В теория вероятности и статистика , то нецентральное распределение хи-квадрат (или нецентральное распределение хи-квадрат, нецентральный χ 2 { displaystyle chi ^ {2}} распределение ) это нецентральное обобщение из распределение хи-квадрат . Часто возникает в анализ мощности статистических тестов, в которых нулевое распределение является (возможно, асимптотически) распределением хи-квадрат; важными примерами таких испытаний являются тесты отношения правдоподобия .
Фон
Позволять ( Икс 1 , Икс 2 , … , Икс я , … , Икс k ) { Displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {i}, ldots, X_ {k})} быть k независимый , нормально распределенный случайные величины со средними значениями μ я { Displaystyle mu _ {я}} и единичные отклонения. Тогда случайная величина
∑ я = 1 k Икс я 2 { Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {к} X_ {я} ^ {2}} распределяется согласно нецентральному распределению хи-квадрат. У него два параметра: k { displaystyle k} который определяет количество степени свободы (т.е. количество Икс я { displaystyle X_ {i}} ), и λ { displaystyle lambda} который связан со средним значением случайных величин Икс я { displaystyle X_ {i}} к:
λ = ∑ я = 1 k μ я 2 . { displaystyle lambda = sum _ {i = 1} ^ {k} mu _ {i} ^ {2}.} λ { displaystyle lambda} иногда называют параметр нецентральности . Обратите внимание, что некоторые ссылки определяют λ { displaystyle lambda} другими способами, такими как половина указанной выше суммы или ее квадратный корень.
Это распределение возникает в многомерная статистика как производная от многомерное нормальное распределение . Хотя центральный распределение хи-квадрат это квадрат норма из случайный вектор с N ( 0 k , я k ) { displaystyle N (0_ {k}, I_ {k})} распределения (т.е.квадрат расстояния от начала координат до точки, взятой случайным образом из этого распределения), нецентральное χ 2 { displaystyle chi ^ {2}} квадрат нормы случайного вектора с N ( μ , я k ) { Displaystyle N ( mu, I_ {k})} распределение. Здесь 0 k { displaystyle 0_ {k}} - нулевой вектор длины k , μ = ( μ 1 , … , μ k ) { Displaystyle му = ( му _ {1}, ldots, му _ {к})} и я k { displaystyle I_ {k}} это единичная матрица размера k .
Определение
В функция плотности вероятности (pdf) дается
ж Икс ( Икс ; k , λ ) = ∑ я = 0 ∞ е − λ / 2 ( λ / 2 ) я я ! ж Y k + 2 я ( Икс ) , { displaystyle f_ {X} (x; k, lambda) = sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {e ^ {- lambda / 2} ( lambda / 2) ^ { i}} {i!}} f_ {Y_ {k + 2i}} (x),} куда Y q { displaystyle Y_ {q}} распределяется как хи-квадрат с q { displaystyle q} степени свободы.
Из этого представления видно, что нецентральное распределение хи-квадрат является взвешенным по Пуассону. смесь центрального распределения хи-квадрат. Предположим, что случайная величина J имеет распределение Пуассона со средним λ / 2 { displaystyle lambda / 2} , а условное распределение из Z данный J = я хи-квадрат с k + 2я степени свободы. Тогда безусловное распределение из Z не центральный хи-квадрат с k степени свободы и параметр нецентральности λ { displaystyle lambda} .
