WikiDer > Орбитальный портрет

Orbit portrait

В математика, орбитальный портрет комбинаторный инструмент, используемый в сложная динамика для понимания поведения одномерные квадратичные отображения.

Простыми словами можно сказать, что это:

  • список внешних углов, под которыми лучи попадают в точки этой орбиты
  • график, показывающий список выше

Определение

Учитывая квадратичное отображение

от комплексная плоскость себе

и отталкивающий или параболический периодический орбита из , так что (где индексы взяты 1 + по модулю ), позволять быть набором углы чей соответствующий внешние лучи приземлиться на .

Тогда набор называется орбитальный портрет периодической орбиты .

Все наборы должно иметь одинаковое количество элементов, что называется валентность портрета.

Примеры

Набор Джулии с внешними лучами приземляется на орбиту периода 3
Джулия установила параболическую орбиту с периодом два. Соответствующий портрет орбиты имеет характеристическую дугу I = (22/63, 25/63) и валентность v = 3 луча на точку орбиты.

Параболический или отражающий орбитальный портрет

валентность 2





валентность 3

Валентность равна 3, поэтому лучи попадают в каждую точку орбиты.

3 внешние лучи периода 3 цикла: , которые приземляются на фиксированную точку


Для комплексный квадратичный многочлен с c = -0,03111 + 0,79111 * i портрет орбиты с параболическим периодом 3:[1]


Лучи для указанных выше углов попадают в точки этой орбиты. Параметр c является центром гиперболической составляющей периода 9 множества Мандельброта.

Для параболической джулии установите c = -1,125 + 0,21650635094611 * i. Это корневая точка между периодами 2 и 6 компонентами множества Мандельброта. Орбитальный портрет периода 2 орбиты с валентностью 3:[2]

валентность 4

Формальные орбитальные портреты

Каждый орбитальный портрет обладает следующими свойствами:

  • Каждый конечное подмножество
  • В карта удвоения на круге дает биекцию от к и сохраняет циклический порядок углов.[3]
  • Все углы во всех наборах периодичны при отображении удвоения круга, и все углы имеют одинаковый точный период. Этот период должен быть кратен , поэтому период имеет вид , где называется периодом повторяющегося луча.
  • Наборы попарно не связаны, то есть для любой пары из них существуют два непересекающихся интервала где каждый интервал содержит одно из множеств.

Любая коллекция подмножеств окружности, удовлетворяющих этим четырем свойствам выше, называется формальный портрет орбиты. Это теорема Джон Милнор что каждый формальный портрет орбиты реализуется фактическим портретом орбиты периодической орбиты некоторого квадратичного одномерного комплексного отображения. Орбитальные портреты содержат динамическую информацию о том, как внешние лучи и точки их приземления отображаются в плоскости, но формальные орбитальные портреты - не более чем комбинаторные объекты. Теорема Милнора утверждает, что на самом деле между ними нет различия.

Тривиальные орбитальные портреты

Орбитальный портрет, где все наборы имеют только один элемент, называются тривиальными, за исключением орбитального портрета . Альтернативное определение состоит в том, что орбитальный портрет нетривиален, если он максимален, что в данном случае означает, что нет орбитального портрета, который строго его содержит (т.е. не существует орбитального портрета. такой, что ). Легко видеть, что каждый тривиальный формальный портрет орбиты реализуется как портрет орбиты некоторой орбиты карты. , поскольку каждый внешний луч этой карты приземляется, и все они приземляются в разных точках Юля набор. Тривиальные орбитальные портреты в некоторых отношениях патологичны, и в дальнейшем мы будем ссылаться только на нетривиальные орбитальные портреты.

Дуги

На портрете орбиты , каждый конечное подмножество окружности , поэтому каждый делит круг на несколько непересекающихся интервалов, называемых дополнительными дугами, основанными на точке . Длина каждого интервала называется его угловой шириной. Каждый имеет уникальную самую большую дугу, основанную на ней, которая называется критической дугой. Критическая дуга всегда имеет длину больше, чем

Эти дуги обладают тем свойством, что каждая дуга основана на , за исключением критической дуги, диффеоморфно отображается в дугу, основанную на , а критическая дуга охватывает каждую дугу на основе один раз, за ​​исключением одной дуги, которую он перекрывает дважды. Дуга, которую он охватывает дважды, называется дугой критического значения для . Это не обязательно отличается от критической дуги.

