WikiDer > Замена Пайерлса - Википедия

Эта статья требует внимания специалиста по физике. Конкретная проблема: Требуется обобщение разделов, слишком много уравнений и не все переменные определены. ВикиПроект Физика может помочь нанять эксперта. (Октябрь 2019)

В Замена Пайерлса метод, названный в честь оригинальной работы Рудольф Пайерлс^[1] широко используемое приближение для описания крепко связанный электроны в присутствии медленно меняющегося магнитного векторного потенциала.^[2]

При наличии внешнего магнитный векторный потенциал ${ displaystyle mathbf {A}}$ операторы трансляции, образующие кинетическую часть гамильтониана в тесный переплет рамки, просто

$${ displaystyle mathbf {T} _ {x} = | m + 1, n rangle langle m, n | e ^ {i theta _ {m, n} ^ {x}}, quad mathbf { T} _ {y} = | m, n + 1 rangle langle m, n | e ^ {i theta _ {m, n} ^ {y}}}$$

и в второе квантование формулировка

$${ displaystyle mathbf {T} _ {x} = { boldsymbol { psi}} _ {m + 1, n} ^ { dagger} { boldsymbol { psi}} _ {m, n} e ^ {i theta _ {m, n} ^ {x}}, quad mathbf {T} _ {y} = { boldsymbol { psi}} _ {m, n + 1} ^ { dagger} { boldsymbol { psi}} _ {m, n} e ^ {i theta _ {m, n} ^ {y}}.}$$

Фазы определены как

$${ displaystyle theta _ {m, n} ^ {x} = { frac {q} { hbar}} int _ {m} ^ {m + 1} A_ {x} (x, n) { текст {d}} x, quad theta _ {m, n} ^ {y} = { frac {q} { hbar}} int _ {n} ^ {n + 1} A_ {y} ( м, у) { text {d}} у.}$$

Характеристики

1. Количество квантов потока на плакетку ${ displaystyle phi _ {mn}}$ связана с ротором решетки фазового фактора:
   $${ displaystyle { begin {align} { boldsymbol { nabla}} times theta _ {m, n} & = Delta _ {x} theta _ {m, n} ^ {y} - Delta _ {y} theta _ {m, n} ^ {x} = left ( theta _ {m + 1, n} ^ {y} - theta _ {m, n} ^ {y} - theta _ {m, n + 1} ^ {x} + theta _ {m, n} ^ {x} right) & = { frac {q} { hbar}} int _ { text { элементарная ячейка}} mathbf {A} cdot { text {d}} mathbf {l} = 2 pi { frac {q} {h}} int mathbf {B} cdot { text { d}} mathbf {s} = 2 pi phi _ {m, n} end {выровнено}}}$$

   
   а полный поток через решетку равен ${ textstyle Phi = Phi _ {0} sum _ {m, n} phi _ {m, n}}$ с ${ displaystyle Phi _ {0} = hc / e}$ квант магнитного потока в Гауссовы единицы.
2. Кванты потока на плакетку ${ displaystyle phi _ {mn}}$ связано с накопленной фазой одночастичного состояния, ${ displaystyle | psi rangle = { boldsymbol { psi}} _ {i, j} | 0 rangle}$ вокруг плакетки:

$${ displaystyle { begin {align} mathbf {T} _ {y} ^ { dagger} mathbf {T} _ {x} ^ { dagger} mathbf {T} _ {y} mathbf {T } _ {x} | psi rangle & = mathbf {T} _ {y} ^ { dagger} mathbf {T} _ {x} ^ { dagger} mathbf {T} _ {y} | i + 1, j rangle e ^ {i theta _ {i, j} ^ {x}} = mathbf {T} _ {y} ^ { dagger} mathbf {T} _ {x} ^ { dagger} | i + 1, j + 1 rangle e ^ {i left ( theta _ {i, j} ^ {x} + theta _ {i + 1, j} ^ {y} right) } & = mathbf {T} _ {y} ^ { dagger} | i, j + 1 rangle e ^ {i left ( theta _ {i, j} ^ {x} + theta _ {i + 1, j} ^ {y} - theta _ {i, j + 1} ^ {x} right)} = | i, j rangle e ^ {i left ( theta _ {i, j} ^ {x} + theta _ {i + 1, j} ^ {y} - theta _ {i, j + 1} ^ {x} - theta _ {i, j} ^ {y} right)} = | i, j rangle e ^ {i2 pi phi _ {m, n}}. end {align}}}$$

Обоснование

Здесь мы приводим три вывода подстановки Пайерлса, каждый из которых основан на другой формулировке теории квантовой механики.

