WikiDer > Нецентральное распределение хи-квадрат

Нецентральный хи-квадрат

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Параметры	${ displaystyle k> 0 ,}$ степени свободы ${ displaystyle lambda> 0 ,}$ параметр нецентральности
Поддерживать	${ Displaystyle х в [0; + infty) ,}$
PDF	${ displaystyle { frac {1} {2}} e ^ {- (x + lambda) / 2} left ({ frac {x} { lambda}} right) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({ sqrt { lambda x}})}$
CDF	${ displaystyle 1-Q _ { frac {k} {2}} left ({ sqrt { lambda}}, { sqrt {x}} right)}$ с Q-функция Маркума ${ Displaystyle Q_ {M} (а, б)}$
Иметь в виду	${ Displaystyle к + лямбда ,}$
Дисперсия	${ Displaystyle 2 (к + 2 лямбда) ,}$
Асимметрия	${ displaystyle { frac {2 ^ {3/2} (k + 3 lambda)} {(k + 2 lambda) ^ {3/2}}}}}$
Бывший. эксцесс	${ Displaystyle { гидроразрыва {12 (к + 4 лямбда)} {(к + 2 лямбда) ^ {2}}}}$
MGF	${ displaystyle { frac { exp left ({ frac { lambda t} {1-2t}} right)} {(1-2t) ^ {k / 2}}} { text {for} } 2t <1}$
CF	${ displaystyle { frac { exp left ({ frac {i lambda t} {1-2it}} right)} {(1-2it) ^ {k / 2}}}}$

В теория вероятности и статистика, то нецентральное распределение хи-квадрат (или нецентральное распределение хи-квадрат, нецентральный ${ displaystyle chi ^ {2}}$ распределение) это нецентральное обобщение из распределение хи-квадрат. Часто возникает в анализ мощности статистических тестов, в которых нулевое распределение является (возможно, асимптотически) распределением хи-квадрат; важными примерами таких испытаний являются тесты отношения правдоподобия.

Фон

Позволять ${ Displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, ldots, X_ {i}, ldots, X_ {k})}$ быть k независимый, нормально распределенный случайные величины со средними значениями ${ Displaystyle mu _ {я}}$ и единичные отклонения. Тогда случайная величина

${ Displaystyle сумма _ {я = 1} ^ {к} X_ {я} ^ {2}}$

распределяется согласно нецентральному распределению хи-квадрат. У него два параметра: ${ displaystyle k}$ который определяет количество степени свободы (т.е. количество ${ displaystyle X_ {i}}$), и ${ displaystyle lambda}$ который связан со средним значением случайных величин ${ displaystyle X_ {i}}$ к:

${ displaystyle lambda = sum _ {i = 1} ^ {k} mu _ {i} ^ {2}.}$

${ displaystyle lambda}$ иногда называют параметр нецентральности. Обратите внимание, что некоторые ссылки определяют ${ displaystyle lambda}$ другими способами, такими как половина указанной выше суммы или ее квадратный корень.

Это распределение возникает в многомерная статистика как производная от многомерное нормальное распределение. Хотя центральный распределение хи-квадрат это квадрат норма из случайный вектор с ${ displaystyle N (0_ {k}, I_ {k})}$ распределения (т.е.квадрат расстояния от начала координат до точки, взятой случайным образом из этого распределения), нецентральное ${ displaystyle chi ^ {2}}$ квадрат нормы случайного вектора с ${ Displaystyle N ( mu, I_ {k})}$ распределение. Здесь ${ displaystyle 0_ {k}}$ - нулевой вектор длины k, ${ Displaystyle му = ( му _ {1}, ldots, му _ {к})}$ и ${ displaystyle I_ {k}}$ это единичная матрица размера k.

Определение

В функция плотности вероятности (pdf) дается

${ displaystyle f_ {X} (x; k, lambda) = sum _ {i = 0} ^ { infty} { frac {e ^ {- lambda / 2} ( lambda / 2) ^ { i}} {i!}} f_ {Y_ {k + 2i}} (x),}$

куда ${ displaystyle Y_ {q}}$ распределяется как хи-квадрат с ${ displaystyle q}$ степени свободы.

