WikiDer > Метод отсуса - Википедия

Пример изображения с пороговым значением с использованием алгоритма Оцу

Исходное изображение

В компьютерное зрение и обработка изображений, Метод Оцу, названный в честь Нобуюки Оцу (大 津 展 之, Оцу Нобуюки), используется для выполнения автоматического изображения пороговое значение.^[1] В простейшей форме алгоритм возвращает единый порог интенсивности, который разделяет пиксели на два класса: передний план и фон. Этот порог определяется путем минимизации дисперсии интенсивности внутри класса или, что эквивалентно, путем максимизации дисперсии между классами.^[2] Метод Оцу представляет собой одномерный дискретный аналог Дискриминантный анализ Фишера, относится к Метод оптимизации Дженкса, и эквивалентно глобально оптимальному k-означает^[3] выполняется на гистограмме интенсивности. Расширение многоуровневой пороговой обработки было описано в исходной статье,^[2] и с тех пор были предложены эффективные в вычислительном отношении реализации.^[4][5]

Метод Оцу

Визуализация метода Оцу

Алгоритм тщательно ищет порог, который минимизирует внутриклассовую дисперсию, определяемую как взвешенная сумма дисперсий двух классов:

${ displaystyle sigma _ {w} ^ {2} (t) = omega _ {0} (t) sigma _ {0} ^ {2} (t) + omega _ {1} (t) сигма _ {1} ^ {2} (t)}$

Вес ${ displaystyle omega _ {0}}$ и ${ displaystyle omega _ {1}}$ - вероятности двух классов, разделенных порогом ${ displaystyle t}$ ,и ${ displaystyle sigma _ {0} ^ {2}}$ и ${ displaystyle sigma _ {1} ^ {2}}$ являются дисперсиями этих двух классов.

Вероятность класса ${ Displaystyle omega _ {0,1} (т)}$ вычисляется из ${ displaystyle L}$ бины гистограммы:

${ displaystyle { begin {align} omega _ {0} (t) & = sum _ {i = 0} ^ {t-1} p (i) [4pt] omega _ {1} ( т) & = сумма _ {я = т} ^ {L-1} р (я) конец {выровнено}}}$

Для 2 классов минимизация внутриклассовой дисперсии эквивалентна максимизации межклассовой дисперсии:^[2]

${ Displaystyle { begin {align} sigma _ {b} ^ {2} (t) & = sigma ^ {2} - sigma _ {w} ^ {2} (t) = omega _ {0 } ( mu _ {0} - mu _ {T}) ^ {2} + omega _ {1} ( mu _ {1} - mu _ {T}) ^ {2} & = omega _ {0} (t) omega _ {1} (t) left [ mu _ {0} (t) - mu _ {1} (t) right] ^ {2} end { выровнено}}}$

который выражается через вероятности классов ${ displaystyle omega}$ и класс означает ${ displaystyle mu}$, где класс означает ${ displaystyle mu _ {0} (т)}$, ${ Displaystyle му _ {1} (т)}$ и ${ displaystyle mu _ {T}}$ находятся:

${ displaystyle { begin {align} mu _ {0} (t) & = { frac { sum _ {i = 0} ^ {t-1} ip (i)} { omega _ {0} (t)}} [4pt] mu _ {1} (t) & = { frac { sum _ {i = t} ^ {L-1} ip (i)} { omega _ {1 } (t)}} mu _ {T} & = sum _ {i = 0} ^ {L-1} ip (i) end {align}}}$

Несложно проверить следующие соотношения:

${ displaystyle { begin {align} omega _ {0} mu _ {0} + omega _ {1} mu _ {1} & = mu _ {T} omega _ {0} + omega _ {1} & = 1 end {выровнено}}}$

Вероятности классов и средние классы могут быть вычислены итеративно. Это дает эффективный алгоритм.

