WikiDer > Колебания нейтральной частицы

В физика элементарных частиц, колебание нейтральной частицы есть трансмутация частицы с нулевым электрический заряд в другую нейтральную частицу из-за изменения ненулевого внутреннего квантовое число через взаимодействие, которое не сохраняет это квантовое число. Например, нейтрон не может превратиться в антинейтрон поскольку это нарушит сохранение из барионное число. Но в этих гипотетических расширениях Стандартная модель которые включают взаимодействия, которые строго не сохраняют барионное число, предсказываются нейтрон-антинейтронные осцилляции.^[1][2][3]

Такие колебания можно разделить на два типа:

• Частица–античастица колебание (например,
  K⁰
  –
  K⁰
  колебание,
  B⁰
  –
  B⁰
  колебание,
  D⁰
  –
  D⁰
  колебание^[4]).
• Вкус колебание (например,
  ν
  _е–
  ν
  _μ колебание).

Если частицы распадаются на какой-то конечный продукт, тогда система не является чисто колебательной, и наблюдается интерференция между колебаниями и распадом.

История и мотивация

Нарушение CP

После ярких доказательств нарушения паритета, представленных Ву и другие. в 1957 г. предполагалось, что CP (зарядовая четность) - это величина, которая сохраняется.^[5] Однако в 1964 году Кронин и Fitch сообщили о нарушении CP в нейтральной системе Kaon.^[6] Они наблюдали долгоживущие K₂ (CP = −1) претерпевает два распада пиона [CP = (−1) (- 1) = +1], тем самым нарушая сохранение CP.

В 2001 г. нарушение КП в г.
B⁰
–
B⁰
система была подтверждена БаБар и Belle эксперименты.^[7][8] Прямое нарушение CP в
B⁰
–
B⁰
Обе лаборатории сообщили о системе к 2005 году.^[9][10]

В
K⁰
–
K⁰
и
B⁰
–
B⁰
системы можно изучать как системы с двумя состояниями, рассматривая частицу и ее античастицу как два состояния.

Проблема солнечных нейтрино

В цепочка pp на солнце производит обилие
ν
_е. В 1968 г. Раймонд Дэвис и другие. впервые сообщил о результатах Домашний эксперимент.^[11][12] Также известен как Эксперимент Дэвиса, он использовал огромный резервуар с перхлорэтиленом на шахте Хоумстейк (он находился глубоко под землей, чтобы устранить фон от космических лучей), Южная Дакота, США. Ядра хлора в перхлорэтилене поглощают
ν
_е для получения аргона посредством реакции

${ displaystyle mathrm { nu _ {e} + {{} _ {17} ^ {37} Cl} rightarrow {{} _ {18} ^ {37}} Ar + e ^ {-}}}$,

что по сути

${ displaystyle mathrm { nu _ {e} + n to p + e ^ {-}}}$.^[13]

В эксперименте собирали аргон в течение нескольких месяцев. Поскольку нейтрино очень слабо взаимодействует, каждые два дня собиралось только около одного атома аргона. Общее накопление составило около трети Bahcall's теоретическое предсказание.

В 1968 г. Бруно Понтекорво показал, что если нейтрино не считать безмассовыми, то
ν
_е (произведенные на Солнце) могут превращаться в некоторые другие разновидности нейтрино (
ν
_μ или же
ν
_τ), к которому детектор Homestake был нечувствителен. Этим объясняется дефицит результатов эксперимента Homestake. Окончательное подтверждение этого решения проблемы солнечных нейтрино было предоставлено в апреле 2002 г. организацией SNO (Нейтринная обсерватория Садбери) сотрудничество, которое измеряло как
ν
_е поток и полный поток нейтрино.^[14] Это «колебание» между видами нейтрино можно сначала изучить, рассматривая любые два, а затем обобщить на три известных типа.

Описание как двухгосударственная система

Особый случай: рассмотрение только смешивания

Осторожность: "смешивание" здесь не относится к квантовые смешанные состояния, а скорее к чистое состояние суперпозиция собственных состояний энергии (массы), которая описывается так называемой «матрицей смешения».

Позволять ${ displaystyle H_ {0}}$ быть Гамильтониан двухгосударственной системы, и ${ displaystyle left | 1 right rangle}$ и ${ displaystyle left | 2 right rangle}$ быть его ортонормированным собственные векторы с собственные значения ${ displaystyle E_ {1}}$ и ${ displaystyle E_ {2}}$ соответственно.

Позволять ${ Displaystyle влево | пси влево (т вправо) вправо rangle}$ быть состоянием системы во время ${ displaystyle t}$.

