WikiDer > Патологический (математика)

эта статья нужны дополнительные цитаты для проверка. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найдите источники: «Патологическая» математика – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Май 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В Функция Вейерштрасса является непрерывный везде, кроме дифференцируемый нигде.

В математика, а патологический объект - это тот, который обладает отклоняющимся, неправильным или нелогичный свойство таким образом, что отличает его от того, что задумано как типичный объект той же категории. Противоположностью патологии является хорошо воспитанный.^[1][2][3]

В анализе

Классическим примером патологической структуры является Функция Вейерштрасса, который непрерывный везде, кроме дифференцируемый нигде.^[2] Сумма дифференцируемой функция и функция Вейерштрасса снова непрерывна, но нигде не дифференцируема; так что таких функций не меньше, чем дифференцируемых. Фактически, по Теорема Бэра о категории, можно показать, что непрерывные функции в целом нигде не дифференцируемый.^[4]

С точки зрения непрофессионала, большинство функций нигде невозможно дифференцировать, и относительно немногие из них могут быть описаны или изучены. В общем, наиболее полезные функции также имеют какую-то физическую основу или практическое применение, что означает, что они не могут быть патологическими на уровне сложной математики или логики; помимо некоторых предельных случаев, таких как дельта-распределение, они, как правило, довольно хорошо воспитанный и интуитивно понятный. Цитировать Анри Пуанкаре:

Логика иногда создает монстров. За полвека мы наблюдаем массу причудливых функций, которые, кажется, вынуждены как можно меньше походить на честные функции, служащие какой-то цели. Больше преемственности или меньше преемственности, больше производных и так далее. Действительно, с точки зрения логики, эти странные функции являются самыми общими; с другой стороны, те, которые встречаются, не ища их, и которые следуют простым законам, появляются как частный случай, который составляет не более чем небольшой угол.

В прежние времена, когда изобретали новую функцию, это было для практических целей; сегодня их изобретают специально, чтобы выявить недостатки в рассуждениях наших отцов, и из них выводят только это.

Если бы логика была единственным руководством учителя, необходимо было бы начать с самых общих функций, то есть с самых причудливых. Это новичок, который должен бороться с этим тератологический музей.

— Анри Пуанкаре, 1899^{[расплывчатый]}

Это подчеркивает тот факт, что термин патологический (и, соответственно, слово хорошо воспитанный) является субъективным, зависимым от контекста и подверженным износу.^[1] Его значение в любом конкретном случае принадлежит сообществу математиков, а не обязательно самой математике. Кроме того, цитата показывает, как математика часто прогрессирует через контрпримеры к тому, что кажется интуитивным или ожидаемым. Например, упомянутое «отсутствие производных» тесно связано с текущим исследованием магнитное пересоединение события в солнечная плазма.^{[нужна цитата]}

В топологии

Одна из самых известных патологий в топологии - это Александр рогатый шар, контрпример, показывающий, что топологически вложенная сфера S² в р³ может не разделить пространство чисто. В качестве контрпримера он мотивировал дополнительное условие покорность, что подавляет вид дикий поведение, которое демонстрирует рогатый шар.^[5]

Как и многие другие патологии, рогатая сфера в некотором смысле играет на бесконечно тонкой рекурсивно генерируемой структуре, которая в пределе нарушает обычную интуицию. В этом случае топология непрерывно нисходящей цепочки взаимосвязанных петель непрерывных частей сферы в пределе полностью отражает топологию общей сферы, и можно было бы ожидать, что внешняя часть ее после вложения будет работать так же. Но это не так: это не может быть односвязный.

Для основной теории см. Теорема Жордана – Шенфлиса.

Хорошо себя

эта статья не цитировать Любые источники. Пожалуйста помоги улучшить эту статью от добавление цитат в надежные источники. Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удалено. Найдите источники: «Патологическая» математика – Новости · газеты · книги · ученый · JSTOR (Декабрь 2009 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Математики (и специалисты в смежных науках) очень часто говорят о том, математический объект - а функция, а набор, а Космос того или иного рода - это "воспитанный". Хотя у этого термина нет фиксированного формального определения, он обычно относится к качеству выполнения списка преобладающих условий,^[6] что может зависеть от контекста, математических интересов, моды и вкуса. Чтобы гарантировать, что объект «ведет себя хорошо», математики вводят дополнительные аксиомы, чтобы сузить область изучения. Это упрощает анализ, но дает потеря общности любых сделанных выводов. Например, неевклидовы геометрии когда-то считались недобросовестными, но с тех пор стали обычным объектом изучения с 19 века и позже.^[7]

Как в чистой, так и в прикладной математике (например, оптимизация, численное интегрирование, математическая физика), хорошо воспитанный также означает не нарушать никаких предположений, необходимых для успешного применения обсуждаемого анализа.^[6]

Противоположный случай обычно называют «патологическим». Нередки ситуации, когда в большинстве случаев (с точки зрения мощность или мера) являются патологическими, но патологические случаи не возникнут на практике - если они не построены сознательно.

