WikiDer > Ортогональная траектория

Orthogonal trajectory
Концентрические окружности с ортогональными траекториями (1. пример)
Параболы с ортогональными траекториями (2. пример)

В математика ан ортогональная траектория является

  • кривая, которая пересекает любую кривую данного пучка (плоских) кривых ортогонально.

Например, ортогональные траектории пучка концентрические круги - это линии, проходящие через их общий центр (см. диаграмму).

Подходящие методы для определения ортогональных траекторий предоставляются путем решения дифференциальные уравнения. Стандартный метод устанавливает первый порядок обыкновенное дифференциальное уравнение и решает это разделение переменных. Оба шага могут быть трудными или даже невозможными. В таких случаях необходимо применять численные методы.

Ортогональные траектории используются в математике, например, как криволинейные системы координат (т.е. эллиптические координаты) или появляются в физике как электрические поля и их эквипотенциальные кривые.

Если траектория пересекает данные кривые под произвольным (но фиксированным) углом, то получается изогональная траектория.

Определение ортогональной траектории

В декартовых координатах

Обычно предполагается, что пучок кривых неявно заданный уравнением

(0) 1. пример 2. пример

куда - параметр карандаша. Если карандаш дан явно уравнением , можно изменить представление на неявное: . Для дальнейшего рассмотрения предполагается, что все необходимые производные существуют.

Шаг 1.

Неявная дифференциация за дает

(1) в 1. примере 2. пример
Шаг 2.

Теперь предполагается, что уравнение (0) может быть решено относительно параметра , который, таким образом, можно исключить из уравнения (1). Получается дифференциальное уравнение первого порядка

(2) в 1. примере 2. пример

которое выполняется данным пучком кривых.

Шаг 3.

Поскольку наклон ортогональной траектории в точке это отрицательный мультипликативный обратный наклон данной кривой в этой точке ортогональная траектория удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка

(3) в 1. примере 2. пример
Шаг 4.

Это дифференциальное уравнение можно (надеюсь) решить подходящим методом.
Для обоих примеров разделение переменных подходящий. Решения:
в примере 1 строки и
в примере 2 эллипсы

В полярных координатах

Если пучок кривых неявно представлен в полярные координаты к

(0p)

определяется, как и в декартовом случае, дифференциальное уравнение без параметров

(1p)
(2p)

карандаша. Дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид (см. Redheffer & Port, с. 65, Heuser, с. 120)

(3p)
Ортогональные кардиоиды

Пример: Кардиоиды:

(0p) (на схеме: синий)
(1p)

Устранение дает дифференциальное уравнение данного пучка:

(2p)

Следовательно, дифференциальное уравнение ортогональных траекторий имеет вид:

(3p)

После решения этого дифференциального уравнения с помощью разделение переменных один получает

который описывает пучок кардиоидов (красный на схеме), симметричный данному пучку.

Изогональная траектория

  • Кривая, которая пересекает любую кривую данного пучка (плоских) кривых под фиксированным углом. называется изогональная траектория.

Между склоном изогональной траектории и наклона кривой карандаша в точке имеет место следующее соотношение:

Это соотношение обусловлено формулой для . За получается условие для ортогональный траектория.

Для определения изогональной траектории необходимо настроить шаг 3. инструкции выше:

3. шаг (изог. Традж.)

Дифференциальное уравнение изогональной траектории имеет вид:

  • (3i)
Изогональные траектории концентрических окружностей для

Для 1. примера (концентрические окружности) и угла один получает

(3i)

Это особый вид дифференциального уравнения, которое можно преобразовать с помощью замены в дифференциальное уравнение, которое можно решить с помощью разделение переменных. После обращения замены получаем уравнение решения:

Введение полярных координат приводит к простому уравнению

который описывает логарифмические спирали (см. диаграмму).

Численные методы

В случае, если дифференциальное уравнение траекторий не может быть решено теоретическими методами, необходимо решить его численно, например Методы Рунге – Кутты.

Смотрите также

Рекомендации

  • А. Джеффри: Высшая инженерная математика, Hartcourt / Academic Press, 2002 г., ISBN 0-12-382592-X, п. 233.
  • С. Б. Рао: Дифференциальные уравнения, University Press, 1996, ISBN 81-7371-023-6, п. 95.
  • Р. М. Редхеффер, Д. Порт: Дифференциальные уравнения: теория и приложения, Джонс и Бартлетт, 1991, ISBN 0-86720-200-9, п. 63.
  • Х. Хойзер: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg + Teubner, 2009 г., ISBN 978-3-8348-0705-2, п. 120.
  • Тененбаум, Моррис; Поллард, Гарри (2012), Обыкновенные дифференциальные уравнения., Dover Книги по математике, Courier Dover, p. 115, ISBN 9780486134642.

внешняя ссылка