Если система запускается как собственное энергетическое состояние ${ displaystyle H_ {0}}$, т.е. сказать

${ Displaystyle влево | пси влево (0 вправо) вправо rangle = влево | 1 вправо rangle}$

затем эволюционировавшее во времени состояние, которое является решением Уравнение Шредингера

будет,^[15]

${ Displaystyle left | Psi left (t right) right rangle = left | 1 right rangle e ^ {- i { frac {E_ {1} t} { hbar}}}}$

Но это физически то же самое, что ${ displaystyle left | 1 right rangle}$ поскольку экспоненциальный член - это всего лишь фазовый фактор и не создает новое состояние. Другими словами, собственные состояния энергии являются стационарными собственными состояниями, то есть они не приводят к появлению физически новых состояний при временной эволюции.

В основе ${ Displaystyle left { left | 1 right rangle, left | 2 right rangle right }}$, ${ displaystyle H_ {0}}$ диагональный. То есть,

${ displaystyle H_ {0} = { begin {pmatrix} E_ {1} & 0 0 & E_ {2} end {pmatrix}}}$

Можно показать, что колебания между состояниями будут происходить тогда и только тогда, когда недиагональные члены гамильтониана не равны нулю.

Поэтому введем общее возмущение ${ displaystyle W}$ в ${ displaystyle H_ {0}}$ такой, что полученный гамильтониан ${ displaystyle H}$ все еще Эрмитский. Потом,

${ displaystyle W = { begin {pmatrix} W_ {11} & W_ {12} W_ {12} ^ {*} & W_ {22} end {pmatrix}}}$ куда, ${ displaystyle W_ {11}, W_ {22} in mathbb {R}}$ и ${ Displaystyle W_ {12} in mathbb {C}}$

и,

Тогда собственные значения ${ displaystyle H}$ находятся,^[16]

С ${ displaystyle H}$ является общей гамильтоновой матрицей, ее можно записать как,^[17]

${ displaystyle H = sum limits _ {j = 0} ^ {3} a_ {j} sigma _ {j} = a_ {0} sigma _ {0} + H '}$

Следующие два результата очевидны:

• ${ displaystyle left [H, H ' right] = 0}$

Доказательство
${ displaystyle { begin {align} HH '& = a_ {0} sigma _ {0} H' + H'H '= a_ {0} sigma _ {0} + {H'} ^ {2} H'H & = a_ {0} H ' sigma _ {0} + H'H' = a_ {0} sigma _ {0} + {H '} ^ {2} поэтому left [ H, H ' right] & = HH'-H'H = 0 конец {выровнен}}}$

• ${ displaystyle {H '} ^ {2} = I}$

Доказательство

${ displaystyle { begin {align} {H '} ^ {2} & = sum limits _ {j = 1} ^ {3} {n_ {j} sigma _ {j}} sum limits _ {k = 1} ^ {3} {n_ {k} sigma _ {k}} = sum limits _ {j, k = 1} ^ {3} {n_ {j} n_ {k} sigma _ {j} sigma _ {k}} & = sum limits _ {j, k = 1} ^ {3} {n_ {j} n_ {k} left ( delta _ {jk} I + i sum limits _ {l = 1} ^ {3} { varepsilon _ {jkl} sigma _ {l}} right)} & = left ( sum limits _ {j = 1} ^ {3} {n_ {j}} ^ {2} right) I + i sum limits _ {l = 1} ^ {3} { sigma _ {l} sum limits _ {j, k = 1} ^ {3} varepsilon _ {jkl}} & = I конец {выровнено}}}$ где были использованы следующие результаты: ${ displaystyle sigma _ {j} sigma _ {k} = delta _ {jk} I + i sum limits _ {l = 1} ^ {3} { varepsilon _ {jkl} sigma _ { l}}}$ ${ Displaystyle { шляпа {п}}}$ является единичным вектором и, следовательно, ${ displaystyle sum limits _ {j = 1} ^ {3} {{n_ {j}} ^ {2}} = left | { hat {n}} right | ^ {2} = 1}$ В Символ Леви-Чивита ${ displaystyle varepsilon _ {jkl}}$ антисимметрична по любым двум своим индексам (${ displaystyle j}$ и ${ displaystyle k}$ в этом случае) и, следовательно, ${ displaystyle sum limits _ {j, k = 1} ^ {3} varepsilon _ {jkl} = 0}$

Со следующей параметризацией^[17] (эта параметризация помогает, поскольку она нормализует собственные векторы, а также вводит произвольную фазу ${ displaystyle phi}$ делая собственные векторы наиболее общими)

${ Displaystyle { шляпа {п}} = влево ( грех тета соз фи, грех тета грех фи, соз тета право)}$,

и используя приведенную выше пару результатов, ортонормированные собственные векторы ${ displaystyle H '}$ и, следовательно, из ${ displaystyle H}$ получаются как,

куда,
${ displaystyle tan theta = { frac {2 left | W_ {12} right |} {E_ {1} + W_ {11} -E_ {2} -W_ {22}}}}$ и, ${ Displaystyle W_ {12} = left | W_ {12} right | e ^ {i phi}}$