Алгоритм

1. Вычислить гистограмму и вероятности каждого уровня интенсивности
2. Настроить начальную ${ displaystyle omega _ {я} (0)}$ и ${ Displaystyle му _ {я} (0)}$
3. Пройдите через все возможные пороги ${ Displaystyle т = 1, ldots}$ максимальная интенсивность
   1. Обновлять ${ displaystyle omega _ {я}}$ и ${ Displaystyle mu _ {я}}$
   2. Вычислить ${ displaystyle sigma _ {b} ^ {2} (t)}$
4. Желаемый порог соответствует максимальному ${ displaystyle sigma _ {b} ^ {2} (t)}$

Реализация MATLAB или Octave

histogramCounts представляет собой гистограмму из 256 элементов изображения в градациях серого с разными уровнями серого (типично для 8-битных изображений). уровень - порог изображения (двойной).

функцияуровень =оцу(histogramCounts)общий = сумма(histogramCounts); % общее количество пикселей в изображении %% OTSU автоматическое определение порогаверх = 256;SumB = 0;wB = 0;максимум = 0.0;сумма1 = точка(0:верх-1, histogramCounts);за ii = 1:верх    wF = общий - wB;    если wB > 0 && wF > 0        мФ = (сумма1 - SumB) / wF;        вал = wB * wF * ((SumB / wB) - мФ) * ((SumB / wB) - мФ);        если ( вал >= максимум )            уровень = ii;            максимум = вал;        конец    конец    wB = wB + histogramCounts(ii);    SumB = SumB + (ii-1) * histogramCounts(ii);конецконец

Matlab имеет встроенные функции грейтреш () и multithresh () в панели инструментов обработки изображений, которые реализованы с помощью метода Оцу и метода Мульти Оцу, соответственно.

Ограничения

Метод Оцу показывает относительно хорошую производительность, если можно предположить, что гистограмма имеет бимодальное распределение и имеет глубокую и резкую впадину между двумя пиками. Но если площадь объекта мала по сравнению с областью фона, гистограмма больше не демонстрирует бимодальности.^[6] И если отклонения интенсивности объекта и фона велики по сравнению со средней разницей или изображение сильно искажено аддитивным шумом, резкая впадина гистограммы уровней серого ухудшается. Тогда возможно неверный порог, определенный методом Оцу, приводит к ошибке сегментации. (Здесь мы определяем размер объекта как отношение площади объекта ко всей площади изображения, а среднюю разницу как разность средних интенсивностей объекта и фона)

Эмпирические результаты показывают, что производительность глобальных методов определения порогов, используемых для сегментации объектов (включая метод Оцу), ограничена небольшим размером объекта, небольшой средней разницей между пикселями переднего и заднего плана, большой дисперсией пикселей, принадлежащих объекту, и пикселей, принадлежащих к фону, большое количество шума и т. д.^[7]

Улучшения

Для устранения ограничений метода Оцу были разработаны различные расширения. Одним из популярных расширений является двумерный метод Оцу, который лучше подходит для задачи сегментации объектов на зашумленных изображениях. Здесь значение интенсивности данного пикселя сравнивается со средней интенсивностью его ближайшего окружения, чтобы улучшить результаты сегментации.^[8]

Для каждого пикселя вычисляется среднее значение уровня серого для окрестности. Пусть уровень серого данного пикселя разделен на ${ displaystyle L}$ дискретные значения и средний уровень серого тоже делятся на одинаковые ${ displaystyle L}$ значения. Затем формируется пара: уровень серого пикселя и среднее значение окрестности ${ displaystyle (я, j)}$. Каждая пара принадлежит одному из ${ displaystyle L times L}$ возможные двухмерные бункеры. Общее количество вхождений (частота), ${ displaystyle f_ {ij}}$, пары ${ displaystyle (я, j)}$, разделенное на общее количество пикселей в изображении ${ displaystyle N}$, определяет совместную функцию масс вероятности в 2-мерной гистограмме:

${ displaystyle P_ {ij} = { frac {f_ {ij}} {N}}, qquad sum _ {i = 0} ^ {L-1} sum _ {j = 0} ^ {L- 1} P_ {ij} = 1}$

А метод 2-мерного Оцу разработан на основе 2-мерной гистограммы следующим образом.

