WikiDer > Колебательный интеграл - Википедия

Oscillatory integral - Wikipedia

В математический анализ ан колебательный интеграл это тип распределение. Осциллирующие интегралы содержат множество строгих аргументов, которые на наивном уровне, похоже, используют расходящиеся интегралы. Операторы приближенного решения многих дифференциальных уравнений можно представить в виде осциллирующих интегралов.

Определение

Колебательный интеграл ${ displaystyle f (x)}$ записывается формально как

{ Displaystyle е (х) = int е ^ {я фи (х, xi)} , а (х, xi) , mathrm {d} xi}

куда ${ Displaystyle фи (х, хи)}$ и ${ Displaystyle а (х, хи)}$ являются функциями, определенными на ${ Displaystyle mathbb {R} _ {x} ^ {n} times mathrm {R} _ { xi} ^ {N}}$ со следующими свойствами.

1) Функция

{ displaystyle phi}

реально ценится, положительный однородный степени 1 и бесконечно дифференцируемо вне

{ Displaystyle { xi = 0 }}

. Также мы предполагаем, что

{ displaystyle phi}

нет никаких критические точки на поддерживать из

{ displaystyle a}

. Такая функция,

{ displaystyle phi}

обычно называется фазовая функция. В некоторых контекстах рассматриваются более общие функции, которые все еще называются фазовыми функциями.

2) Функция

{ displaystyle a}

принадлежит к одному из классы символов

{ Displaystyle S_ {1,0} ^ {m} ( mathbb {R} _ {x} ^ {n} times mathrm {R} _ { xi} ^ {N})}

для некоторых

{ displaystyle m in mathbb {R}}

. Интуитивно эти классы символов обобщают понятие положительно однородных функций степени

{ displaystyle m}

. Как и в случае с фазовой функцией

{ displaystyle phi}

, в некоторых случаях функция

{ displaystyle a}

относится к более общим или просто другим классам.

Когда ${ displaystyle m <-N}$ формальный интеграл, определяющий ${ displaystyle f (x)}$ сходится для всех ${ displaystyle x}$ и нет необходимости в дальнейшем обсуждении определения ${ displaystyle f (x)}$ . Однако когда ${ Displaystyle м geq -N}$ колебательный интеграл по-прежнему определяется как распределение на ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ даже если интеграл может не сходиться. В этом случае распределение ${ displaystyle f (x)}$ определяется с использованием того факта, что ${ displaystyle a (x, xi) in S_ {1,0} ^ {m} ( mathbb {R} _ {x} ^ {n} times mathrm {R} _ { xi} ^ { N})}$ могут быть аппроксимированы функциями, имеющими экспоненциальный спад в ${ displaystyle xi}$ . Один из возможных способов сделать это - установить

{ Displaystyle е (х) = lim limits _ { epsilon rightarrow 0 ^ {+}} int e ^ {я phi (x, xi)} , a (x, xi) e ^ {- epsilon | xi | ^ {2} / 2} , mathrm {d} xi}

где предел взят в смысле умеренные распределения. Используя интегрирование по частям, можно показать, что этот предел хорошо определен и что существует дифференциальный оператор ${ displaystyle L}$ так что полученное распределение ${ displaystyle f (x)}$ действуя на любом ${ displaystyle psi}$ в Пространство Шварца дан кем-то

{ Displaystyle langle f, psi rangle = int e ^ {я phi (x, xi)} L left (a (x, xi) , psi (x) right) , mathrm {d} х , mathrm {d} xi}

где этот интеграл абсолютно сходится. Оператор ${ displaystyle L}$ не определен однозначно, но может быть выбран таким образом, чтобы он зависел только от фазовой функции ${ displaystyle phi}$ , приказ ${ displaystyle m}$ символа ${ displaystyle a}$ , и ${ displaystyle N}$ . Фактически, учитывая любое целое число ${ displaystyle M}$ можно найти оператора ${ displaystyle L}$ так что подынтегральное выражение выше ограничено ${ Displaystyle C (1+ | xi |) ^ {- M}}$ за ${ displaystyle | xi |}$ достаточно большой. Это основная цель определения классы символов.

Примеры

Многие знакомые распределения можно записать в виде осциллирующих интегралов.

1) Теорема обращения Фурье означает, что дельта-функция,

{ Displaystyle дельта (х)}

равно

{ displaystyle { frac {1} {(2 pi) ^ {n}}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {ix cdot xi} , mathrm {d } xi.}

Если мы применим первый метод определения этого осциллирующего интеграла сверху, а также преобразование Фурье гауссиана, мы получим хорошо известную последовательность функций, которые аппроксимируют дельта-функцию:

{ displaystyle delta (x) = lim _ { varepsilon rightarrow 0 ^ {+}} { frac {1} {(2 pi) ^ {n}}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {ix cdot xi} e ^ {- varepsilon | xi | ^ {2} / 2} mathrm {d} xi = lim _ { varepsilon rightarrow 0 ^ { +}} { frac {1} {({ sqrt {2 pi varepsilon}}) ^ {n}}} e ^ {- | x | ^ {2} / (2 varepsilon)}.}

Оператор

{ displaystyle L}

в этом случае дается, например,

{ displaystyle L = { frac {(1- Delta _ {x}) ^ {k}} {(1+ | xi | ^ {2}) ^ {k}}}}

куда

{ displaystyle Delta _ {x}}

это Лапласиан с уважением к

{ displaystyle x}

переменные и

{ displaystyle k}

любое целое число больше, чем

{ Displaystyle (п-1) / 2}

. Действительно, с этим

{ displaystyle L}

у нас есть

{ Displaystyle langle delta, psi rangle = psi (0) = { frac {1} {(2 pi) ^ {n}}} int _ { mathbb {R} ^ {n} } e ^ {ix cdot xi} L ( psi) (x, xi) , mathrm {d} xi , mathrm {d} x,}

и этот интеграл абсолютно сходится.

2) Ядро Шварца любого дифференциального оператора можно записать в виде колебательного интеграла. Действительно, если

{ Displaystyle L = сумма пределы _ {| альфа | leq m} p _ { alpha} (x) D ^ { alpha}}

куда

{ displaystyle D ^ { alpha} = partial _ {x} ^ { alpha} / i ^ {| alpha |}}

, то ядро

{ displaystyle L}

дан кем-то

{ displaystyle { frac {1} {(2 pi) ^ {n}}} int _ { mathbb {R} ^ {n}} e ^ {i xi cdot (xy)} sum ограничивает _ {| alpha | leq m} p _ { alpha} (x) , xi ^ { alpha} , mathrm {d} xi.}

Связь с лагранжевыми распределениями

Любое лагранжево распределение можно локально представить осциллирующими интегралами (см. Хёрмандер (1983)). Наоборот, любой осциллирующий интеграл является лагранжевым распределением. Это дает точное описание типов распределений, которые могут быть представлены в виде осциллирующих интегралов.

Navigation

Navigation

Themenportale

WikiDer > Колебательный интеграл - Википедия

Содержание

Определение

Примеры

Связь с лагранжевыми распределениями

Смотрите также

Рекомендации