В качестве альтернативы PDF-файл можно записать как
ж Икс ( Икс ; k , λ ) = 1 2 е − ( Икс + λ ) / 2 ( Икс λ ) k / 4 − 1 / 2 я k / 2 − 1 ( λ Икс ) { displaystyle f_ {X} (x; k, lambda) = { frac {1} {2}} e ^ {- (x + lambda) / 2} left ({ frac {x} { lambda }} right) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({ sqrt { lambda x}})} куда я ν ( у ) { Displaystyle I _ { nu} (у)} это модифицированный Функция Бесселя первого вида, данного
я ν ( у ) = ( у / 2 ) ν ∑ j = 0 ∞ ( у 2 / 4 ) j j ! Γ ( ν + j + 1 ) . { displaystyle I _ { nu} (y) = (y / 2) ^ { nu} sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(y ^ {2} / 4) ^ { j}} {j! Gamma ( nu + j + 1)}}.} Используя соотношение между Функции Бесселя и гипергеометрические функции , PDF-файл также можно записать как:[1]
ж Икс ( Икс ; k , λ ) = е − λ / 2 0 F 1 ( ; k / 2 ; λ Икс / 4 ) 1 2 k / 2 Γ ( k / 2 ) е − Икс / 2 Икс k / 2 − 1 . { displaystyle f_ {X} (x; k, lambda) = {{ rm {e}} ^ {- lambda / 2}} _ {0} F_ {1} (; k / 2; lambda x / 4) { frac {1} {2 ^ {k / 2} Gamma (k / 2)}} { rm {e}} ^ {- x / 2} x ^ {k / 2-1}. } Сигел (1979) обсуждает случай k = 0 конкретно (нулевые степени свободы ), и в этом случае распределение имеет дискретную составляющую в нуле.
Характеристики
Функция создания момента В момент-производящая функция дан кем-то
M ( т ; k , λ ) = exp ( λ т 1 − 2 т ) ( 1 − 2 т ) k / 2 . { Displaystyle M (t; к, lambda) = { frac { exp left ({ frac { lambda t} {1-2t}} right)} {(1-2t) ^ {k / 2}}}.} Моменты Первые несколько сырых моменты находятся:
μ 1 ′ = k + λ { Displaystyle mu '_ {1} = к + лямбда} μ 2 ′ = ( k + λ ) 2 + 2 ( k + 2 λ ) { Displaystyle му '_ {2} = (к + лямбда) ^ {2} +2 (к + 2 лямбда)} μ 3 ′ = ( k + λ ) 3 + 6 ( k + λ ) ( k + 2 λ ) + 8 ( k + 3 λ ) { Displaystyle му '_ {3} = (к + лямбда) ^ {3} +6 (к + лямбда) (к + 2 лямбда) +8 (к + 3 лямбда)} μ 4 ′ = ( k + λ ) 4 + 12 ( k + λ ) 2 ( k + 2 λ ) + 4 ( 11 k 2 + 44 k λ + 36 λ 2 ) + 48 ( k + 4 λ ) { displaystyle mu '_ {4} = (k + lambda) ^ {4} +12 (k + lambda) ^ {2} (k + 2 lambda) +4 (11k ^ {2} + 44k lambda) +36 lambda ^ {2}) + 48 (k + 4 lambda)} Первые несколько центральных моменты находятся:
μ 2 = 2 ( k + 2 λ ) { Displaystyle му _ {2} = 2 (к + 2 лямбда) ,} μ 3 = 8 ( k + 3 λ ) { Displaystyle му _ {3} = 8 (к + 3 лямбда) ,} μ 4 = 12 ( k + 2 λ ) 2 + 48 ( k + 4 λ ) { Displaystyle му _ {4} = 12 (к + 2 лямбда) ^ {2} +48 (к + 4 лямбда) ,} В п th кумулянт является