Термин «хорошо себя ведет» обычно применяется в абсолютном смысле - либо что-то хорошо ведет себя, либо нет. Например:

• В алгоритмический вывод, а хорошая статистика является монотонным, хорошо определенным и достаточно.
• В Теорема Безу, два многочлены ведут себя хорошо, и, таким образом, формула для числа их пересечений верна, если их полиномиальный наибольший общий делитель является константой.
• А мероморфная функция является соотношением двух функций с хорошим поведением, в том смысле, что эти две функции являются голоморфный.
• В Условия Каруша – Куна – Таккера. являются необходимыми условиями первого порядка для решения в хорошо управляемом нелинейное программирование проблема быть оптимальной; проблема называется корректной, если выполняются некоторые условия регулярности.
• В вероятность, события, содержащиеся в вероятностное пространствосоответствующий сигма-алгебра хорошо себя ведут, как и измеримый функции.

Как ни странно, этот термин может применяться и в сравнительном смысле:

• В исчисление:
  • Аналитические функции ведут себя лучше, чем обычные гладкие функции.
  • Гладкие функции ведут себя лучше, чем общие дифференцируемые функции.
  • Непрерывный дифференцируемый функции ведут себя лучше, чем обычные непрерывные функции. Чем больше раз функция может быть дифференцирована, тем лучше она будет работать.
  • Непрерывные функции ведут себя лучше, чем Интегрируемый по Риману функции на компактах.
  • Функции, интегрируемые по Риману, ведут себя лучше, чем Интегрируемый по Лебегу функции.
  • Функции, интегрируемые по Лебегу, ведут себя лучше, чем функции общего вида.
• В топология, непрерывный функции ведут себя лучше, чем прерывистые.
  • Евклидово пространство ведет себя лучше, чем неевклидова геометрия.
  • Привлекательный фиксированные точки ведут себя лучше, чем отталкивающие неподвижные точки.
  • Топологии Хаусдорфа ведут себя лучше, чем в произвольных общая топология.
  • Наборы Бореля ведут себя лучше, чем произвольные наборы из действительные числа.
  • Пространства с целое число измерение лучше, чем пространства с фрактальная размерность.
• В абстрактная алгебра:
  • Группы ведут себя лучше, чем магмы и полугруппы.
  • Абелевы группы ведут себя лучше, чем неабелевы группы.
  • Конечно порожденные абелевы группы ведут себя лучше, чем неконечно порожденные абелевы группы.
  • Конечный-размерный векторные пространства ведут себя лучше, чем бесконечный-мерные.
  • Поля ведут себя лучше, чем косые поля или вообще кольца.
  • Отделяемый расширения полей ведут себя лучше, чем неразборные.
  • Нормированные алгебры с делением ведут себя лучше, чем общие композиционные алгебры.

Патологические примеры

эта статья возможно содержит оригинальные исследования. Пожалуйста Улучши это от проверка заявленные претензии и добавление встроенные цитаты. Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. (Август 2019 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Патологические примеры часто имеют некоторые нежелательные или необычные свойства, которые затрудняют их содержание или объяснение в рамках теории. Такое патологическое поведение часто побуждает к новым исследованиям и исследованиям, которые приводят к новой теории и более общим результатам. Вот некоторые важные исторические примеры этого:

• Открытие иррациональные числа школой Пифагор в Древней Греции; например, длина диагонали единичный квадрат, это ${ displaystyle { sqrt {2}}}$.
• Открытие сложные числа в 16 веке, чтобы найти корни кубический и квартика полиномиальные функции.
• В мощность из рациональное число равна мощности целые числа.
• Немного числовые поля имеют кольца целых чисел которые не образуют уникальная область факторизации, например поле ${ displaystyle mathbb {Q} ({ sqrt {-5}})}$.
• Открытие фракталы и другие «грубые» геометрические объекты (см. Хаусдорфово измерение).
• Функция Вейерштрасса, а настоящий-значная функция на реальная линия, это непрерывный везде, кроме дифференцируемый нигде.^[2]
• Функции тестирования в реальном анализе и теории распределения, которые бесконечно дифференцируемые функции на реальной прямой, которые равны 0 везде за пределами заданного ограниченного интервал. Примером такой функции является тестовая функция,