Написание собственных векторов ${ displaystyle H_ {0}}$ с точки зрения тех ${ displaystyle H}$ мы получили,

Теперь, если частица начинается как собственное состояние ${ displaystyle H_ {0}}$ (сказать, ${ displaystyle left | 1 right rangle}$), то есть,

${ Displaystyle влево | пси влево (0 вправо) вправо rangle = влево | 1 вправо rangle}$

тогда при эволюции во времени мы получаем,^[16]

${ displaystyle left | Psi left (t right) right rangle = e ^ {i { frac { phi} {2}}} left ( cos { frac { theta} {2 }} left | + right rangle e ^ {- i { frac {E _ {+} t} { hbar}}} - sin { frac { theta} {2}} left | - right rangle e ^ {- i { frac {E _ {-} t} { hbar}}} right)}$

который в отличие от предыдущего случая заметно отличается от ${ displaystyle left | 1 right rangle}$.

Затем мы можем получить вероятность нахождения системы в состоянии ${ displaystyle left | 2 right rangle}$ вовремя ${ displaystyle t}$ в качестве,^[16]

который называется Формула Раби. Следовательно, исходя из одного собственного состояния невозмущенного гамильтониана ${ displaystyle H_ {0}}$, состояние системы колеблется между собственными состояниями ${ displaystyle H_ {0}}$ с частотой (известной как Частота Раби),

Из выражения ${ Displaystyle P_ {21} (т)}$ мы можем сделать вывод, что колебание будет существовать, только если ${ displaystyle left | W_ {12} right | ^ {2} neq 0}$. ${ displaystyle W_ {12}}$ , таким образом, известен как член связи, поскольку он связывает два собственных состояния невозмущенного гамильтониана ${ displaystyle H_ {0}}$ и тем самым способствует колебанию между ними.

Колебания также прекратятся, если собственные значения возмущенного гамильтониана ${ displaystyle H}$ вырождены, т.е. ${ displaystyle E _ {+} = E _ {-}}$. Но это тривиальный случай, поскольку в такой ситуации само возмущение исчезает и ${ displaystyle H}$ принимает форму (диагональ) ${ displaystyle H_ {0}}$ и мы вернулись на круги своя.

Следовательно, необходимые условия для возникновения колебаний:

• Ненулевое соединение, т.е. ${ displaystyle left | W_ {12} right | ^ {2} neq 0}$.
• Невырожденные собственные значения возмущенного гамильтониана ${ displaystyle H}$, т.е. ${ displaystyle E _ {+} neq E _ {-}}$.

Общий случай: рассмотрение смешения и распада

Если рассматриваемая частица (и) подвергается распаду, то гамильтониан, описывающий систему, больше не эрмитов.^[18] Поскольку любую матрицу можно записать как сумму ее эрмитовой и антиэрмитовой частей, ${ displaystyle H}$ можно записать как,

${ displaystyle H = M - { frac {i} {2}} Gamma = { begin {pmatrix} M_ {11} & M_ {12} M_ {12} ^ {*} & M_ {11} end {pmatrix}} - { frac {i} {2}} { begin {pmatrix} Gamma _ {11} & Gamma _ {12} Gamma _ {12} ^ {*} & Гамма _ {11} end {pmatrix}}}$

куда,

${ displaystyle M = { begin {pmatrix} M_ {11} & M_ {12} M_ {21} & M_ {22} end {pmatrix}}}$ и, ${ displaystyle Gamma = { begin {pmatrix} Gamma _ {11} & Gamma _ {12} Gamma _ {21} & Gamma _ {11} end {pmatrix}}}$ ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle Gamma}$ эрмитские. Следовательно, ${ displaystyle M_ {2} 1 = M_ {12} ^ {*}}$ и ${ Displaystyle Gamma _ {21} = Gamma _ {12} ^ {*}}$ Сохранение CPT (симметрия) подразумевает, ${ displaystyle M_ {22} = M_ {11}}$ и ${ displaystyle Gamma _ {22} = Gamma _ {11}}$ Доказательство Позволять, ${ Displaystyle Theta = CPT}$. ${ displaystyle Theta}$ превращает частицу в ее античастицу. То есть, ${ Displaystyle Theta left | 1 right rangle = left | 2 right rangle}$ и ${ Displaystyle Theta left | 2 right rangle = left | 1 right rangle}$ Сохранение CPT означает, что гамильтониан ${ displaystyle H}$ и поэтому ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle Gamma}$ инвариантны относительно следующего преобразования: ${ Displaystyle Theta ^ {- 1} M Theta = M}$ и ${ Displaystyle Theta ^ {- 1} Gamma Theta = Gamma}$ ${ displaystyle Theta}$ является антиунитарный оператор[19] и удовлетворяет соотношению ${ Displaystyle Theta ^ { dagger} Theta = I}$ Следовательно, ${ Displaystyle M_ {22} = left langle 2 right | M left | 2 right rangle = left langle 2 right | Theta ^ {- 1} M Theta left | 2 right rangle = left langle 2 right | Theta ^ { dagger} M Theta left | 2 right rangle = left langle 1 right | M left | 1 right rangle = M_ { 11}}$ и аналогично для диагональных элементов ${ displaystyle Gamma}$. Отшельничество ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle Gamma}$ также означает, что их диагональные элементы реальны.