Из этого представления видно, что нецентральное распределение хи-квадрат является взвешенным по Пуассону. смесь центрального распределения хи-квадрат. Предположим, что случайная величина J имеет распределение Пуассона со средним ${ displaystyle lambda / 2}$, а условное распределение из Z данный J = я хи-квадрат с k + 2я степени свободы. Тогда безусловное распределение из Z не центральный хи-квадрат с k степени свободы и параметр нецентральности ${ displaystyle lambda}$.

В качестве альтернативы PDF-файл можно записать как

${ displaystyle f_ {X} (x; k, lambda) = { frac {1} {2}} e ^ {- (x + lambda) / 2} left ({ frac {x} { lambda }} right) ^ {k / 4-1 / 2} I_ {k / 2-1} ({ sqrt { lambda x}})}$

куда ${ Displaystyle I _ { nu} (у)}$ это модифицированный Функция Бесселя первого вида, данного

${ displaystyle I _ { nu} (y) = (y / 2) ^ { nu} sum _ {j = 0} ^ { infty} { frac {(y ^ {2} / 4) ^ { j}} {j! Gamma ( nu + j + 1)}}.}$

Используя соотношение между Функции Бесселя и гипергеометрические функции, PDF-файл также можно записать как:^[1]

${ displaystyle f_ {X} (x; k, lambda) = {{ rm {e}} ^ {- lambda / 2}} _ {0} F_ {1} (; k / 2; lambda x / 4) { frac {1} {2 ^ {k / 2} Gamma (k / 2)}} { rm {e}} ^ {- x / 2} x ^ {k / 2-1}. }$

Сигел (1979) обсуждает случай k = 0 конкретно (нулевые степени свободы), и в этом случае распределение имеет дискретную составляющую в нуле.

Характеристики

Функция создания момента

В момент-производящая функция дан кем-то

${ Displaystyle M (t; к, lambda) = { frac { exp left ({ frac { lambda t} {1-2t}} right)} {(1-2t) ^ {k / 2}}}.}$

Моменты

Первые несколько сырых моменты находятся:

${ Displaystyle mu '_ {1} = к + лямбда}$

${ Displaystyle му '_ {2} = (к + лямбда) ^ {2} +2 (к + 2 лямбда)}$

${ Displaystyle му '_ {3} = (к + лямбда) ^ {3} +6 (к + лямбда) (к + 2 лямбда) +8 (к + 3 лямбда)}$

${ displaystyle mu '_ {4} = (k + lambda) ^ {4} +12 (k + lambda) ^ {2} (k + 2 lambda) +4 (11k ^ {2} + 44k lambda) +36 lambda ^ {2}) + 48 (k + 4 lambda)}$

Первые несколько центральных моменты находятся:

${ Displaystyle му _ {2} = 2 (к + 2 лямбда) ,}$

${ Displaystyle му _ {3} = 8 (к + 3 лямбда) ,}$

${ Displaystyle му _ {4} = 12 (к + 2 лямбда) ^ {2} +48 (к + 4 лямбда) ,}$

В пth кумулянт является

${ Displaystyle К_ {п} = 2 ^ {п-1} (п-1)! (к + п лямбда). ,}$

Следовательно

${ displaystyle mu '_ {n} = 2 ^ {n-1} (n-1)! (k + n lambda) + sum _ {j = 1} ^ {n-1} { frac { (n-1)! 2 ^ {j-1}} {(nj)!}} (k + j lambda) mu '_ {nj}.}$

Кумулятивная функция распределения

Снова используя соотношение между центральным и нецентральным распределениями хи-квадрат, кумулятивная функция распределения (cdf) можно записать как

${ Displaystyle Р (Икс; К, лямбда) = е ^ {- лямбда / 2} ; сумма _ {j = 0} ^ { infty} { frac {( lambda / 2) ^ {j }} {j!}} Q (x; k + 2j)}$

куда ${ Displaystyle Q (х; к) ,}$ - кумулятивная функция распределения центрального распределения хи-квадрат с k степени свободы, которая задается

${ Displaystyle Q (х; к) = { гидроразрыва { гамма (к / 2, х / 2)} { Гамма (к / 2)}} ,}$

и где ${ Displaystyle гамма (к, г) ,}$ это нижняя неполная гамма-функция.

