WikiDer > Нецентральное распределение хи-квадрат

Noncentral chi-squared distribution
Нецентральный хи-квадрат
Функция плотности вероятности
Хи-квадрат- (nonCentral) -pdf.png
Кумулятивная функция распределения
Хи-квадрат- (nonCentral) -cdf.png
Параметры

степени свободы

параметр нецентральности
Поддерживать
PDF
CDF с Q-функция Маркума
Иметь в виду
Дисперсия
Асимметрия
Бывший. эксцесс
MGF
CF

В теория вероятности и статистика, то нецентральное распределение хи-квадрат (или нецентральное распределение хи-квадрат, нецентральный распределение) это нецентральное обобщение из распределение хи-квадрат. Часто возникает в анализ мощности статистических тестов, в которых нулевое распределение является (возможно, асимптотически) распределением хи-квадрат; важными примерами таких испытаний являются тесты отношения правдоподобия.

Фон

Позволять быть k независимый, нормально распределенный случайные величины со средними значениями и единичные отклонения. Тогда случайная величина

распределяется согласно нецентральному распределению хи-квадрат. У него два параметра: который определяет количество степени свободы (т.е. количество ), и который связан со средним значением случайных величин к:

иногда называют параметр нецентральности. Обратите внимание, что некоторые ссылки определяют другими способами, такими как половина указанной выше суммы или ее квадратный корень.

Это распределение возникает в многомерная статистика как производная от многомерное нормальное распределение. Хотя центральный распределение хи-квадрат это квадрат норма из случайный вектор с распределения (т.е.квадрат расстояния от начала координат до точки, взятой случайным образом из этого распределения), нецентральное квадрат нормы случайного вектора с распределение. Здесь - нулевой вектор длины k, и это единичная матрица размера k.

Определение

В функция плотности вероятности (pdf) дается

куда распределяется как хи-квадрат с степени свободы.

Из этого представления видно, что нецентральное распределение хи-квадрат является взвешенным по Пуассону. смесь центрального распределения хи-квадрат. Предположим, что случайная величина J имеет распределение Пуассона со средним , а условное распределение из Z данный J = я хи-квадрат с k + 2я степени свободы. Тогда безусловное распределение из Z не центральный хи-квадрат с k степени свободы и параметр нецентральности .

В качестве альтернативы PDF-файл можно записать как

куда это модифицированный Функция Бесселя первого вида, данного

Используя соотношение между Функции Бесселя и гипергеометрические функции, PDF-файл также можно записать как:[1]

Сигел (1979) обсуждает случай k = 0 конкретно (нулевые степени свободы), и в этом случае распределение имеет дискретную составляющую в нуле.

Характеристики

Функция создания момента

В момент-производящая функция дан кем-то

Моменты

Первые несколько сырых моменты находятся:

Первые несколько центральных моменты находятся:

В пth кумулянт является

Следовательно

Кумулятивная функция распределения

Снова используя соотношение между центральным и нецентральным распределениями хи-квадрат, кумулятивная функция распределения (cdf) можно записать как

куда - кумулятивная функция распределения центрального распределения хи-квадрат с k степени свободы, которая задается

и где это нижняя неполная гамма-функция.

В Q-функция Маркума также может использоваться для представления cdf.[2]

Аппроксимация (в том числе для квантилей)

Абдель-Аты[3] выводит (как "первое приближение") нецентральное приближение Вильсона-Хильферти:

примерно нормально распределенный, т.е.

что довольно точно и хорошо адаптируется к нецентральности. Также, становится за , то (центральный) хи-квадрат дело.

Шанкаран[4] обсуждает ряд закрытая форма приближения для кумулятивная функция распределения. В более ранней статье[5] он вывел и сформулировал следующее приближение:

куда

обозначает кумулятивная функция распределения из стандартное нормальное распределение;

Это и другие приближения обсуждаются в одном из последующих учебников.[6]

Для заданной вероятности эти формулы легко инвертировать, чтобы получить соответствующее приближение для , чтобы вычислить приблизительные квантили.

Вывод в pdf

Получить функцию плотности вероятности проще всего, выполнив следующие шаги:

  1. С имеют единичные дисперсии, их совместное распределение сферически симметрично, вплоть до локационного сдвига.
  2. Тогда из сферической симметрии следует, что распределение зависит от средств только через квадрат длины, . Поэтому без ограничения общности можно взять и .
  3. Теперь выведите плотность (т.е. k = 1 случай). Простое преобразование случайных величин показывает, что
куда стандартная нормальная плотность.
  1. Разверните шиш термин в ряду Тейлора. Это дает взвешенное по Пуассону смешанное представление плотности, все еще для k = 1. Индексы случайных величин хи-квадрат в приведенном выше ряду равны 1 + 2.я в этом случае.
  2. Наконец, для общего случая. Мы предположили, без ограничения общности, что стандартные нормальные, и поэтому имеет центральный распределение хи-квадрат с (k - 1) степени свободы, не зависящие от . Используя взвешенное по Пуассону представление смеси для , и тот факт, что сумма случайных величин хи-квадрат также является хи-квадрат, завершает результат. Индексы в ряду (1 + 2я) + (k − 1) = k + 2я как требуется.