Собственные значения ${ displaystyle H}$ находятся,

куда,
${ displaystyle Delta m}$ и ${ displaystyle Delta Gamma}$ удовлетворить, ${ Displaystyle { begin {align} left ( Delta m right) ^ {2} - left ({ frac { Delta Gamma} {2}} right) ^ {2} & = 4 left | M_ {12} right | ^ {2} - left | Gamma _ {12} right | ^ {2}, Delta m Delta Gamma & = 4 operatorname {Re} left (M_ {12} Gamma _ {12} ^ {*} right) end {align}}}$

Суффиксы обозначают Heavy и Light соответственно (по соглашению), и это означает, что ${ displaystyle Delta m}$ положительный.

Нормированные собственные состояния, соответствующие ${ displaystyle mu _ {L}}$ и ${ displaystyle mu _ {H}}$ соответственно, в натуральная основа ${ Displaystyle left { left | P right rangle, left | { bar {P}} right rangle right } Equiv left { left (1,0 right), влево (0,1 вправо) вправо }}$ находятся,

куда,
${ Displaystyle влево | п вправо | ^ {2} + влево | д вправо | ^ {2} = 1}$ и, ${ displaystyle left ({ frac {p} {q}} right) ^ {2} = { frac {M_ {12} ^ {*} - { frac {i} {2}} Gamma _ {12} ^ {*}} {M_ {12} - { frac {i} {2}} Gamma _ {12}}}}$

${ displaystyle p}$ и ${ displaystyle q}$ условия смешивания. Обратите внимание, что собственные состояния больше не ортогональны.

Пусть система запустится в состоянии ${ displaystyle left | P right rangle}$. То есть,

${ Displaystyle left | P left (0 right) right rangle = left | P right rangle = { frac {1} {2p}} left ( left | P_ {L} right rangle + left | P_ {H} right rangle right)}$

Под эволюцией времени мы получаем,

${ Displaystyle left | P left (t right) right rangle = { frac {1} {2p}} left ( left | P_ {L} right rangle e ^ {- { frac {i} { hbar}} left (m_ {L} - { frac {i} {2}} gamma _ {L} right) t} + left | P_ {H} right rangle e ^ {- { frac {i} { hbar}} left (m_ {H} - { frac {i} {2}} gamma _ {H} right) t} right) = g _ {+ } left (t right) left | P right rangle - { frac {q} {p}} g _ {-} left (t right) left | { bar {P}} right rangle}$

куда,
${ displaystyle g _ { pm} left (t right) = { frac {1} {2}} left (e ^ {- { frac {i} { hbar}} left (m_ {H } - { frac {i} {2}} gamma _ {H} right) t} pm e ^ {- { frac {i} { hbar}} left (m_ {L} - { frac {i} {2}} gamma _ {L} right) t} right)}$

Аналогично, если система запускается в состоянии ${ displaystyle left | { bar {P}} right rangle}$, при эволюции во времени получаем,

${ displaystyle left | { bar {P}} (t) right rangle = { frac {1} {2q}} left ( left | P_ {L} right rangle e ^ {- { frac {i} { hbar}} left (m_ {L} - { frac {i} {2}} gamma _ {L} right) t} - left | P_ {H} right rangle e ^ {- { frac {i} { hbar}} left (m_ {H} - { frac {i} {2}} gamma _ {H} right) t} right) = - { frac {p} {q}} g _ {-} left (t right) left | P right rangle + g _ {+} left (t right) left | { bar {P} } right rangle}$

Нарушение CP как следствие

Если в системе ${ displaystyle left | P right rangle}$ и ${ displaystyle left | { bar {P}} right rangle}$ представляют собой сопряженные состояния CP (т.е. частица-античастица) друг друга (т.е. ${ displaystyle CP left | P right rangle = e ^ {i delta} left | { bar {P}} right rangle}$ и ${ displaystyle CP left | { bar {P}} right rangle = e ^ {- i delta} left | P right rangle}$), и выполнены некоторые другие условия, то Нарушение CP можно наблюдать в результате этого явления. В зависимости от состояния нарушение CP можно разделить на три типа:^[18][20]

Нарушение CP только через распад

Рассмотрим процессы, в которых ${ Displaystyle left { left | P right rangle, left | { bar {P}} right rangle right }}$ распад до конечных состояний ${ displaystyle left { left | f right rangle, left | { bar {f}} right rangle right }}$, где запрещенные и незащищенные кеты каждого набора Конъюгаты CP друг друга.