Аксиоматический подход

Здесь мы даем простой вывод замены Пайерлса, который основан на «Лекциях Фейнмана» (том III, глава 21).^[3] Этот вывод постулирует, что магнитные поля включены в модель сильной связи путем добавления фазы к прыжковым членам и показывают, что это согласуется с гамильтонианом континуума. Таким образом, наша отправная точка - это Гамильтониан Хофштадтера:^[2]

$${ displaystyle H_ {0} = sum _ {m, n} { bigg (} -te ^ {i theta _ {m, n} ^ {x}} vert m ! + ! a, n rangle langle m, n vert -te ^ {i theta _ {m, n} ^ {y}} vert m, n ! + ! a rangle langle m, n vert - epsilon _ {0} vert m, n rangle langle m, n vert { bigg)} + { text {hc}}.}$$

Оператор перевода ${ Displaystyle верт м + 1 рангл лангл м верт}$ можно явно записать, используя его генератор, то есть оператор импульса. При таком представлении его легко расширить до второго порядка,

$${ displaystyle vert m ! + ! a rangle langle m vert = exp {{ bigg (} ! - ! { frac {я mathbf {p} _ {x} a} { hbar}} { bigg)}} vert m rangle langle m vert = left (1 - { frac {i mathbf {p} _ {x}} { hbar}} a - { frac { mathbf {p} _ {x} ^ {2}} {2 hbar ^ {2}}} a ^ {2} + { mathcal {O}} (a ^ {3}) right) верт м рангл лангл м верт}$$

а в двумерной решетке ${ displaystyle vert m ! + ! a rangle langle m vert longrightarrow vert m ! + ! a, n rangle langle m, n vert}$. Затем мы расширяем фазовые множители до второго порядка, предполагая, что векторный потенциал существенно не меняется на одном шаге решетки (который считается малым).

$${ displaystyle { begin {align} e ^ {i theta} & = 1 + i theta - { frac {1} {2}} theta ^ {2} + { mathcal {O}} ( theta ^ {3}), theta & приблизительно { frac {aqA_ {x}} { hbar}}, e ^ {i theta} & = 1 + { frac {iaqA_ {x} } { hbar}} - { frac {a ^ {2} q ^ {2} A_ {x} ^ {2}} {2 hbar ^ {2}}} + { mathcal {O}} (a ^ {3}). End {выравнивается}}}$$

Подставляя эти разложения в соответствующую часть гамильтониана, получаем

$${ displaystyle { begin {align} e ^ {i theta} vert m + a rangle langle m vert + e ^ {- i theta} vert m rangle langle m + a vert & = { bigg (} 1 + { frac {iaqA_ {x}} { hbar}} - { frac {a ^ {2} q ^ {2} A_ {x} ^ {2}} {2 hbar ^ {2}}} + { mathcal {O}} (a ^ {3}) { bigg)} { bigg (} 1 - { frac {i mathbf {p} _ {x}} { hbar}} a - { frac { mathbf {p} _ {x} ^ {2}} {2 hbar ^ {2}}} a ^ {2} + { mathcal {O}} (a ^ { 3}) { bigg)} vert m rangle langle m vert + { text {hc}} & = { bigg (} 2 - { frac { mathbf {p} _ {x} ^ {2}} { hbar ^ {2}}} a ^ {2} + { frac {q lbrace mathbf {p} _ {x}, A_ {x} rbrace} { hbar ^ {2 }}} a ^ {2} - { frac {q ^ {2} A_ {x} ^ {2}} { hbar ^ {2}}} a ^ {2} + { mathcal {O}} ( a ^ {3}) { bigg)} vert m rangle langle m vert & = { bigg (} - { frac {a ^ {2}} { hbar ^ {2}}} { big (} mathbf {p} _ {x} -qA_ {x} { big)} ^ {2} +2 + { mathcal {O}} (a ^ {3}) { bigg)} верт м рангл лангл м верт. конец {выровненный}}}$$