В Q-функция Маркума ${ Displaystyle Q_ {M} (а, б)}$ также может использоваться для представления cdf.^[2]

${ displaystyle P (x; k, lambda) = 1-Q _ { frac {k} {2}} left ({ sqrt { lambda}}, { sqrt {x}} right)}$

Аппроксимация (в том числе для квантилей)

Абдель-Аты^[3] выводит (как "первое приближение") нецентральное приближение Вильсона-Хильферти:

${ Displaystyle left ({ гидроразрыва { чи '^ {2}} {к + лямбда}} справа) ^ { гидроразрыва {1} {3}}}$ примерно нормально распределенный, ${ displaystyle sim { mathcal {N}} left (1 - { frac {2} {9f}}, { frac {2} {9f}} right),}$ т.е.

${ Displaystyle P (х; к, лямбда) приблизительно Phi left {{ frac { left ({ frac {x} {k + lambda}} right) ^ {1/3} - left (1 - { frac {2} {9f}} right)} { sqrt { frac {2} {9f}}}} right }, { text {where}} f: = { frac {(k + lambda) ^ {2}} {k + 2 lambda}} = k + { frac { lambda ^ {2}} {k + 2 lambda}},}$

что довольно точно и хорошо адаптируется к нецентральности. Также, ${ Displaystyle е = е (к, лямбда)}$ становится ${ displaystyle f = k}$ за ${ displaystyle lambda = 0}$, то (центральный) хи-квадрат дело.

Шанкаран^[4] обсуждает ряд закрытая форма приближения для кумулятивная функция распределения. В более ранней статье^[5] он вывел и сформулировал следующее приближение:

${ displaystyle P (x; k, lambda) приблизительно Phi left {{ frac {({ frac {x} {k + lambda}}) ^ {h} - (1 + hp (h- 1-0,5 (2-h) mp))} {h { sqrt {2p}} (1 + 0,5mp)}} right }}$

куда

${ Displaystyle Phi lbrace cdot rbrace ,}$ обозначает кумулятивная функция распределения из стандартное нормальное распределение;

${ displaystyle h = 1 - { frac {2} {3}} { frac {(k + lambda) (k + 3 lambda)} {(k + 2 lambda) ^ {2}}} , ;}$

${ displaystyle p = { frac {k + 2 lambda} {(k + lambda) ^ {2}}};}$

${ Displaystyle м = (ч-1) (1-3 ч) ,.}$

Это и другие приближения обсуждаются в одном из последующих учебников.^[6]

Для заданной вероятности эти формулы легко инвертировать, чтобы получить соответствующее приближение для ${ displaystyle x}$, чтобы вычислить приблизительные квантили.

Вывод в pdf

Получить функцию плотности вероятности проще всего, выполнив следующие шаги:

1. С ${ Displaystyle X_ {1}, ldots, X_ {k}}$ имеют единичные дисперсии, их совместное распределение сферически симметрично, вплоть до локационного сдвига.
2. Тогда из сферической симметрии следует, что распределение ${ Displaystyle X = X_ {1} ^ {2} + cdots + X_ {k} ^ {2}}$ зависит от средств только через квадрат длины, ${ displaystyle lambda = mu _ {1} ^ {2} + cdots + mu _ {k} ^ {2}}$. Поэтому без ограничения общности можно взять ${ displaystyle mu _ {1} = { sqrt { lambda}}}$ и ${ Displaystyle му _ {2} = cdots = му _ {к} = 0}$.
3. Теперь выведите плотность ${ Displaystyle X = X_ {1} ^ {2}}$ (т.е. k = 1 случай). Простое преобразование случайных величин показывает, что

${ displaystyle { begin {align} f_ {X} (x, 1, lambda) & = { frac {1} {2 { sqrt {x}}}} left ( phi ({ sqrt { x}} - { sqrt { lambda}}) + phi ({ sqrt {x}} + { sqrt { lambda}}) right) & = { frac {1} { sqrt {2 pi x}}} e ^ {- (x + lambda) / 2} cosh ({ sqrt { lambda x}}), end {выравнивается}}}$

куда ${ Displaystyle фи ( cdot)}$ стандартная нормальная плотность.

1. Разверните шиш термин в ряду Тейлора. Это дает взвешенное по Пуассону смешанное представление плотности, все еще для k = 1. Индексы случайных величин хи-квадрат в приведенном выше ряду равны 1 + 2.я в этом случае.
2. Наконец, для общего случая. Мы предположили, без ограничения общности, что ${ Displaystyle X_ {2}, ldots, X_ {k}}$ стандартные нормальные, и поэтому ${ Displaystyle X_ {2} ^ {2} + cdots + X_ {k} ^ {2}}$ имеет центральный распределение хи-квадрат с (k - 1) степени свободы, не зависящие от ${ Displaystyle X_ {1} ^ {2}}$. Используя взвешенное по Пуассону представление смеси для ${ Displaystyle X_ {1} ^ {2}}$, и тот факт, что сумма случайных величин хи-квадрат также является хи-квадрат, завершает результат. Индексы в ряду (1 + 2я) + (k − 1) = k + 2я как требуется.