Вероятность ${ displaystyle left | P right rangle}$ распадаясь на ${ Displaystyle влево | е вправо rangle}$ дан кем-то,

${ displaystyle wp _ {P to f} left (t right) = left | left langle f | P left (t right) right rangle right | ^ {2} = left | g _ {+} left (t right) A_ {f} - { frac {q} {p}} g _ {-} left (t right) { bar {A}} _ {f} right | ^ {2}}$,

и его CP сопряженного процесса на,

${ displaystyle wp _ {{ bar {P}} to { bar {f}}} left (t right) = left | left langle { bar {f}} | { bar {P}} left (t right) right rangle right | ^ {2} = left | g _ {+} left (t right) { bar {A}} _ { bar {f }} - { frac {p} {q}} g _ {-} left (t right) A _ { bar {f}} right | ^ {2}}$

куда,
${ displaystyle { begin {align} A_ {f} & = left langle f | P right rangle { bar {A}} _ {f} & = left langle f | { bar {P}} right rangle A _ { bar {f}} & = left langle { bar {f}} | P right rangle { bar {A}} _ { bar {f}} & = left langle { bar {f}} | { bar {P}} right rangle end {align}}}$

Если нет нарушения CP из-за перемешивания, то ${ displaystyle left | { frac {q} {p}} right | = 1}$.

Теперь две вышеуказанные вероятности не равны, если,

.

Следовательно, распад становится процессом, нарушающим CP, поскольку вероятность распада и вероятность его CP-сопряженного процесса не равны.

Нарушение CP только за счет перемешивания

Вероятность (как функция времени) наблюдения ${ displaystyle left | { bar {P}} right rangle}$ начиная с ${ displaystyle left | P right rangle}$ дан кем-то,

${ displaystyle wp _ {P to { bar {P}}} left (t right) = left | left langle { bar {P}} | P left (t right) right rangle right | ^ {2} = left | { frac {q} {p}} g _ {-} left (t right) right | ^ {2}}$,

и его CP сопряженного процесса на,

${ displaystyle wp _ {{ bar {P}} to P} left (t right) = left | left langle P | { bar {P}} left (t right) right rangle right | ^ {2} = left | { frac {p} {q}} g _ {-} left (t right) right | ^ {2}}$.

Две указанные выше вероятности не равны, если

Следовательно, колебание частица-античастица становится процессом, нарушающим CP, поскольку частица и ее античастица (скажем, ${ displaystyle left | P right rangle}$ и ${ displaystyle left | { bar {P}} right rangle}$ соответственно) больше не являются эквивалентными собственными состояниями CP.

Нарушение CP из-за интерференции смешения-распада

Позволять ${ Displaystyle влево | е вправо rangle}$ - конечное состояние (собственное состояние CP), которое ${ displaystyle left | P right rangle}$ и ${ displaystyle left | { bar {P}} right rangle}$ может распасться на. Тогда вероятности распада определяются как

${ Displaystyle { begin {align} wp _ {P to f} left (t right) & = left | left langle f | P left (t right) right rangle right | ^ {2} & = left | A_ {f} right | ^ {2} { frac {e ^ {- gamma t}} {2}} left [ left (1+ left | lambda _ {f} right | ^ {2} right) ch left ({ frac { Delta gamma} {2}} t right) +2 operatorname {Re} left ( лямбда _ {f} right) sinh left ({ frac { Delta gamma} {2}} t right) + left (1- left | lambda _ {f} right | ^ { 2} right) cos left ( Delta mt right) +2 operatorname {Im} left ( lambda _ {f} right) sin left ( Delta mt right) right] конец {выровнено}}}$

и,

${ displaystyle { begin {align} wp _ {{ bar {P}} to f} left (t right) & = left | left langle f | { bar {P}} left (t right) right rangle right | ^ {2} & = left | A_ {f} right | ^ {2} left | { frac {p} {q}} right | ^ {2} { frac {e ^ {- gamma t}} {2}} left [ left (1+ left | lambda _ {f} right | ^ {2} right) cosh left ({ frac { Delta gamma} {2}} t right) +2 operatorname {Re} left ( lambda _ {f} right) sinh left ({ frac { Delta gamma} {2}} t right) - left (1- left | lambda _ {f} right | ^ {2} right) cos left ( Delta mt right) -2 operatorname {Im} left ( lambda _ {f} right) sin left ( Delta mt right) right] конец {выровнено}}}$

куда,
${ displaystyle { begin {align} gamma & = { frac { gamma _ {H} + gamma _ {L}} {2}} Delta gamma = gamma _ {H} - gamma _ {L} Delta m & = m_ {H} -m_ {L} lambda _ {f} & = { frac {q} {p}} { frac {{ bar {A}} _ {f}} {A_ {f}}} A_ {f} & = left langle f | P right rangle { bar {A}} _ {f} & = left langle f | { bar {P}} right rangle end {align}}}$

Из двух вышеупомянутых величин видно, что даже при отсутствии CP-нарушения только за счет перемешивания (т.е. ${ Displaystyle влево | д / р вправо | = 1}$), и нет никакого CP-нарушения только из-за распада (т.е. ${ displaystyle left | { bar {A}} _ {f} / A_ {f} right | = 1}$) и поэтому ${ displaystyle left | lambda _ {f} right | = 1}$, вероятности все равно будут неравными, если

Таким образом, последние члены в приведенных выше выражениях для вероятности связаны с интерференцией между смешиванием и распадом.

