рассмотрим гладкое универсальное накрывающее отображение π: N→M. Можно рассматривать риманову метрику π^*грамм на N. С π является локальным диффеоморфизмом, теорема Майерса применима к риманову многообразию (N, π^*грамм) и поэтому N компактный. Отсюда следует, что фундаментальная группа M конечно.

Теорема жесткости диаметра Ченга

Вывод теоремы Майерса гласит, что для любого п и q в M, надо d_грамм(п,q) ≤ π/√k. В 1975 г. Шиу-Юэнь Чэн доказано:

Позволять (M, грамм) полное и гладкое риманово многообразие размерности п. Если k положительное число с Ric^грамм ≥ (п-1)k, а если существует п и q в M с d_грамм(п,q) = π/√k, тогда (M,грамм) односвязен и имеет постоянную секционная кривизна k.

Смотрите также

• Теорема Громова о компактности (геометрия)

Рекомендации

• Амброуз, В. Теорема Майерса. Duke Math. J. 24 (1957), 345–348.
• Cheng, Shiu Yuen (1975), "Теоремы сравнения собственных значений и их геометрические приложения", Mathematische Zeitschrift, 143 (3): 289–297, Дои:10.1007 / BF01214381, ISSN 0025-5874, МИСТЕР 0378001
• ду Карму, М. П. (1992), Риманова геометрия, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8
• Майерс, С. Б. (1941), "Римановы многообразия с положительной средней кривизной", Математический журнал герцога, 8 (2): 401–404, Дои:10.1215 / S0012-7094-41-00832-3