WikiDer > Наивная теория множеств (книга)

Naive Set Theory (book)

Смотрите также Наивная теория множеств по математической теме.

Первое издание

Наивная теория множеств это математика учебник Пол Халмос обеспечение студентов вводными теория множеств.^[1] Первоначально опубликовано Ван Ностранд в 1960 г.^[2] это было переиздано в Springer-Verlag Тексты для бакалавриата по математике серия 1974 года.^[3]

Хотя в названии говорится, что это наивно, что обычно означает без аксиомы, книга вводит все аксиомы Теория множеств ZFC (кроме Аксиома Основания), и дает правильные и строгие определения основных объектов.^[2]^[4] Чем отличается от «истинного» аксиоматическая теория множеств книга - это ее персонаж: здесь нет обсуждения аксиоматических мелочей, и почти ничего нет на такие сложные темы, как большие кардиналы. Вместо этого он пытается быть понятным для тех, кто никогда раньше не задумывался о теории множеств.

Позже Халмос заявил, что это была самая быстрая книга, которую он написал, за шесть месяцев, и что книга «написала сама себя».^[5]

Отсутствие аксиомы основания

Как отмечалось выше, в книге отсутствует Аксиома Основания. Халмос постоянно танцует вокруг вопроса о том, может ли набор содержать себя.

п. 1: "набор также может быть элементом некоторых Другой набор "(курсив мой)
п. 3: "является ${displaystyle A}$ ∈ ${displaystyle A}$ когда-либо правда? Это определенно неверно для любого разумного набора, который кто-либо когда-либо видел ».
п. 6: " ${displaystyle B}$ ∈ ${displaystyle B}$ ... маловероятно, но не очевидно, невозможно "

Но Халмос позволяет нам доказать, что есть определенные наборы, которые не могут содержать самих себя.

п. 44: Халмос позволяет нам доказать, что ${displaystyle omega}$ ∉ ${displaystyle omega}$ . Ибо если ${displaystyle omega}$ ∈ ${displaystyle omega}$ , тогда ${displaystyle omega}$ − { ${displaystyle omega}$ } все равно будет набором-преемником, потому что ${displaystyle omega}$ ≠ ∅ и ${displaystyle omega}$ не является наследником какого-либо натурального числа. Но ${displaystyle omega}$ не является частью ${displaystyle omega}$ − { ${displaystyle omega}$ }, что противоречит определению ${displaystyle omega}$ как подмножество каждого последующего набора.
п. 47: Халмос доказывает лемму о том, что «никакое натуральное число не является подмножеством какого-либо из его элементов». Это позволяет нам доказать, что никакое натуральное число не может содержать самого себя. Ибо если ${displaystyle n}$ ∈ ${displaystyle n}$ , куда ${displaystyle n}$ натуральное число, то ${displaystyle n}$ ⊂ ${displaystyle n}$ ∈ ${displaystyle n}$ , что противоречит лемме.
п. 75: "An порядковый номер определяется как хорошо упорядоченный набор ${displaystyle alpha}$ такой, что ${displaystyle s (xi) = xi}$ для всех ${displaystyle xi}$ в ${displaystyle alpha}$ ; здесь ${displaystyle s (xi)}$ по-прежнему является начальным отрезком ${displaystyle {eta}$ ∈ ${displaystyle alpha:}$ ${displaystyle eta}$ < ${displaystyle xi}$ }. "Порядок скважин определяется следующим образом: если ${displaystyle xi}$ и ${displaystyle eta}$ элементы порядкового номера ${displaystyle alpha}$ , тогда ${displaystyle xi}$ < ${displaystyle eta}$ средства ${displaystyle xi}$ ∈ ${displaystyle eta}$ (стр. 75-76). Выбрав символ <вместо ≤, Халмос подразумевает, что порядок лунок <строгий (стр. 55-56). Это определение <делает невозможным ${displaystyle xi}$ ∈ ${displaystyle xi}$ , куда ${displaystyle xi}$ является элементом порядкового номера. Это потому что ${displaystyle xi}$ ∈ ${displaystyle xi}$ средства ${displaystyle xi}$ < ${displaystyle xi}$ , что означает ${displaystyle xi}$ ≠ ${displaystyle xi}$ (потому что <строгий), что невозможно.
п. 75: приведенное выше определение порядкового числа также делает невозможным ${displaystyle alpha}$ ∈ ${displaystyle alpha}$ , куда ${displaystyle alpha}$ порядковый номер. Это потому что ${displaystyle alpha}$ ∈ ${displaystyle alpha}$ подразумевает ${displaystyle alpha}$ = s ( ${displaystyle alpha}$ ). Это дает нам ${displaystyle alpha}$ ∈ ${displaystyle alpha}$ = s ( ${displaystyle alpha}$ ) = ${displaystyle {eta}$ ∈ ${displaystyle alpha:}$ ${displaystyle eta}$ < ${displaystyle alpha}$ }, что означает ${displaystyle alpha}$ < ${displaystyle alpha}$ , что означает ${displaystyle alpha}$ ≠ ${displaystyle alpha}$ (потому что <строгий), что невозможно.

Опечатки

п. 30, строка 10: «x на y» должно быть «x на y».
п. 73, строка 19: «для каждого z в X» должно быть «для каждого a в X».
п. 75, строка 3: «тогда и только тогда, когда x ∈ F (n)» должно быть «тогда и только тогда, когда x = {b: S (n, b)}».

Смотрите также

Список публикаций по математике

Библиография

Халмос, Пол, Наивная теория множеств. Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Издание Springer-Verlag). Перепечатано Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Издание в мягкой обложке).

внешняя ссылка

Список учебников по теории множеств составлено участниками обмена математическими стеками
Отзывы:Наивная теория множеств из Goodreads.

[1] Обзор Наивная теория множеств Х. Миркил (апрель 1961 г.), Американский математический ежемесячный журнал 68 (4): 392, Дои:10.2307/2311615.

[Rieger-2] а ^б Обзор Наивная теория множеств, Л. Ригер, МИСТЕР0114756.

[3] МИСТЕР0453532

[4] Обзор Наивная теория множеств, Альфонс Боргерс (июль 1969 г.), Журнал символической логики 34 (2): 308, Дои:10.2307/2271138.

[5] Юинг, Джон Х .; Геринг, Фредерик В., ред. (1991), Пол Халмос: празднование 50-летия математики, Springer-Verlag, Интервью Халмоса с Дональдом Дж. Альберсом, с. 16, ISBN 0-387-97509-8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Navigation