Альтернативная классификация

Обычно проводится альтернативная классификация CP-нарушения:^[20]

Прямое нарушение CP

Прямое нарушение CP определяется как, ${ displaystyle left | { bar {A}} _ {f} / A_ {f} right | neq 1}$. В терминах вышеперечисленных категорий прямое CP-нарушение происходит при CP-нарушении только через распад.

Косвенное нарушение CP

Косвенное CP-нарушение - это тип CP-нарушения, который включает смешивание. В терминах вышеупомянутой классификации непрямое нарушение CP происходит только в результате смешения, или из-за интерференции смешения-распада, или в обоих случаях.

Конкретные случаи

Колебания нейтрино

Учитывая сильная связь между двумя собственными состояниями аромата нейтрино (например,
ν
_е–
ν
_μ,
ν
_μ–
ν
_τи т. д.) и очень слабой связи между третьим (то есть третье не влияет на взаимодействие между двумя другими), уравнение (6) дает вероятность нейтрино типа ${ displaystyle alpha}$ превращение в тип ${ displaystyle beta}$ в качестве,

${ displaystyle P _ { beta alpha} left (t right) = sin ^ {2} theta sin ^ {2} left ({ frac {E _ {+} - E _ {-}} { 2 hbar}} t right)}$

куда, ${ displaystyle E _ {+}}$ и ${ displaystyle E _ {-}}$ являются собственными состояниями энергии.

Вышеизложенное можно записать как,

куда,
${ displaystyle Delta m ^ {2} = {m _ {+}} ^ {2} - {m _ {-}} ^ {2}}$, т.е. разность квадратов масс собственных состояний энергии, ${ displaystyle c}$ это скорость света в вакууме, ${ displaystyle x}$ - расстояние, пройденное нейтрино после рождения, ${ displaystyle E}$ - энергия, с которой было создано нейтрино, и ${ displaystyle lambda _ { text {osc}}}$ - длина волны колебаний.

Доказательство

${ displaystyle E _ { pm} = { sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + {m _ { pm}} ^ {2} c ^ {4}}} simeq pc left (1+ { frac {{m _ { pm}} ^ {2} c ^ {2}} {2p ^ {2}}} right) left [ потому что { frac {m _ { pm} c} {p }} ll 1 right]}$ куда, ${ displaystyle p}$ - импульс, с которым было создано нейтрино. Сейчас же, ${ displaystyle E simeq pc}$ и ${ Displaystyle т simeq х / с}$. Следовательно, ${ displaystyle { frac {E _ {+} - E _ {-}} {2 hbar}} t simeq { frac { left ({m _ {+}} ^ {2} - {m _ {-}} ^ {2} right) c ^ {3}} {2p hbar}} t simeq { frac { Delta m ^ {2} c ^ {3}} {4E hbar}} x = { frac {2 pi} { lambda _ { text {osc}}}} x}$ куда, ${ displaystyle lambda _ { text {osc}} = { frac {8 pi E hbar} { Delta m ^ {2} c ^ {3}}}}$

Таким образом, связь между собственными состояниями энергии (массы) производит явление колебаний между собственными состояниями аромата. Один важный вывод состоит в том, что нейтрино имеют конечную массу, хотя и очень маленькую.. Следовательно, их скорость не совсем такая же, как у света, но немного ниже.

Расщепление масс нейтрино

С тремя видами нейтрино есть три массовых расщепления:

${ displaystyle { begin {align} left ( Delta m ^ {2} right) _ {12} & = {m_ {1}} ^ {2} - {m_ {2}} ^ {2} left ( Delta m ^ {2} right) _ {23} & = {m_ {2}} ^ {2} - {m_ {3}} ^ {2} left ( Delta m ^ {2} right) _ {31} & = {m_ {3}} ^ {2} - {m_ {1}} ^ {2} end {align}}}$

Но только два из них независимы, потому что ${ displaystyle left ( Delta m ^ {2} right) _ {12} + left ( Delta m ^ {2} right) _ {23} + left ( Delta m ^ {2} справа) _ {31} = 0 ~}$.

Для солнечных нейтрино ${ displaystyle left ( Delta m ^ {2} right) _ { text {sol}} simeq 8 times 10 ^ {- 5} left (eV / c ^ {2} right) ^ { 2}}$.