Когда уходит в бесконечность при повторении , или когда находится в множестве Джулии, то имеет четко выраженный внешний угол. Назовите этот угол . находится в каждой дуге критического значения. Кроме того, два прообраза под картой удвоения ( и ) находятся в каждой критической дуге.

Среди всех дуг критических значений для всех существует уникальная дуга наименьшего критического значения , называется характеристическая дуга который строго содержится в любой другой дуге критического значения. Характеристическая дуга - это полный инвариант орбитального портрета в том смысле, что два орбитальных портрета идентичны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую характеристическую дугу.

Секторов

Как лучи, приземляющиеся на орбиту, делят круг, так и комплексную плоскость. За каждую точку орбиты внешние лучи приземляясь в разделить самолет на открытые множества, называемые секторами, на основе . Секторы естественно идентифицируются как дополнительные дуги, основанные в одной и той же точке. Угловая ширина сектора определяется как длина соответствующей дополнительной дуги. Секторы называются критические сектора или секторы критической стоимости когда соответствующие дуги являются, соответственно, критическими дугами и дугами критического значения.[4]

Секторы также обладают интересным свойством: находится в критическом секторе каждой точки, и , то критическое значение из , находится в секторе критической стоимости.

Параметр просыпается

Два лучи параметров с углами и приземлиться в той же точке Набор Мандельброта в пространстве параметров тогда и только тогда, когда существует портрет орбиты с интервалом как характерная дуга. Для любого орбитального портрета позволять - общая точка посадки двух внешних углов в пространстве параметров, соответствующая характеристической дуге . Эти два луча параметров вместе с их общей точкой посадки разделяют пространство параметров на два открытых компонента. Пусть компонент, не содержащий точки называться -wake и обозначается как . А квадратичный многочлен реализует портрет орбиты с отталкивающей орбитой именно тогда, когда . реализуется с параболической орбитой только для одного значения около

Примитивные и спутниковые портреты на орбите

Помимо нулевого портрета, есть два типа орбитальных портретов: примитивный и спутниковый. Если это валентность орбитального портрета и - период повторяющегося луча, то эти два типа можно охарактеризовать следующим образом:

  • Примитивные орбитальные портреты имеют и . Каждый луч на портрете сопоставлен сам с собой . Каждый - это пара углов, каждый из которых находится на отдельной орбите карты удвоения. В таком случае, - базовая точка множества Мандельброта в пространстве параметров.
  • Спутниковые орбитальные портреты имеют . В этом случае все углы составляют единую орбиту по карте удвоения. Дополнительно, является базовой точкой параболической бифуркации в пространстве параметров.

Обобщения

Орбитальные портреты оказываются полезными комбинаторными объектами при изучении связи между динамикой и пространствами параметров других семейств карт. В частности, они использовались для изучения закономерностей всех периодических динамических лучей, попадающих на периодический цикл некритического антиголоморфного полинома.[5]

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Флек, Росс; Кин, Линда (2010). «Границы ограниченных компонент Фату квадратичных отображений» (PDF). Журнал разностных уравнений и приложений. 16 (5–6): 555–572. Дои:10.1080/10236190903205080.
  2. ^ Милнор, Джон В. (1999). "Периодические орбиты, внешние лучи и множество Мандельброта: пояснительный счет". Препринт. arXiv:математика / 9905169. Bibcode:1999математика ...... 5169M.
  3. ^ Хаотичные 1D карты Евгения Демидова
  4. ^ Периодические орбиты и внешние лучи - Евгений Демидов
  5. ^ Мукерджи, Сабьясачи (2015). «Орбитальные портреты некритических антиголоморфных многочленов». Конформная геометрия и динамика Американского математического общества. 19 (3): 35–50. Дои:10.1090 / S1088-4173-2015-00276-3.