K п = 2 п − 1 ( п − 1 ) ! ( k + п λ ) . { Displaystyle К_ {п} = 2 ^ {п-1} (п-1)! (к + п лямбда). ,} Следовательно
μ п ′ = 2 п − 1 ( п − 1 ) ! ( k + п λ ) + ∑ j = 1 п − 1 ( п − 1 ) ! 2 j − 1 ( п − j ) ! ( k + j λ ) μ п − j ′ . { displaystyle mu '_ {n} = 2 ^ {n-1} (n-1)! (k + n lambda) + sum _ {j = 1} ^ {n-1} { frac { (n-1)! 2 ^ {j-1}} {(nj)!}} (k + j lambda) mu '_ {nj}.} Кумулятивная функция распределения Снова используя соотношение между центральным и нецентральным распределениями хи-квадрат, кумулятивная функция распределения (cdf) можно записать как
п ( Икс ; k , λ ) = е − λ / 2 ∑ j = 0 ∞ ( λ / 2 ) j j ! Q ( Икс ; k + 2 j ) { Displaystyle Р (Икс; К, лямбда) = е ^ {- лямбда / 2} ; сумма _ {j = 0} ^ { infty} { frac {( lambda / 2) ^ {j }} {j!}} Q (x; k + 2j)} куда Q ( Икс ; k ) { Displaystyle Q (х; к) ,} - кумулятивная функция распределения центрального распределения хи-квадрат с k степени свободы, которая задается
Q ( Икс ; k ) = γ ( k / 2 , Икс / 2 ) Γ ( k / 2 ) { Displaystyle Q (х; к) = { гидроразрыва { гамма (к / 2, х / 2)} { Гамма (к / 2)}} ,} и где γ ( k , z ) { Displaystyle гамма (к, г) ,} это нижняя неполная гамма-функция . В Q-функция Маркума Q M ( а , б ) { Displaystyle Q_ {M} (а, б)} также может использоваться для представления cdf.[2]
п ( Икс ; k , λ ) = 1 − Q k 2 ( λ , Икс ) { displaystyle P (x; k, lambda) = 1-Q _ { frac {k} {2}} left ({ sqrt { lambda}}, { sqrt {x}} right)} Аппроксимация (в том числе для квантилей) Абдель-Аты[3] выводит (как "первое приближение") нецентральное приближение Вильсона-Хильферти:
( χ ′ 2 k + λ ) 1 3 { Displaystyle left ({ гидроразрыва { чи '^ {2}} {к + лямбда}} справа) ^ { гидроразрыва {1} {3}}} примерно нормально распределенный , ∼ N ( 1 − 2 9 ж , 2 9 ж ) , { displaystyle sim { mathcal {N}} left (1 - { frac {2} {9f}}, { frac {2} {9f}} right),} т.е.
п ( Икс ; k , λ ) ≈ Φ { ( Икс k + λ ) 1 / 3 − ( 1 − 2 9 ж ) 2 9 ж } , куда ж := ( k + λ ) 2 k + 2 λ = k + λ 2 k + 2 λ , { Displaystyle P (х; к, лямбда) приблизительно Phi left {{ frac { left ({ frac {x} {k + lambda}} right) ^ {1/3} - left (1 - { frac {2} {9f}} right)} { sqrt { frac {2} {9f}}}} right }, { text {where}} f: = { frac {(k + lambda) ^ {2}} {k + 2 lambda}} = k + { frac { lambda ^ {2}} {k + 2 lambda}},} что довольно точно и хорошо адаптируется к нецентральности. Также, ж = ж ( k , λ ) { Displaystyle е = е (к, лямбда)} становится ж = k { displaystyle f = k} за λ = 0 { displaystyle lambda = 0} , то (центральный) хи-квадрат дело.