Вероятности двух классов можно обозначить как:

${ displaystyle { begin {align} omega _ {0} & = sum _ {i = 0} ^ {s-1} sum _ {j = 0} ^ {t-1} P_ {ij} omega _ {1} & = sum _ {i = s} ^ {L-1} sum _ {j = t} ^ {L-1} P_ {ij} end {выровнено}}}$

Векторы среднего значения интенсивности двух классов и вектор полного среднего могут быть выражены следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} mu _ {0} & = [ mu _ {0i}, mu _ {0j}] ^ {T} = left [ sum _ {i = 0} ^ { s-1} sum _ {j = 0} ^ {t-1} i { frac {P_ {ij}} { omega _ {0}}}, sum _ {i = 0} ^ {s- 1} sum _ {j = 0} ^ {t-1} j { frac {P_ {ij}} { omega _ {0}}} right] ^ {T} mu _ {1} & = [ mu _ {1i}, mu _ {1j}] ^ {T} = left [ sum _ {i = s} ^ {L-1} sum _ {j = t} ^ {L -1} i { frac {P_ {ij}} { omega _ {1}}}, sum _ {i = s} ^ {L-1} sum _ {j = t} ^ {L-1 } j { frac {P_ {ij}} { omega _ {1}}} right] ^ {T} mu _ {T} & = [ mu _ {Ti}, mu _ {Tj }] ^ {T} = left [ sum _ {i = 0} ^ {L-1} sum _ {j = 0} ^ {L-1} iP_ {ij}, sum _ {i = 0 } ^ {L-1} sum _ {j = 0} ^ {L-1} jP_ {ij} right] ^ {T} end {align}}}$

В большинстве случаев недиагональной вероятностью можно пренебречь, поэтому легко проверить:

${ displaystyle omega _ {0} + omega _ {1} cong 1}$

${ displaystyle omega _ {0} mu _ {0} + omega _ {1} mu _ {1} cong mu _ {T}}$

Дискретная матрица между классами определяется как

${ displaystyle S_ {b} = sum _ {k = 0} ^ {1} omega _ {k} [( mu _ {k} - mu _ {T}) ( mu _ {k} - mu _ {T}) ^ {T}]}$

След дискретной матрицы можно выразить как

${ displaystyle { begin {align} & operatorname {tr} (S_ {b}) [4pt] = {} & omega _ {0} [( mu _ {0i} - mu _ {Ti }) ^ {2} + ( mu _ {0j} - mu _ {Tj}) ^ {2}] + omega _ {1} [( mu _ {1i} - mu _ {Ti}) ^ {2} + ( mu _ {1j} - mu _ {Tj}) ^ {2}] [4pt] = {} & { frac {( mu _ {Ti} omega _ {0 } - mu _ {i}) ^ {2} + ( mu _ {Tj} omega _ {0} - mu _ {j}) ^ {2}} { omega _ {0} (1- omega _ {0})}} конец {выровнено}}}$

куда

${ Displaystyle му _ {я} = сумма _ {я = 0} ^ {s-1} сумма _ {j = 0} ^ {t-1} iP_ {ij}}$

${ displaystyle mu _ {j} = sum _ {i = 0} ^ {s-1} sum _ {j = 0} ^ {t-1} jP_ {ij}}$

Подобно одномерному методу Оцу, оптимальный порог ${ displaystyle (s, t)}$ получается путем максимизации ${ displaystyle operatorname {tr} (S_ {b})}$.