Для атмосферных нейтрино ${ displaystyle left ( Delta m ^ {2} right) _ { text {atm}} simeq 3 times 10 ^ {- 3} left (eV / c ^ {2} right) ^ { 2}}$.

Это означает, что два из трех нейтрино имеют очень близкие массы. Поскольку только двое из трёх ${ displaystyle Delta m ^ {2}}$ независимы, а выражение для вероятности в уравнении (13) не чувствителен к знаку ${ displaystyle Delta m ^ {2}}$ (в качестве синус в квадрате не зависит от знака аргумента), невозможно однозначно определить спектр масс нейтрино из явления осцилляции аромата. То есть любые два из трех могут иметь близко расположенные массы.

Более того, поскольку колебания чувствительны только к разностям (квадратов) масс, прямое определение массы нейтрино из экспериментов с осцилляциями невозможно.

Масштаб длины системы

Уравнение (13) указывает на то, что подходящим масштабом системы является длина волны колебаний ${ displaystyle lambda _ { text {osc}}}$. Мы можем сделать следующие выводы:

• Если ${ Displaystyle х / лямбда _ { текст {osc}} ll 1}$, тогда ${ Displaystyle Р _ { бета альфа} simeq 0}$ и колебаний не будет. Например, производство (скажем, радиоактивным распадом) и обнаружение нейтрино в лаборатории.
• Если ${ displaystyle x / lambda _ { text {osc}} simeq n}$, куда ${ displaystyle n}$ целое число, тогда ${ displaystyle P _ { beta alpha} simeq 0}$ и колебаний не будет.
• Во всех остальных случаях будут наблюдаться колебания. Например, ${ Displaystyle х / лямбда _ { текст {osc}} gg 1}$ для солнечных нейтрино; ${ displaystyle x sim lambda _ { text {osc}}}$ для нейтрино от атомной электростанции, обнаруженных в лаборатории в нескольких километрах.

Колебания и распад нейтрального каона

Нарушение CP только за счет перемешивания

В статье 1964 года Кристенсона и др.^[6] предоставили экспериментальные доказательства нарушения CP в нейтральной системе Kaon. Так называемый долгоживущий Каон (CP = −1) распался на два пиона (CP = (−1) (- 1) = 1), тем самым нарушив сохранение CP.

${ displaystyle left | K ^ {0} right rangle}$ и ${ displaystyle left | { bar {K}} ^ {0} right rangle}$ являясь собственными состояниями странности (с собственными значениями +1 и -1 соответственно), собственными состояниями энергии являются,

${ displaystyle { begin {align} left | K _ {^ {1}} ^ {0} right rangle & = { frac {1} { sqrt {2}}} left ( left | K ^ {0} right rangle + left | { bar {K}} ^ {0} right rangle right) left | K_ {2} ^ {0} right rangle & = { frac {1} { sqrt {2}}} left ( left | K ^ {0} right rangle - left | { bar {K}} ^ {0} right rangle right) конец {выровнено}}}$

Эти два также являются собственными состояниями CP с собственными значениями +1 и -1 соответственно. От более раннего представления о сохранении CP (симметрии) ожидалось следующее:

• Потому что ${ displaystyle left | K _ {^ {1}} ^ {0} right rangle}$ имеет собственное значение CP +1, он может распадаться на два пиона или, при правильном выборе углового момента, на три пиона. Однако двухпионный распад происходит гораздо чаще.
• ${ displaystyle left | K_ {2} ^ {0} right rangle}$ имеющий собственное значение CP −1, может распадаться только на три пиона и никогда не распадется на два.

Поскольку двухпионный распад происходит намного быстрее, чем трехпионный распад, ${ displaystyle left | K _ {^ {1}} ^ {0} right rangle}$ упоминался как недолговечный Каон ${ displaystyle left | K_ {S} ^ {0} right rangle}$, и ${ displaystyle left | K_ {2} ^ {0} right rangle}$ как долгоживущий Каон ${ displaystyle left | K_ {L} ^ {0} right rangle}$. Эксперимент 1964 года показал, что вопреки ожиданиям, ${ displaystyle left | K_ {L} ^ {0} right rangle}$ может распасться на два пиона. Это означало, что долгоживущий Каон не может быть чисто собственным CP-состоянием. ${ displaystyle left | K_ {2} ^ {0} right rangle}$, но должен содержать небольшую примесь ${ displaystyle left | K _ {^ {1}} ^ {0} right rangle}$, тем самым больше не являясь собственным состоянием CP.^[21] Аналогичным образом было предсказано, что недолговечный Каон будет содержать небольшую примесь ${ displaystyle left | K_ {2} ^ {0} right rangle}$. То есть,