${ displaystyle varphi (t) = { begin {cases} e ^ {- 1 / (1-t ^ {2})}, & - 1$

• В Кантор набор является подмножеством интервала [0, 1], которое имеет мера ноль, но это бесчисленный.
• Пеано кривая заполнения пространства является непрерывным сюръективный функция, которая отображает единичный интервал [0, 1] на [0, 1] × [0, 1].
• В Функция Дирихле, какой индикаторная функция для рациональных чисел - это ограниченная функция, не Интегрируемый по Риману.
• В Функция Кантора это монотонный непрерывная сюръективная функция, которая отображает [0,1] на [0,1], но имеет нулевую производную почти всюду.
• Классы удовлетворенности, содержащие «интуитивно ложные» арифметические утверждения, могут быть построены для счетный, рекурсивно насыщенный модели из Арифметика Пеано.^{[нужна цитата]}

На момент открытия каждый из них считался крайне патологическим; сегодня каждый из них ассимилирован в современной математической теории. Эти примеры побуждают наблюдателей исправить свои убеждения или интуиции, а в некоторых случаях требуют переоценки основных определений и концепций. В ходе истории они привели к более правильной, более точной и более мощной математике. Например, функция Дирихле интегрируема по Лебегу, а свертка с пробными функциями используется для приближения любой локально интегрируемой функции гладкими функциями.^{[Примечание 1]}

Патологичность поведения по определению зависит от личной интуиции. Патологии зависят от контекста, подготовки и опыта, и то, что является патологическим для одного исследователя, вполне может быть стандартным поведением для другого.

Патологические примеры могут показать важность предположений в теореме. Например, в статистика, то Распределение Коши не удовлетворяет Центральная предельная теорема, хотя его симметричный в форме колокола похоже на многие другие дистрибутивы; он не соответствует требованию наличия среднего и стандартного отклонения, которые существуют и являются конечными.

Некоторые из самых известных парадоксы, такие как Парадокс Банаха – Тарского и Парадокс Хаусдорфа, основаны на существовании неизмеримые множества. Математики, если они не занимают позицию меньшинства, отрицая аксиома выбора, вообще смирились с такими наборами.^{[нужна цитата]}

Информатика

В Информатика, патологический имеет несколько иной смысл в изучении алгоритмы. Здесь вход (или набор входов) называется патологический если это вызывает нетипичное поведение алгоритма, например, нарушение его среднего случая сложность, или даже его правильность. Например, хеш-таблицы обычно имеют патологические входы: наборы ключей, которые столкнуться по хеш-значениям. Быстрая сортировка обычно имеет О(n log n) временная сложность, но ухудшается до O (n²), когда на него поступают входные данные, вызывающие неоптимальное поведение.

Этот термин часто используется уничижительно, как способ отвергнуть такие входные данные как специально разработанные для нарушения рутины, которая в остальном является разумной на практике (сравните с византийский). С другой стороны, важна осведомленность о патологических воздействиях, поскольку их можно использовать для создания атака отказа в обслуживании в компьютерной системе. Кроме того, термин в этом смысле является предметом субъективного суждения, как и в отношении других его значений. При достаточном времени выполнения, достаточно большом и разнообразном сообществе пользователей (или других факторах) на самом деле может произойти ввод, который может быть отклонен как патологический (как видно на первый испытательный полет из Ариана 5).

Исключения

Похожее, но отличное явление - явление исключительные объекты (и исключительные изоморфизмы), что происходит, когда есть «небольшое» количество исключений из общего шаблона (например, конечный набор исключений из бесконечного правила). Напротив, в случаях патологии часто большинство или почти все случаи явления являются патологическими (например, почти все действительные числа иррациональны).

Субъективно исключительные объекты (такие как икосаэдр или спорадические простые группы) обычно считаются «красивыми», неожиданными примерами теории, в то время как патологические явления часто считаются «уродливыми», как следует из названия. Соответственно, теории обычно расширяются за счет включения исключительных объектов. Например, исключительные алгебры Ли включены в теорию полупростые алгебры Ли: аксиомы считаются хорошими, исключительные объекты - неожиданными, но действительными.

Напротив, вместо этого используются патологические примеры, чтобы указать на недостаток аксиом, требуя более сильных аксиом для их исключения. Например, требуя ручности вложения шара в Проблема Шёнфлиса. В общем, можно изучать более общую теорию, включая патологии, которые могут давать свои собственные упрощения (действительные числа имеют свойства, очень отличные от рациональных, и аналогично непрерывные карты имеют очень разные свойства от гладких), но также и более узкие. теория, из которой были взяты оригинальные примеры.

Смотрите также

• Фрактальная кривая
• Список математического жаргона

использованная литература

Заметки

внешние ссылки

• Патологические структуры и фракталы - Отрывок из статьи автора Фриман Дайсон, «Характеризация неправильности», журнал Science, май 1978 г.

В эту статью включены материалы из патологической PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.