WikiDer > PG (3,2)

PG(3,2)
PG (3,2) изображен в виде тетраэдра (см. Текст)

В конечная геометрия, PG (3,2) самый маленький трехмерный проективное пространство. Его можно рассматривать как расширение Самолет ФаноОн имеет 15 точек, 35 линий и 15 плоскостей.[1] Он также обладает следующими свойствами:[2]

  • Каждая точка содержится в 7 линиях и 7 плоскостях.
  • Каждая линия содержится в 3-х плоскостях и содержит 3 точки.
  • Каждая плоскость содержит 7 точек и 7 линий.
  • Каждый самолет изоморфный на самолет Фано
  • Каждая пара различных плоскостей пересекается по прямой
  • Прямая и не содержащая ее плоскость пересекаются ровно в одной точке.

Строительство из K6

Взять полный график K6. Имеет 15 ребер, 15 идеальное соответствие и 20 треугольников. Создайте точку для каждого из 15 ребер и линию для каждого из 20 треугольников и 15 соответствий. В структура заболеваемости между каждым треугольником или совпадением (линия) с его тремя составляющими ребрами (точками) индуцирует PG (3,2). (Работа Сильвестра о дуэтах и ​​синтемах, 1859 г.)

Конструкция из самолетов Фано

Возьмите самолет Фано и примените все 5040 перестановок его 7 точек. Выбросьте повторяющиеся самолеты, чтобы получить набор из 30 различных самолетов Фано. Выберите любой из 30 и выберите 14 других, которые имеют ровно одну общую линию с первой, а не 0 или 3. структура заболеваемости между 1 + 14 = 15 плоскостями Фано и 35 тройками, которые они взаимно покрывают, индуцирует PG (3,2).[3]

Тетраэдрическое изображение

PG (3,2) можно представить в виде тетраэдра. 15 точек соответствуют 4 вершинам + 6 средним точкам ребер + 4 центрам граней + 1 центру тела. 35 линий соответствуют 6 ребрам + 12 срединным граням + 4 вписанным в грань окружностям + 4 высотам от грани до противоположной вершины + 3 линиям, соединяющим середины противоположных ребер + 6 эллипсов, соединяющих среднюю точку каждого ребра с двумя несоседними центры лица. 15 плоскостей состоят из 4 граней + 6 "срединных" плоскостей, соединяющих каждое ребро с серединой противоположного ребра + 4 "конуса", соединяющих каждую вершину с вписанной окружностью противоположной грани + одна "сфера" с 6 центрами ребер. и центр тела.[4]

Квадратное представление

Квадратная модель Fano 3-space

А 3- (16,4,1) блочная конструкция имеет 140 блоков размера 4 по 16 точек, так что каждая тройка точек покрывается ровно один раз. Выберите любую точку, возьмите только 35 блоков, содержащих эту точку, и удалите эту точку. 35 блоков размера 3, которые остались, составляют PG (3,2) по 15 оставшимся точкам. Если эти 16 точек расположены в сетке 4x4 и им присвоены 4-битные двоичные координаты, как в Карта Карно например, получается квадратное представление. Геометрически 35 линий представлены как биекция с 35 способами разделить сетку 4x4 на 4 области по 4 ячейки в каждой, если сетка представляет собой аффинное пространство, а области представляют собой 4 параллельные плоскости.

Проблема школьницы Киркмана

PG (3,2) возникает как фон в некоторых решениях Проблема школьницы Киркмана. Два из семи неизоморфных решений этой проблемы могут быть вложены как структуры в 3-пространство Фано. В частности, распространять PG (3,2) представляет собой разбиение точек на непересекающиеся линии и соответствует расположению девочек (точек) в непересекающиеся строки (линии разворота) за один день задачи Киркмана о школьнице. Есть 56 различных спредов по 5 линий в каждом. А упаковка PG (3,2) представляет собой разбиение 35 строк на 7 непересекающихся разворотов по 5 строк в каждом и соответствует решению для всех семи дней. Имеется 240 упаковок PG (3,2), которые распадаются на два класса сопряженности по 120 под действием PGL (4,2) (группа коллинеаций пространства); корреляция меняет местами эти два класса.[5]

Салфетка изображение

Салфетка. Это также представление сильно регулярный граф srg (15,6,1,3) нарисован с перекрывающимися краями.

Диаграмма Дойли часто используется для представления обобщенный четырехугольник GQ (2,2) также используется для обозначения PG (3,2).[6]

Автоморфизмы

В группа автоморфизмов PG (3,2) переводит прямые в прямые. Число автоморфизмов определяется путем нахождения числа способов выбора 4 точек, которые не являются компланарными; получается 15 to14⋅12⋅8 = 20160 = 8! / 2. Оказывается, группа автоморфизмов PG (3,2) изоморфна группе переменная группа на 8 элементах A8.

Координаты

Известно, что PG (п, 2) можно координировать с (GF (2))п + 1, т.е. битовая строка длины п + 1. Таким образом, PG (3,2) может быть скоординирован с помощью 4-битных строк. Обычное отображение между этими координатами и представлением тетраэдра выше состоит в том, что вершины тетреэдра имеют Вес Хэмминга 1, например 0001, 0010 и т. Д., А для других точек - их XOR. Таким образом, средние точки краев получают вес Хэмминга 2, центры граней получают вес Хэмминга 3, а центр тела получает вес Хэмминга 4.[нужна цитата]

Кроме того, точки соединения линий (а1, а2, а3, а4) и (б1, б2, б3, б4) можно естественно назначить Координаты Плюккера (п12, п13, п14, п23, п24, п34) куда пij = аябj − аjбя, а координаты линии удовлетворяют п12 п34 + п13 п24 + п14 п23 = 0. Таким образом, каждая линия в проективном 3-пространстве имеет шесть координат и может быть представлена ​​как точка в проективном 5-пространстве; точки лежат на поверхности п12 п34 + п13 п24 + п14 п23 = 0.

Примечания

  1. ^ Месерв, Брюс Э. (1983) [1955], Основные понятия геометрии, Дувр, стр. 29, ISBN 0-486-63415-9
  2. ^ Polster 1998, п. 69
  3. ^ Polster 1998, п. 77
  4. ^ Polster 1998, стр. 82-83
  5. ^ Хиршфельд 1985, п. 73
  6. ^ Polster 1998, п. 69

Рекомендации