Обобщая последний результат на двумерный случай, мы приходим к гамильтониану Хофштадтера в континуальном пределе:

${ displaystyle H_ {0} = { frac {1} {2m}} { big (} mathbf {p} -q mathbf {A} { big)} ^ {2} + { tilde { эпсилон _ {0}}}}$

где эффективная масса ${ Displaystyle м = hbar ^ {2} / 2ta ^ {2}}$ и ${ displaystyle { tilde { epsilon}} _ {0} = epsilon _ {0} -4}$.

Полуклассический подход

Здесь мы показываем, что фазовый фактор Пайерлса возникает из-за пропагатора электрона в магнитном поле из-за динамического члена ${ Displaystyle д mathbf {v} cdot mathbf {A}}$ в лагранжиане. в формализм интеграла по путям, который обобщает принцип действия классической механики, амплитуда перехода с участка ${ displaystyle j}$ вовремя ${ displaystyle t_ {j}}$ на сайт ${ displaystyle i}$ вовремя ${ displaystyle t_ {i}}$ дан кем-то

$${ displaystyle langle mathbf {r} _ {i}, t_ {i} | mathbf {r} _ {j}, t_ {j} rangle = int _ { mathbf {r} (t_ {i })} ^ { mathbf {r} (t_ {j})} { mathcal {D}} [ mathbf {r} (t)] e ^ {{ frac { rm {i}} { hbar }} { mathcal {S}} ( mathbf {r})},}$$

где оператор интегрирования, ${ displaystyle int _ { mathbf {r} (t_ {i})} ^ { mathbf {r} (t_ {j})} { mathcal {D}} [ mathbf {r} (t)] }$ обозначает сумму по всем возможным путям из ${ Displaystyle mathbf {r} (т_ {я})}$ к ${ displaystyle mathbf {r} (t_ {j})}$ и ${ displaystyle { mathcal {S}} [ mathbf {r} _ {ij}] = int _ {t_ {i}} ^ {t_ {j}} L [ mathbf {r} (t), { dot { mathbf {r}}} (t), t] mathrm {d} t}$ классический действие, который является функционалом, аргументом которого является траектория. Мы используем ${ displaystyle mathbf {r} _ {ij}}$ обозначить траекторию с концами в ${ Displaystyle г (т_ {я}), г (т_ {j})}$. Лагранжиан системы можно записать как

$${ Displaystyle L = L ^ {(0)} + д mathbf {v} cdot mathbf {A},}$$

куда ${ displaystyle L ^ {(0)}}$ - лагранжиан в отсутствие магнитного поля. Соответствующее действие гласит

$${ Displaystyle S [ mathbf {r} _ {ij}] = S ^ {(0)} [ mathbf {r} _ {ij}] + q int _ {t_ {i}} ^ {t_ {j }} dt left ({ frac {{ text {d}} mathbf {r}} {{ text {d}} t}} right) cdot mathbf {A} = S ^ {(0 )} [ mathbf {r} _ {ij}] + q int _ { mathbf {r} _ {ij}} mathbf {A} cdot { text {d}} mathbf {r}}$$

Теперь, предполагая, что только один путь дает сильный вклад, мы имеем

$${ displaystyle langle mathbf {r} _ {i}, t_ {i} | mathbf {r} _ {j}, t_ {j} rangle = e ^ {{ frac {iq} { hbar} } int _ { mathbf {r} _ {c}} mathbf {A} cdot { text {d}} mathbf {r}} int _ { mathbf {r} (t_ {i}) } ^ { mathbf {r} (t_ {j})} { mathcal {D}} [ mathbf {r} (t)] e ^ {{ frac { rm {i}} { hbar}} { mathcal {S}} ^ {(0)} [ mathbf {r}]}}$$

Следовательно, амплитуда перехода электрона под действием магнитного поля равна амплитуде перехода в отсутствие магнитного поля, умноженной на фазу.