Связанные дистрибутивы

  • Если является хи-квадрат распределен тогда также имеет нецентральное распределение хи-квадрат:
  • Линейная комбинация независимых нецентральных переменных хи-квадрат , является обобщенный распределенный хи-квадрат.
  • Если и и не зависит от затем нецентральный F-распределенный переменная разработана как
  • Если , тогда
  • Если , тогда берет Раздача риса с параметром .
  • Нормальное приближение:[7] если , тогда в распределении как либо или же .
  • Если и , куда независимы, то куда .
  • В общем, для конечного набора , сумма этих нецентральных случайных величин с распределением хи-квадрат имеет распространение куда . Это можно увидеть, используя следующие функции, генерирующие моменты: независимостью случайные переменные. Осталось подключить MGF для нецентральных распределений хи-квадрат в продукт и вычислить новый MGF - это оставлено как упражнение. В качестве альтернативы его можно рассматривать с помощью интерпретации в разделе «Предпосылки» выше как суммы квадратов независимых нормально распределенных случайных величин с дисперсией 1 и заданными средними значениями.
  • В сложное нецентральное распределение хи-квадрат Имеет применение в радиосвязи и радиолокационных системах.[нужна цитата] Позволять быть независимым скаляром сложные случайные величины с нецентральной круговой симметрией, средства и отклонения от единицы: . Тогда реальная случайная величина распределяется согласно сложному нецентральному распределению хи-квадрат:

куда

Трансформации

Шанкаран (1963) обсуждает трансформации формы. Он анализирует расширения кумулянты из до срока и показывает, что следующий выбор дают разумные результаты:

  • делает второй кумулянт примерно независимо от
  • делает третий кумулянт примерно независимо от
  • делает четвертый кумулянт примерно независимо от

Также более простое преобразование может использоваться как преобразование, стабилизирующее дисперсию который производит случайную величину со средним значением и дисперсия .

Использование этих преобразований может быть затруднено из-за необходимости извлекать квадратные корни из отрицательных чисел.

Различные распределения хи и хи-квадрат
ИмяСтатистика
распределение хи-квадрат
нецентральное распределение хи-квадрат
распределение ци
нецентральное распределение ци

Вхождения

Использование в интервалах допуска

Двусторонний нормальный регресс интервалы допуска может быть получен на основе нецентрального распределения хи-квадрат.[8] Это позволяет рассчитать статистический интервал, в который с некоторым уровнем достоверности попадает указанная доля отобранной совокупности.

Примечания

  1. ^ Мюрхед (2005) Теорема 1.3.4
  2. ^ Наттолл, Альберт Х. (1975): Некоторые интегралы, содержащие QM Функция, IEEE Transactions по теории информации, 21(1), 95–96, ISSN 0018-9448
  3. ^ Абдель-Аты, С. (1954). Приближенные формулы для процентных точек и интеграла вероятности нецентрального распределения χ2 Биометрика 41, 538–540. DOI: 10.2307 / 2332731
  4. ^ Шанкаран, М. (1963). Аппроксимации нецентрального распределения хи-квадрат Биометрика, 50(1-2), 199–204
  5. ^ Шанкаран, М. (1959). «О нецентральном распределении хи-квадрат», Биометрика 46, 235–237
  6. ^ Джонсон и др. (1995) Непрерывные одномерные распределения Раздел 29.8
  7. ^ Muirhead (2005), страницы 22–24 и проблема 1.18.
  8. ^ Дерек С. Янг (август 2010 г.). "толерантность: пакет R для оценки интервалов допуска". Журнал статистического программного обеспечения. 36 (5): 1–39. ISSN 1548-7660. Получено 19 февраля 2013., стр.32

Рекомендации

  • Абрамовиц М. и Стегун И. А. (1972), Справочник по математическим функциям, Дувр. Раздел 26.4.25.
  • Джонсон, Н. Л., Коц, С., Балакришнан, Н. (1995), Непрерывные одномерные распределения, Том 2 (2-е издание), Wiley. ISBN 0-471-58494-0
  • Мюрхед Р. (2005) Аспекты многомерной статистической теории (2-е издание). Вайли. ISBN 0-471-76985-1
  • Сигель, А. Ф. (1979), "Нецентральное распределение хи-квадрат с нулевыми степенями свободы и проверка на однородность", Биометрика, 66, 381–386
  • Press, S.J. (1966), «Линейные комбинации нецентральных переменных хи-квадрат», Анналы математической статистики, 37 (2): 480–487, Дои:10.1214 / aoms / 1177699531, JSTOR 2238621