WikiDer > Конфигурация Pappus

Pappus configuration
Конфигурация Pappus

В геометрия, то Конфигурация Pappus это конфигурация девяти точек и девяти строк в Евклидова плоскость, с тремя точками на линию и тремя линиями через каждую точку.[1]

История и строительство

Эта конфигурация названа в честь Папп Александрийский. Теорема Паппа о шестиугольнике утверждает, что каждые две тройки коллинеарных точек ABC и abc (ни одна из которых не лежит на пересечении двух линий) может быть завершена, чтобы сформировать конфигурацию Паппа, добавив шесть линий Ab, аБ, Ac, AC, До н.э, и до н.э, и их три точки пересечения Икс = Ab·аБ, Y = Ac·AC, и Z = До н.э·до н.э. Эти три точки являются точками пересечения "противоположных" сторон шестиугольника. AbCaBc. Согласно теореме Паппа, в результирующей системе из девяти точек и восьми прямых всегда будет девятая линия, содержащая три точки пересечения Икс, Y, и Z, называется Линия Паппа.[2]

Конфигурация Паппа из перспективных треугольников XcC и YbB

Конфигурация Паппа также может быть получена из двух треугольников. XcC и YbB которые находятся в перспективе друг с другом (три линии, проходящие через соответствующие пары точек, встречаются в одной точке пересечения) тремя разными способами, вместе с их тремя центрами перспективы Z, а, и А. Точки конфигурации - это точки треугольников и центры перспективы, а линии конфигурации - это линии, проходящие через соответствующие пары точек.

Связанные конструкции

Граф Паппа

В Граф Леви конфигурации Pappus известен как График Паппа. Это двудольный симметричный кубический граф с 18 вершинами и 27 ребрами.[3]

В Конфигурация дезарга также можно определить в терминах перспективных треугольников, а Конфигурация Рейе можно определить аналогично из двух тетраэдров, которые находятся в перспективе друг с другом четырьмя различными способами, образуя десмическая система тетраэдров.

Для любых неособых кривая в кубической плоскости в евклидовой плоскости три действительных точки перегиба кривой и четвертой точки на кривой, существует уникальный способ завершить эти четыре точки, чтобы сформировать конфигурацию Паппа таким образом, чтобы все девять точек лежали на кривой.[4]

Приложения

Конфигурация Паппа, дополненная дополнительной линией (вертикальной в центре рисунка), решает проблема садоводства.

Вариант конфигурации Pappus обеспечивает решение проблема садоводства, задача поиска наборов точек, которые имеют максимально возможное количество прямых, проходящих через три точки. Девять точек конфигурации Паппа образуют всего девять трехточечных линий. Однако их можно расположить так, чтобы образовалась еще одна трехточечная линия, всего десять. Это максимально возможное количество трехточечных линий через девять точек.[5]

Рекомендации

  1. ^ Грюнбаум, Бранко (2009), Конфигурации точек и линий, Аспирантура по математике, 103, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. xiv + 399, ISBN 978-0-8218-4308-6, МИСТЕР 2510707.
  2. ^ Грюнбаум (2009), п. 9.
  3. ^ Грюнбаум (2009), п. 28.
  4. ^ Мендельсон, Н. С .; Padmanabhan, R .; Волк, Барри (1987), «Некоторые замечания о« n »-кластерах на кубических кривых», в Colbourn, Charles J .; Матон, Р. А. (ред.), Комбинаторная теория дизайна, Анналы дискретной математики, 34, Elsevier, стр. 371–378, Дои:10.1016 / S0304-0208 (08) 72903-7, ISBN 9780444703286, МИСТЕР 0920661.
  5. ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A003035». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.

внешняя ссылка