Шанкаран[4] обсуждает ряд закрытая форма приближения для кумулятивная функция распределения . В более ранней статье[5] он вывел и сформулировал следующее приближение:
п ( Икс ; k , λ ) ≈ Φ { ( Икс k + λ ) час − ( 1 + час п ( час − 1 − 0.5 ( 2 − час ) м п ) ) час 2 п ( 1 + 0.5 м п ) } { displaystyle P (x; k, lambda) приблизительно Phi left {{ frac {({ frac {x} {k + lambda}}) ^ {h} - (1 + hp (h- 1-0,5 (2-h) mp))} {h { sqrt {2p}} (1 + 0,5mp)}} right }} куда
Φ { ⋅ } { Displaystyle Phi lbrace cdot rbrace ,} обозначает кумулятивная функция распределения из стандартное нормальное распределение ; час = 1 − 2 3 ( k + λ ) ( k + 3 λ ) ( k + 2 λ ) 2 ; { displaystyle h = 1 - { frac {2} {3}} { frac {(k + lambda) (k + 3 lambda)} {(k + 2 lambda) ^ {2}}} , ;} п = k + 2 λ ( k + λ ) 2 ; { displaystyle p = { frac {k + 2 lambda} {(k + lambda) ^ {2}}};} м = ( час − 1 ) ( 1 − 3 час ) . { Displaystyle м = (ч-1) (1-3 ч) ,.} Это и другие приближения обсуждаются в одном из последующих учебников.[6]
Для заданной вероятности эти формулы легко инвертировать, чтобы получить соответствующее приближение для Икс { displaystyle x} , чтобы вычислить приблизительные квантили.
Вывод в pdf
Получить функцию плотности вероятности проще всего, выполнив следующие шаги:
С Икс 1 , … , Икс k { Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {k}} имеют единичные дисперсии, их совместное распределение сферически симметрично, вплоть до локационного сдвига. Тогда из сферической симметрии следует, что распределение Икс = Икс 1 2 + ⋯ + Икс k 2 { Displaystyle X = X_ {1} ^ {2} + cdots + X_ {k} ^ {2}} зависит от средств только через квадрат длины, λ = μ 1 2 + ⋯ + μ k 2 { displaystyle lambda = mu _ {1} ^ {2} + cdots + mu _ {k} ^ {2}} . Поэтому без ограничения общности можно взять μ 1 = λ { displaystyle mu _ {1} = { sqrt { lambda}}} и μ 2 = ⋯ = μ k = 0 { Displaystyle му _ {2} = cdots = му _ {к} = 0} . Теперь выведите плотность Икс = Икс 1 2 { Displaystyle X = X_ {1} ^ {2}} (т.е. k = 1 случай). Простое преобразование случайных величин показывает, что ж Икс ( Икс , 1 , λ ) = 1 2 Икс ( ϕ ( Икс − λ ) + ϕ ( Икс + λ ) ) = 1 2 π Икс е − ( Икс + λ ) / 2 шиш ( λ Икс ) , { displaystyle { begin {align} f_ {X} (x, 1, lambda) & = { frac {1} {2 { sqrt {x}}}} left ( phi ({ sqrt { x}} - { sqrt { lambda}}) + phi ({ sqrt {x}} + { sqrt { lambda}}) right) & = { frac {1} { sqrt {2 pi x}}} e ^ {- (x + lambda) / 2} cosh ({ sqrt { lambda x}}), end {выравнивается}}} куда ϕ ( ⋅ ) { Displaystyle фи ( cdot)} стандартная нормальная плотность. Разверните шиш термин в ряду Тейлора. Это дает взвешенное по Пуассону смешанное представление плотности, все еще для k = 1. Индексы случайных величин хи-квадрат в приведенном выше ряду равны 1 + 2.я в этом случае. Наконец, для общего случая. Мы предположили, без ограничения общности, что Икс 2 , … , Икс k { Displaystyle X_ {2}, ldots, X_ {k}} стандартные нормальные, и поэтому Икс 2 2 + ⋯ + Икс k 2 { Displaystyle X_ {2} ^ {2} + cdots + X_ {k} ^ {2}} имеет центральный распределение хи-квадрат с (k - 1) степени свободы, не зависящие от Икс 1 2 { Displaystyle X_ {1} ^ {2}} . Используя взвешенное по Пуассону представление смеси для Икс 1 2 { Displaystyle X_ {1} ^ {2}} , и тот факт, что сумма случайных величин хи-квадрат также является хи-квадрат, завершает результат. Индексы в ряду (1 + 2я ) + (k − 1) = k + 2я как требуется. Связанные дистрибутивы