Строгий вывод

Гамильтониан дается формулой

$${ displaystyle H = { frac { mathbf {p} ^ {2}} {2m}} + U left ( mathbf {r} right),}$$

куда ${ Displaystyle U влево ( mathbf {г} вправо)}$ - потенциальный ландшафт, обусловленный кристаллической решеткой. Теорема Блоха утверждает, что решение проблемы:${ Displaystyle H Psi _ { mathbf {k}} ( mathbf {r}) = E left ( mathbf {k} right) Psi _ { mathbf {k}} ( mathbf {r} )}$, следует искать в форме блоховской суммы

$${ displaystyle Psi _ { mathbf {k}} ( mathbf {r}) = { frac {1} { sqrt {N}}} sum _ { mathbf {R}} e ^ {i mathbf {k} cdot mathbf {R}} phi _ { mathbf {R}} left ( mathbf {r} right),}$$

куда ${ displaystyle N}$ - количество элементарных ячеек, а ${ displaystyle phi _ { mathbf {R}}}$ известны как Функции Ванье. Соответствующие собственные значения ${ Displaystyle Е влево ( mathbf {к} вправо)}$, которые образуют полосы в зависимости от импульса кристалла ${ displaystyle mathbf {k}}$, получаются вычислением матричного элемента

$${ displaystyle E left ( mathbf {k} right) = int d mathbf {r} Psi _ { mathbf {k}} ^ {*} ( mathbf {r}) H Psi _ { mathbf {k}} ( mathbf {r}) = { frac {1} {N}} sum _ { mathbf {R} mathbf {R} ^ { prime}} e ^ {i mathbf {k} left ( mathbf {R} ^ { prime} - mathbf {R} right)} int d mathbf {r} phi _ { mathbf {R}} ^ {*} left ( mathbf {r} right) H phi _ { mathbf {R} ^ { prime}} left ( mathbf {r} right)}$$

и в конечном итоге зависят от интегралов перескока, зависящих от материала

$${ displaystyle t_ {12} = - int d mathbf {r} phi _ { mathbf {R} _ {1}} ^ {*} left ( mathbf {r} right) H phi _ { mathbf {R} _ {2}} left ( mathbf {r} right).}$$

В присутствии магнитного поля гамильтониан меняется на

$${ displaystyle { tilde {H}} (t) = { frac { left ( mathbf {p} -q mathbf {A} (t) right) ^ {2}} {2m}} + U left ( mathbf {r} right),}$$

куда ${ displaystyle q}$ - заряд частицы. Чтобы исправить это, рассмотрите возможность изменения функций Ванье на

$${ displaystyle { begin {align} { tilde { phi}} _ { mathbf {R}} ( mathbf {r}) = e ^ {i { frac {q} { hbar}} int _ { mathbf {R}} ^ { mathbf {r}} mathbf {A} ( mathbf {r} ', t) cdot dr'} phi _ { mathbf {R}} ( mathbf { r}), end {выравнивается}}}$$

куда ${ Displaystyle phi _ { mathbf {R}} Equiv { tilde { phi}} _ { mathbf {R}} ( mathbf {A} to 0)}$. Это делает новые волновые функции Блоха

$${ displaystyle { tilde { Psi}} _ { mathbf {k}} ( mathbf {r}) = { frac {1} { sqrt {N}}} sum _ { mathbf {R} } e ^ {я mathbf {k} cdot mathbf {R}} { tilde { phi}} _ { mathbf {R}} ( mathbf {r}),}$$

