WikiDer > Строительство Неймана

Neyman construction

Строительство Неймана это частотник метод построения интервала на уровень уверенности ${displaystyle C ,,}$ такой, что если мы повторим эксперимент много раз, интервал будет содержать истинное значение некоторого параметра дробной части ${displaystyle C,}$ времени. Он назван в честь Ежи Нейман.

Теория

Предполагать ${displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ... X_ {n}}$ случайные величины с совместным pdf ${displaystyle f (x_ {1}, x_ {2}, ... x_ {n} | heta _ {1}, heta _ {2}, ..., heta _ {k})}$ , который зависит от k неизвестных параметров. Для удобства пусть ${displaystyle Theta}$ быть пространством выборки, определяемым n случайными величинами, и последовательно определять точку выборки в пространстве выборки как ${displaystyle X = (X_ {1}, X_ {2}, ... X_ {n})}$
Первоначально Нейман предлагал определить две функции ${displaystyle L (x)}$ и ${displaystyle U (x)}$ так что для любой точки выборки ${displaystyle X}$ ,

${displaystyle L (X) leq U (X)}$ ${displaystyle forall Xin Theta}$
L и U однозначны и определены.

Учитывая наблюдение, ${displaystyle X ^ {'}}$ , вероятность того, что ${displaystyle heta _ {1}}$ лежит между ${displaystyle L (X ^ {'})}$ и ${displaystyle U (X ^ {'})}$ определяется как ${displaystyle P (L (X ^ {'}) leq heta _ {1} leq U (X ^ {'}) | X ^ {'})}$ с вероятностью ${displaystyle 0}$ или же ${displaystyle 1}$ . Эти рассчитанные вероятности не позволяют сделать значимый вывод о ${displaystyle heta _ {1}}$ поскольку вероятность равна нулю или единице. Кроме того, в рамках частотной конструкции параметры модели являются неизвестными константами и не могут быть случайными величинами.^[1] Например, если ${displaystyle heta _ {1} = 5}$ , тогда ${displaystyle P (2leq 5leq 10) = 1}$ . Аналогично, если ${displaystyle heta _ {1} = 11}$ , тогда ${displaystyle P (2leq 11leq 10) = 0}$

Как описывает Нейман в своей статье 1937 года, предположим, что мы рассматриваем все точки в пространстве выборки, то есть ${displaystyle forall Xin Theta}$ , которые представляют собой систему случайных величин, определенных описанным выше объединенным pdf. С ${displaystyle L}$ и ${displaystyle U}$ являются функциями ${displaystyle X}$ они тоже являются случайными величинами, и можно проверить значение следующего утверждения вероятности:

Согласно частотной конструкции параметры модели являются неизвестными константами и не могут быть случайными величинами. Рассмотрение всех точек выборки в пространстве выборки как случайных величин определило объединенный PDF-файл выше, то есть все

{displaystyle Xin Theta}

можно показать, что

{displaystyle L}

и

{displaystyle U}

являются функциями случайных величин и, следовательно, случайных величин. Поэтому можно посмотреть на вероятность

{displaystyle L (X)}

и

{displaystyle U (X)}

для некоторых

{displaystyle Xin Theta}

. Если

{displaystyle heta _ {1} ^ {'}}

истинная ценность

{displaystyle heta _ {1}}

, мы можем определить

{displaystyle L}

и

{displaystyle U}

такая, что вероятность

{displaystyle L (X) leq heta _ {1} ^ {'}}

и

{displaystyle heta _ {1} ^ {'} leq U (X)}

равно заранее указанному уровень уверенности

{displaystyle, C}

.

То есть, ${displaystyle P (L (X) leq heta _ {1} ^ {'} leq U (X) | heta _ {1} ^ {'}) = C}$ куда ${displaystyle 0leq Cleq 1}$ куда ${displaystyle L (X)}$ и ${displaystyle U (X)}$ верхний и нижний доверительные границы для ${displaystyle heta _ {1}}$ ^[1]

Вероятность покрытия

В вероятность покрытия, ${displaystyle C}$ , для построения Неймана - это частота экспериментов, при которой доверительный интервал содержит актуальное интересующее значение. Обычно вероятность охвата устанавливается равной ${displaystyle 95 \%}$ уверенность. Для конструкции Неймана вероятность покрытия устанавливается равной некоторому значению ${displaystyle C}$ куда ${displaystyle 0$ . Это значение ${displaystyle C}$ сообщает, насколько уверенно истинное значение содержится в интервале.

Выполнение

Построение Неймана может быть выполнено путем выполнения нескольких экспериментов, которые создают наборы данных, соответствующие заданному значению параметра. Эксперименты проводятся с использованием традиционных методов, а пространство подобранных значений параметров составляет полосу, из которой может быть выбран доверительный интервал.

Классический пример

График 50 доверительных интервалов из 50 выборок, созданных на основе нормального распределения.

Предполагать ${displaystyle X}$ ~ ${displaystyle N (heta, sigma ^ {2})}$ , куда ${displaystyle heta}$ и ${displaystyle sigma ^ {2}}$ неизвестные константы, где мы хотим оценить ${displaystyle heta}$ . Мы можем определить (2) однозначные функции, ${displaystyle L}$ и ${displaystyle U}$ , определенный описанным выше процессом, при котором заданный заранее уровень достоверности ${displaystyle C}$ , и случайная выборка ${displaystyle X ^ {*}}$ =( ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ... x_ {n}}$ )

{displaystyle L (X ^ {*}) = {ar {x}} - {frac {ts} {sqrt {n}}}}

{displaystyle U (X ^ {*}) = {ar {x}} + {frac {ts} {sqrt {n}}}}

куда

{displaystyle {ar {x}} = {frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} = {frac {1} {n}} (x_ {1}, x_ {2}, ... x_ {n})}

,

{displaystyle s = {sqrt {{frac {1} {n-1}} sum _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} - {ar {x}}) ^ {2}}}}

и

{displaystyle t}

следует t-распределению с (n-1) степенями свободы.

{displaystyle t}

~ т_{${displaystyle ({1-C} / 2, n-1)}$}

^[2]

Другой пример

${displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ..., X_ {n}}$ iid случайные величины, и пусть ${displaystyle T = (X_ {1}, X_ {2}, ..., XZ_ {n})}$ . Предполагать ${displaystyle Tsim N (mu, sigma ^ {2})}$ . Теперь для построения доверительного интервала с ${displaystyle C}$ уровень уверенности. Мы знаем ${displaystyle {ar {x}}}$ достаточно для ${displaystyle mu}$ . Так,