${ displaystyle { begin {align} left | K_ {L} ^ {0} right rangle & = { frac {1} { sqrt {1+ left | varepsilon right | ^ {2} }}} left ( left | K_ {2} ^ {0} right rangle + varepsilon left | K_ {1} ^ {0} right rangle right) left | K_ {S } ^ {0} right rangle & = { frac {1} { sqrt {1+ left | varepsilon right | ^ {2}}}} left ( left | K_ {1} ^ { 0} right rangle + varepsilon left | K_ {2} ^ {0} right rangle right) end {выравнивается}}}$

куда, ${ displaystyle varepsilon}$ является сложной величиной и является мерой отклонения от CP-инвариантности. Экспериментально ${ displaystyle left | varepsilon right | = left (2.228 pm 0.011 right) times 10 ^ {- 3}}$.^[22]

Письмо ${ displaystyle left | K _ {^ {1}} ^ {0} right rangle}$ и ${ displaystyle left | K_ {2} ^ {0} right rangle}$ с точки зрения ${ displaystyle left | K ^ {0} right rangle}$ и ${ displaystyle left | { bar {K}} ^ {0} right rangle}$, получаем (учитывая, что ${ displaystyle m_ {K_ {L} ^ {0}}> m_ {K_ {S} ^ {0}}}$^[22]) вид уравнения (9):

${ Displaystyle { begin {align} left | K_ {L} ^ {0} right rangle & = left (p left | K ^ {0} right rangle -q left | { bar {K}} ^ {0} right rangle right) left | K_ {S} ^ {0} right rangle & = left (p left | K ^ {0} right rangle + q left | { bar {K}} ^ {0} right rangle right) end {align}}}$

куда, ${ displaystyle { frac {q} {p}} = { frac {1- varepsilon} {1+ varepsilon}}}$.

С ${ displaystyle left | varepsilon right | neq 0}$, условие (11) удовлетворяется, и есть смешивание между собственными состояниями странности ${ displaystyle left | K ^ {0} right rangle}$ и ${ displaystyle left | { bar {K}} ^ {0} right rangle}$ давая начало долгоживущему и недолговечному состоянию.

Нарушение CP только через распад

В
K⁰
_L и
K⁰
_S имеют два режима распада двух пионов:
π⁰

π⁰
или же
π⁺

π⁻
. Оба этих конечных состояния являются собственными состояниями CP. Мы можем определить отношения ветвления как,^[20]

${ displaystyle { begin {align} eta _ {+ -} & = { frac { left langle pi ^ {+} pi ^ {-} | K_ {L} ^ {0} right rangle} { left langle pi ^ {+} pi ^ {-} | K_ {S} ^ {0} right rangle}} = { frac {pA _ { pi ^ {+} pi ^ {-}} - q { bar {A}} _ { pi ^ {+} pi ^ {-}}} {pA _ { pi ^ {+} pi ^ {-}} + q { bar {A}} _ { pi ^ {+} pi ^ {-}}}} = { frac {1- lambda _ { pi ^ {+} pi ^ {-}}} {1+ лямбда _ { pi ^ {+} pi ^ {-}}}} [3pt] eta _ {00} & = { frac { left langle pi ^ {0} pi ^ {0 } | K_ {L} ^ {0} right rangle} { left langle pi ^ {0} pi ^ {0} | K_ {S} ^ {0} right rangle}} = { гидроразрыв {pA _ { pi ^ {0} pi ^ {0}} - q { bar {A}} _ { pi ^ {0} pi ^ {0}}} {pA _ { pi ^ {0 } pi ^ {0}} + q { bar {A}} _ { pi ^ {0} pi ^ {0}}}} = { frac {1- lambda _ { pi ^ {0 } pi ^ {0}}} {1+ lambda _ { pi ^ {0} pi ^ {0}}}} end {выровнено}}}$.

Экспериментально ${ displaystyle eta _ {+ -} = left (2.232 pm 0.011 right) times 10 ^ {- 3}}$^[22] и ${ displaystyle eta _ {00} = left (2.220 pm 0.011 right) times 10 ^ {- 3}}$. То есть ${ displaystyle eta _ {+ -} neq eta _ {00}}$, подразумевая ${ displaystyle left | A _ { pi ^ {+} pi ^ {-}} / { bar {A}} _ { pi ^ {+} pi ^ {-}} right | neq 1 }$ и ${ displaystyle left | A _ { pi ^ {0} pi ^ {0}} / { bar {A}} _ { pi ^ {0} pi ^ {0}} right | neq 1 }$, и тем самым удовлетворяет условию (10).

Другими словами, в асимметрии между двумя модами распада наблюдается прямое CP-нарушение.

Нарушение CP из-за интерференции смешения-распада

Если конечное состояние (скажем ${ displaystyle f_ {CP}}$) является собственным состоянием CP (например,
π⁺

π⁻
), то есть две разные амплитуды распада, соответствующие двум разным путям распада:^[23]

${ displaystyle { begin {align} K ^ {0} & to f_ {CP} K ^ {0} & to { bar {K}} ^ {0} to f_ {CP} end {выровнено}}}$.