Если V { displaystyle V} является хи-квадрат распределен V ∼ χ k 2 { Displaystyle В сим чи _ {к} ^ {2}} тогда V { displaystyle V} также имеет нецентральное распределение хи-квадрат: V ∼ χ ′ k 2 ( 0 ) { Displaystyle В сим { чи '} _ {к} ^ {2} (0)} Линейная комбинация независимых нецентральных переменных хи-квадрат ξ = ∑ я λ я Y я + c , Y я ∼ χ ′ 2 ( м я , δ я 2 ) { displaystyle xi = sum _ {i} lambda _ {i} Y_ {i} + c, quad Y_ {i} sim chi '^ {2} (m_ {i}, delta _ { i} ^ {2})} , является обобщенный распределенный хи-квадрат . Если V 1 ∼ χ ′ k 1 2 ( λ ) { Displaystyle V_ {1} sim { chi '} _ {k_ {1}} ^ {2} ( lambda)} и V 2 ∼ χ ′ k 2 2 ( 0 ) { Displaystyle V_ {2} sim { chi '} _ {k_ {2}} ^ {2} (0)} и V 1 { displaystyle V_ {1}} не зависит от V 2 { displaystyle V_ {2}} затем нецентральный F -распределенный переменная разработана как V 1 / k 1 V 2 / k 2 ∼ F k 1 , k 2 ′ ( λ ) { displaystyle { frac {V_ {1} / k_ {1}} {V_ {2} / k_ {2}}} sim F '_ {k_ {1}, k_ {2}} ( lambda)} Если J ∼ п о я s s о п ( 1 2 λ ) { Displaystyle J sim mathrm {Пуассон} left ({{ frac {1} {2}} lambda} right)} , тогда χ k + 2 J 2 ∼ χ ′ k 2 ( λ ) { displaystyle chi _ {k + 2J} ^ {2} sim { chi '} _ {k} ^ {2} ( lambda)} Если V ∼ χ ′ 2 2 ( λ ) { Displaystyle В сим { чи '} _ {2} ^ {2} ( лямбда)} , тогда V { displaystyle { sqrt {V}}} берет Раздача риса с параметром λ { displaystyle { sqrt { lambda}}} . Нормальное приближение:[7] если V ∼ χ ′ k 2 ( λ ) { Displaystyle В сим { чи '} _ {к} ^ {2} ( лямбда)} , тогда V − ( k + λ ) 2 ( k + 2 λ ) → N ( 0 , 1 ) { displaystyle { frac {V- (k + lambda)} { sqrt {2 (k + 2 lambda)}}} to N (0,1)} в распределении как либо k → ∞ { Displaystyle к к infty} или же λ → ∞ { displaystyle lambda to infty} . Если V 1 ∼ χ ′ k 1 2 ( λ 1 ) { Displaystyle V_ {1} sim { chi '} _ {k_ {1}} ^ {2} ( lambda _ {1})} и V 2 ∼ χ ′ k 2 2 ( λ 2 ) { Displaystyle V_ {2} sim { chi '} _ {k_ {2}} ^ {2} ( lambda _ {2})} , куда V 1 , V 2 { displaystyle V_ {1}, V_ {2}} независимы, то W = ( V 1 + V 2 ) ∼ χ ′ k 2 ( λ 1 + λ 2 ) { Displaystyle W = (V_ {1} + V_ {2}) sim { chi '} _ {k} ^ {2} ( lambda _ {1} + lambda _ {2})} куда k = k 1 + k 2 { Displaystyle к = к_ {1} + к_ {2}} . В общем, для конечного набора V я ∼ χ ′ k я 2 ( λ я ) , я ∈ { 1.. N } { displaystyle V_ {i} sim { chi '} _ {k_ {i}} ^ {2} ( lambda _ {i}), я in left {1..N right }} , сумма этих нецентральных случайных величин с распределением хи-квадрат Y = ∑ я = 1 N V я { Displaystyle Y = сумма _ {я = 1} ^ {N} V_ {я}} имеет распространение Y ∼ χ ′ k у 2 ( λ у ) { displaystyle Y sim { chi '} _ {k_ {y}} ^ {2} ( lambda _ {y})} куда k у = ∑ я = 1 N k я , λ у = ∑ я = 1 N λ я { displaystyle k_ {y} = sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i}, lambda _ {y} = sum _ {i = 1} ^ {N} lambda _ {i} } . Это можно увидеть, используя следующие функции, генерирующие моменты: M Y ( т ) = M ∑ я = 1 N V я ( т ) = ∏ я = 1 N M V я ( т ) { Displaystyle M_ {Y} (t) = M _ { sum _ {i = 1} ^ {N} V_ {i}} (t) = prod _ {i = 1} ^ {N} M_ {V_ { Это)} независимостью V я { displaystyle V_ {i}} случайные переменные. Осталось подключить MGF для нецентральных распределений хи-квадрат в продукт и вычислить новый MGF - это оставлено как упражнение. В качестве альтернативы его можно рассматривать с помощью интерпретации в разделе «Предпосылки» выше как суммы квадратов независимых нормально распределенных случайных величин с дисперсией 1 и заданными средними значениями. В сложное нецентральное распределение хи-квадрат Имеет применение в радиосвязи и радиолокационных системах.[нужна цитата ] Позволять ( z 1 , … , z k ) { Displaystyle (z_ {1}, ldots, z_ {k})} быть независимым скаляром сложные случайные величины с нецентральной круговой симметрией, средства μ я { Displaystyle mu _ {я}} и отклонения от единицы: E | z я − μ я | 2 = 1 { displaystyle operatorname {E} left | z_ {i} - mu _ {i} right | ^ {2} = 1} . Тогда реальная случайная величина S = ∑ я = 1 k | z я | 2 { displaystyle S = sum _ {i = 1} ^ {k} left | z_ {i} right | ^ {2}} распределяется согласно сложному нецентральному распределению хи-квадрат: ж S ( S ) = ( S λ ) ( k − 1 ) / 2 е − ( S + λ ) я k − 1 ( 2 S λ ) { displaystyle f_ {S} (S) = left ({ frac {S} { lambda}} right) ^ {(k-1) / 2} e ^ {- (S + lambda)} I_ { k-1} (2 { sqrt {S lambda}})} куда λ = ∑ я = 1 k | μ я | 2 . { displaystyle lambda = sum _ {i = 1} ^ {k} left | mu _ {i} right | ^ {2}.} Трансформации Шанкаран (1963) обсуждает трансформации формы z = [ ( Икс − б ) / ( k + λ ) ] 1 / 2 { Displaystyle Z = [(X-b) / (к + лямбда)] ^ {1/2}} . Он анализирует расширения кумулянты из z { displaystyle z} до срока О ( ( k + λ ) − 4 ) { Displaystyle О ((к + лямбда) ^ {- 4})} и показывает, что следующий выбор б { displaystyle b} дают разумные результаты:
б = ( k − 1 ) / 2 { displaystyle b = (k-1) / 2} делает второй кумулянт z { displaystyle z} примерно независимо от λ { displaystyle lambda} б = ( k − 1 ) / 3 { displaystyle b = (k-1) / 3} делает третий кумулянт z { displaystyle z} примерно независимо от λ { displaystyle lambda} б = ( k − 1 ) / 4 { displaystyle b = (k-1) / 4} делает четвертый кумулянт z { displaystyle z} примерно независимо от λ { displaystyle lambda} Также более простое преобразование z 1 = ( Икс − ( k − 1 ) / 2 ) 1 / 2 { Displaystyle Z_ {1} = (X- (k-1) / 2) ^ {1/2}} может использоваться как преобразование, стабилизирующее дисперсию который производит случайную величину со средним значением ( λ + ( k − 1 ) / 2 ) 1 / 2 { Displaystyle ( лямбда + (к-1) / 2) ^ {1/2}} и дисперсия О ( ( k + λ ) − 2 ) { Displaystyle О ((к + лямбда) ^ {- 2})} .