Алгоритм

В ${ displaystyle s}$ и ${ displaystyle t}$ получается итеративно, что аналогично одномерному методу Оцу. Ценности ${ displaystyle s}$ и ${ displaystyle t}$ изменяются до тех пор, пока мы не получим максимум ${ displaystyle operatorname {tr} (S_ {b})}$, то есть

Максимум,s,т = 0;за SS: 0 к L-1 делать    за tt: 0 к L-1 делать        оценивать tr (S_b);        если tr (S_b) > Максимум            Максимум = tr(S,б);            s = SS;            т = тт;        конец если    конец законец завозвращаться s,т;

Обратите внимание, что для оценки ${ displaystyle operatorname {tr} (S_ {b})}$, мы можем использовать алгоритм быстрого рекурсивного динамического программирования для улучшения временных характеристик.^[9] Однако даже при использовании подхода динамического программирования метод 2d Оцу все еще имеет большую временную сложность. Таким образом, было проведено много исследований по снижению стоимости вычислений.^[10]

Если для построения трех таблиц используются таблицы суммированных площадей, суммируйте ${ displaystyle P_ {ij}}$, сумма более ${ displaystyle i * P_ {ij}}$, и суммировать ${ displaystyle j * P_ {ij}}$, то сложность времени выполнения составляет максимум (O (N_pixels), O (N_bins * N_bins)). Обратите внимание, что если требуется только грубое разрешение с точки зрения порога, N_bins может быть уменьшено.

Реализация Matlab

функциональные входы и выходы:

шипение это ${ displaystyle 256 times 256}$ 2D-гистограмма пары значений оттенков серого и среднего значения для окрестности.

общий - количество пар в данном изображении. оно определяется количеством бинов 2D-гистограммы в каждом направлении.

порог - полученный порог.

функцияпорог =otsu_2D(шистс, всего)максимум = 0.0;порог = 0;helperVec = 0:255;mu_t0 = сумма(сумма(повторять(helperVec',1,256).*шипение));mu_t1 = сумма(сумма(перематывать(helperVec,256,1).*шипение));p_0 = нули(256);mu_i = p_0;mu_j = p_0;за ii = 1:256    за jj = 1:256        если jj == 1            если ii == 1                p_0(1,1) = шипение(1,1);            еще                p_0 (ii, 1) = p_0(ii-1,1) + шипение(ii,1);                mu_i(ii,1) = mu_i(ii-1,1)+(ii-1)*шипение(ii,1);                mu_j(ii,1) = mu_j(ii-1,1);            конец        еще            p_0(ii,jj) = p_0(ii,jj-1)+p_0(ii-1,jj)-p_0(ii-1,jj-1)+шипение(ii,jj);            mu_i(ii,jj) = mu_i(ii,jj-1)+mu_i(ii-1,jj)-mu_i(ii-1,jj-1)+(ii-1)*шипение(ii,jj);            mu_j(ii,jj) = mu_j(ii,jj-1)+mu_j(ii-1,jj)-mu_j(ii-1,jj-1)+(jj-1)*шипение(ii,jj);        конец        если (p_0 (ii, jj) == 0)            Продолжить;        конец        если (p_0 (ii, jj) == общий)            перемена;        конец        tr = ((mu_i(ii,jj)-p_0(ii,jj)*mu_t0)^2 + (mu_j(ii,jj)-p_0(ii,jj)*mu_t1)^2)/(p_0(ii,jj)*(1-p_0(ii,jj)));        если ( tr >= максимум )            порог = ii;            максимум = tr;        конец    конецконецконец

Рекомендации

внешняя ссылка

• Реализация метода пороговой обработки Оцу в качестве GIMP-плагин с использованием Script-Fu (a Схема-основанный язык)
• Конспект лекций по пороговой обработке - охватывает метод Оцу
• Плагин для ImageJ используя метод Оцу для определения порога
• Полное объяснение метода Оцу с рабочим примером и реализацией на Java
• Реализация метода Оцу в ITK
• Пороговое значение Оцу в C # - простая реализация C # с объяснением
• Метод Оцу с использованием MATLAB
• Otsu Thresholding с scikit-изображением в Python