в собственные состояния полного гамильтониана в момент времени ${ displaystyle t}$, с той же энергией, что и раньше. Чтобы увидеть это, мы сначала используем ${ displaystyle mathbf {p} = -i hbar nabla}$ написать

$${ displaystyle { begin {align} { tilde {H}} (t) {{ tilde { phi}} _ { mathbf {R}} ( mathbf {r})} & = left [{ frac {( mathbf {p} -q mathbf {A} ( mathbf {r}, t)) ^ {2}} {2m}} + U ( mathbf {r}) right] e ^ { я { frac {q} { hbar}} int _ { mathbf {R}} ^ { mathbf {r}} mathbf {A} ( mathbf {r} ', t) cdot d mathbf {r} '} phi _ { mathbf {R}} ( mathbf {r}) & = e ^ {i { frac {q} { hbar}} int _ { mathbf {R} } ^ { mathbf {r}} A ( mathbf {r} ', t) cdot d mathbf {r}'} left [{ frac {( mathbf {p} -q mathbf {A}) ( mathbf {r}, t) + q mathbf {A} ( mathbf {r}, t)) ^ {2}} {2m}} + U ( mathbf {r}) right] phi _ { mathbf {R}} ( mathbf {r}) & = e ^ {i { frac {q} { hbar}} int _ { mathbf {R}} ^ { mathbf {r} } A ( mathbf {r} ', t) cdot d mathbf {r}'} H phi _ { mathbf {R}} ( mathbf {r}). End {выравнивается}}}$$

Затем, когда мы вычисляем интеграл перескока в квазиравновесии (предполагая, что векторный потенциал изменяется медленно)

$${ displaystyle { begin {align} { tilde {t}} _ { mathbf {R} mathbf {R} '} (t) & = - int d mathbf {r} { tilde { phi}} _ { mathbf {R}} ( mathbf {r}) { tilde {H}} (t) { tilde { phi}} _ { mathbf {R} '} ( mathbf {r }) & = - int d mathbf {r} phi _ { mathbf {R}} ( mathbf {r}) e ^ {i { frac {q} { hbar}} left [- int _ { mathbf {R}} ^ { mathbf {r}} mathbf {A} ( mathbf {r} ', t) cdot d mathbf {r}' + int _ { mathbf {R} '} ^ { mathbf {r}} mathbf {A} ( mathbf {r}', t) cdot d mathbf {r} ' right]} H phi _ { mathbf { R} '} ( mathbf {r}) & = - e ^ {i { frac {q} { hbar}} int _ { mathbf {R}'} ^ { mathbf {R}} mathbf {A} ( mathbf {r} ', t) cdot d mathbf {r}'} int d mathbf {r} phi _ { mathbf {R}} ( mathbf {r} ) e ^ {i { frac {q} { hbar}} Phi _ { mathbf {R} ', mathbf {r}, mathbf {R}}} H phi _ { mathbf {R} '} ( mathbf {r}), end {выравнивается}}}$$

где мы определили ${ displaystyle Phi _ { mathbf {R} ', mathbf {r}, mathbf {R}} = oint _ { mathbf {R}' to mathbf {r} to mathbf {R } to mathbf {R} '} mathbf {A} ( mathbf {r}', t) cdot d mathbf {r} '}$, поток через треугольник, создаваемый тремя позиционными аргументами. Поскольку мы предполагаем ${ Displaystyle mathbf {A} ( mathbf {r}, т)}$ приблизительно однородна в масштабе решетки^[4] - масштаб, на котором состояния Ванье локализуются в положениях ${ displaystyle mathbf {R}}$ - мы можем приблизить ${ displaystyle Phi _ { mathbf {R}, mathbf {r}, mathbf {R} '} приблизительно 0}$, давая желаемый результат,

Следовательно, матричные элементы такие же, как и в случае без магнитного поля, за исключением взятого фазового фактора, который обозначается фазовым фактором Пайерлса. Это чрезвычайно удобно, поскольку тогда мы можем использовать одни и те же параметры материала независимо от значения магнитного поля, а учет соответствующей фазы в вычислительном отношении тривиален. Для электронов (${ displaystyle q = -e}$) это означает замену скачкообразного члена ${ displaystyle t_ {ij}}$ с ${ displaystyle t_ {ij} e ^ {- i { frac {e} { hbar}} int _ {i} ^ {j} mathbf {A} cdot d mathbf {l}}}$^[4][5][6][7]

Рекомендации