Связанные дистрибутивы

• Если ${ displaystyle V}$ является хи-квадрат распределен ${ Displaystyle В сим чи _ {к} ^ {2}}$ тогда ${ displaystyle V}$ также имеет нецентральное распределение хи-квадрат: ${ Displaystyle В сим { чи '} _ {к} ^ {2} (0)}$
• Линейная комбинация независимых нецентральных переменных хи-квадрат ${ displaystyle xi = sum _ {i} lambda _ {i} Y_ {i} + c, quad Y_ {i} sim chi '^ {2} (m_ {i}, delta _ { i} ^ {2})}$, является обобщенный распределенный хи-квадрат.
• Если ${ Displaystyle V_ {1} sim { chi '} _ {k_ {1}} ^ {2} ( lambda)}$ и ${ Displaystyle V_ {2} sim { chi '} _ {k_ {2}} ^ {2} (0)}$ и ${ displaystyle V_ {1}}$ не зависит от ${ displaystyle V_ {2}}$ затем нецентральный F-распределенный переменная разработана как ${ displaystyle { frac {V_ {1} / k_ {1}} {V_ {2} / k_ {2}}} sim F '_ {k_ {1}, k_ {2}} ( lambda)}$
• Если ${ Displaystyle J sim mathrm {Пуассон} left ({{ frac {1} {2}} lambda} right)}$, тогда ${ displaystyle chi _ {k + 2J} ^ {2} sim { chi '} _ {k} ^ {2} ( lambda)}$
• Если ${ Displaystyle В сим { чи '} _ {2} ^ {2} ( лямбда)}$, тогда ${ displaystyle { sqrt {V}}}$ берет Раздача риса с параметром ${ displaystyle { sqrt { lambda}}}$.
• Нормальное приближение:^[7] если ${ Displaystyle В сим { чи '} _ {к} ^ {2} ( лямбда)}$, тогда ${ displaystyle { frac {V- (k + lambda)} { sqrt {2 (k + 2 lambda)}}} to N (0,1)}$ в распределении как либо ${ Displaystyle к к infty}$ или же ${ displaystyle lambda to infty}$.
• Если ${ Displaystyle V_ {1} sim { chi '} _ {k_ {1}} ^ {2} ( lambda _ {1})}$и ${ Displaystyle V_ {2} sim { chi '} _ {k_ {2}} ^ {2} ( lambda _ {2})}$, куда ${ displaystyle V_ {1}, V_ {2}}$ независимы, то ${ Displaystyle W = (V_ {1} + V_ {2}) sim { chi '} _ {k} ^ {2} ( lambda _ {1} + lambda _ {2})}$ куда ${ Displaystyle к = к_ {1} + к_ {2}}$.
• В общем, для конечного набора ${ displaystyle V_ {i} sim { chi '} _ {k_ {i}} ^ {2} ( lambda _ {i}), я in left {1..N right }}$, сумма этих нецентральных случайных величин с распределением хи-квадрат ${ Displaystyle Y = сумма _ {я = 1} ^ {N} V_ {я}}$ имеет распространение ${ displaystyle Y sim { chi '} _ {k_ {y}} ^ {2} ( lambda _ {y})}$ куда ${ displaystyle k_ {y} = sum _ {i = 1} ^ {N} k_ {i}, lambda _ {y} = sum _ {i = 1} ^ {N} lambda _ {i} }$. Это можно увидеть, используя следующие функции, генерирующие моменты: ${ Displaystyle M_ {Y} (t) = M _ { sum _ {i = 1} ^ {N} V_ {i}} (t) = prod _ {i = 1} ^ {N} M_ {V_ { Это)}$ независимостью ${ displaystyle V_ {i}}$ случайные переменные. Осталось подключить MGF для нецентральных распределений хи-квадрат в продукт и вычислить новый MGF - это оставлено как упражнение. В качестве альтернативы его можно рассматривать с помощью интерпретации в разделе «Предпосылки» выше как суммы квадратов независимых нормально распределенных случайных величин с дисперсией 1 и заданными средними значениями.
• В сложное нецентральное распределение хи-квадрат Имеет применение в радиосвязи и радиолокационных системах.^{[нужна цитата]} Позволять ${ Displaystyle (z_ {1}, ldots, z_ {k})}$ быть независимым скаляром сложные случайные величины с нецентральной круговой симметрией, средства ${ Displaystyle mu _ {я}}$ и отклонения от единицы: ${ displaystyle operatorname {E} left | z_ {i} - mu _ {i} right | ^ {2} = 1}$. Тогда реальная случайная величина ${ displaystyle S = sum _ {i = 1} ^ {k} left | z_ {i} right | ^ {2}}$ распределяется согласно сложному нецентральному распределению хи-квадрат:

${ displaystyle f_ {S} (S) = left ({ frac {S} { lambda}} right) ^ {(k-1) / 2} e ^ {- (S + lambda)} I_ { k-1} (2 { sqrt {S lambda}})}$

куда ${ displaystyle lambda = sum _ {i = 1} ^ {k} left | mu _ {i} right | ^ {2}.}$

Трансформации

Шанкаран (1963) обсуждает трансформации формы${ Displaystyle Z = [(X-b) / (к + лямбда)] ^ {1/2}}$. Он анализирует расширения кумулянты из ${ displaystyle z}$ до срока ${ Displaystyle О ((к + лямбда) ^ {- 4})}$ и показывает, что следующий выбор ${ displaystyle b}$ дают разумные результаты:

• ${ displaystyle b = (k-1) / 2}$ делает второй кумулянт ${ displaystyle z}$ примерно независимо от ${ displaystyle lambda}$
• ${ displaystyle b = (k-1) / 3}$ делает третий кумулянт ${ displaystyle z}$ примерно независимо от ${ displaystyle lambda}$
• ${ displaystyle b = (k-1) / 4}$ делает четвертый кумулянт ${ displaystyle z}$ примерно независимо от ${ displaystyle lambda}$

Также более простое преобразование ${ Displaystyle Z_ {1} = (X- (k-1) / 2) ^ {1/2}}$ может использоваться как преобразование, стабилизирующее дисперсию который производит случайную величину со средним значением ${ Displaystyle ( лямбда + (к-1) / 2) ^ {1/2}}$ и дисперсия ${ Displaystyle О ((к + лямбда) ^ {- 2})}$.

Использование этих преобразований может быть затруднено из-за необходимости извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Различные распределения хи и хи-квадрат

Имя	Статистика
распределение хи-квадрат	${ displaystyle sum _ {1} ^ {k} left ({ frac {X_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} right) ^ {2}}$
нецентральное распределение хи-квадрат	${ displaystyle sum _ {1} ^ {k} left ({ frac {X_ {i}} { sigma _ {i}}} right) ^ {2}}$
распределение ци	${ displaystyle { sqrt { sum _ {1} ^ {k} left ({ frac {X_ {i} - mu _ {i}} { sigma _ {i}}} right) ^ { 2}}}}$
нецентральное распределение ци	${ displaystyle { sqrt { sum _ {1} ^ {k} left ({ frac {X_ {i}} { sigma _ {i}}} right) ^ {2}}}}$

Вхождения

Использование в интервалах допуска

Двусторонний нормальный регресс интервалы допуска может быть получен на основе нецентрального распределения хи-квадрат.^[8] Это позволяет рассчитать статистический интервал, в который с некоторым уровнем достоверности попадает указанная доля отобранной совокупности.

Примечания

Рекомендации

• Абрамовиц М. и Стегун И. А. (1972), Справочник по математическим функциям, Дувр. Раздел 26.4.25.
• Джонсон, Н. Л., Коц, С., Балакришнан, Н. (1995), Непрерывные одномерные распределения, Том 2 (2-е издание), Wiley. ISBN 0-471-58494-0
• Мюрхед Р. (2005) Аспекты многомерной статистической теории (2-е издание). Вайли. ISBN 0-471-76985-1
• Сигель, А. Ф. (1979), "Нецентральное распределение хи-квадрат с нулевыми степенями свободы и проверка на однородность", Биометрика, 66, 381–386
• Press, S.J. (1966), «Линейные комбинации нецентральных переменных хи-квадрат», Анналы математической статистики, 37 (2): 480–487, Дои:10.1214 / aoms / 1177699531, JSTOR 2238621