Использование этих преобразований может быть затруднено из-за необходимости извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.
Различные распределения хи и хи-квадрат Имя Статистика распределение хи-квадрат ∑ 1 k ( Икс я − μ я σ я ) 2 { displaystyle sum _ {1} ^ {k} left ({ frac {X_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} right) ^ {2}} нецентральное распределение хи-квадрат ∑ 1 k ( Икс я σ я ) 2 { displaystyle sum _ {1} ^ {k} left ({ frac {X_ {i}} { sigma _ {i}}} right) ^ {2}} распределение ци ∑ 1 k ( Икс я − μ я σ я ) 2 { displaystyle { sqrt { sum _ {1} ^ {k} left ({ frac {X_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} right) ^ { 2}}}} нецентральное распределение ци ∑ 1 k ( Икс я σ я ) 2 { displaystyle { sqrt { sum _ {1} ^ {k} left ({ frac {X_ {i}} { sigma _ {i}}} right) ^ {2}}}}
Вхождения
Использование в интервалах допуска Двусторонний нормальный регресс интервалы допуска может быть получен на основе нецентрального распределения хи-квадрат.[8] Это позволяет рассчитать статистический интервал, в который с некоторым уровнем достоверности попадает указанная доля отобранной совокупности.
Примечания
^ Мюрхед (2005) Теорема 1.3.4 ^ Наттолл, Альберт Х. (1975): Некоторые интегралы, содержащие QM Функция , IEEE Transactions по теории информации , 21(1), 95–96, ISSN 0018-9448 ^ Абдель-Аты, С. (1954). Приближенные формулы для процентных точек и интеграла вероятности нецентрального распределения χ2 Биометрика 41, 538–540. DOI: 10.2307 / 2332731 ^ Шанкаран, М. (1963). Аппроксимации нецентрального распределения хи-квадрат Биометрика , 50(1-2), 199–204 ^ Шанкаран, М. (1959). «О нецентральном распределении хи-квадрат», Биометрика 46, 235–237 ^ Джонсон и др. (1995) Непрерывные одномерные распределения Раздел 29.8 ^ Muirhead (2005), страницы 22–24 и проблема 1.18. ^ Дерек С. Янг (август 2010 г.). "толерантность: пакет R для оценки интервалов допуска" . Журнал статистического программного обеспечения . 36 (5): 1–39. ISSN 1548-7660 . Получено 19 февраля 2013 . , стр.32Рекомендации
Абрамовиц М. и Стегун И. А. (1972), Справочник по математическим функциям , Дувр. Раздел 26.4.25. Джонсон, Н. Л., Коц, С., Балакришнан, Н. (1995), Непрерывные одномерные распределения, Том 2 (2-е издание) , Wiley. ISBN 0-471-58494-0 Мюрхед Р. (2005) Аспекты многомерной статистической теории (2-е издание). Вайли. ISBN 0-471-76985-1 Сигель, А. Ф. (1979), "Нецентральное распределение хи-квадрат с нулевыми степенями свободы и проверка на однородность", Биометрика , 66, 381–386 Press, S.J. (1966), «Линейные комбинации нецентральных переменных хи-квадрат», Анналы математической статистики , 37 (2): 480–487, Дои :10.1214 / aoms / 1177699531 , JSTOR 2238621 Дискретный одномерный с конечной опорой Дискретный одномерный с бесконечной поддержкой Непрерывный одномерный поддерживается на ограниченном интервале Непрерывный одномерный поддерживается на полубесконечном интервале Непрерывный одномерный поддерживается на всей реальной линии Непрерывный одномерный с поддержкой, тип которой варьируется Смешанная непрерывно-дискретная одномерная Многовариантный (совместный) Направленный Вырожденный и единственное число Семьи