WikiDer > Критерий Переса – Городецкого

Peres–Horodecki criterion

В Критерий Переса – Городецкого это необходимое условие для сустава матрица плотности ${ displaystyle rho}$ двух квантово-механических систем ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ , быть отделяемый. Его еще называют PPT критерий, для положительное частичное транспонирование. В случаях размерностей 2x2 и 2x3 условие также является достаточным. Он используется для определения отделимости смешанные состояния, где Разложение Шмидта не применяется.

В более высоких измерениях тест неубедителен, и его следует дополнить более сложными тестами, например, основанными на свидетели запутывания.

Определение

Если у нас есть общее состояние ${ displaystyle rho}$ который действует на ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {A} otimes { mathcal {H}} _ {B}}$

{ displaystyle rho = sum _ {ijkl} p_ {kl} ^ {ij} | i rangle langle j | otimes | k rangle langle l |}

Его частичное транспонировать (по отношению к стороне B) определяется как

{ displaystyle rho ^ {T_ {B}}: = (I otimes T) ( rho) = sum _ {ijkl} p_ {kl} ^ {ij} | i rangle langle j | otimes ( | k rangle langle l |) ^ {T} = sum _ {ijkl} p_ {kl} ^ {ij} | i rangle langle j | otimes | l rangle langle k | = sum _ {ijkl} p_ {lk} ^ {ij} | i rangle langle j | otimes | k rangle langle l |}

Обратите внимание, что частичный в названии подразумевается, что транспонируется только часть состояния. Точнее, ${ Displaystyle (I otimes T) ( rho)}$ это личность карта применяется к стороне A, а карта транспонирования применяется к стороне B.

Это определение можно увидеть более четко, если мы запишем состояние в виде блочной матрицы:

{ displaystyle rho = { begin {pmatrix} A_ {11} & A_ {12} & dots & A_ {1n} A_ {21} & A_ {22} && vdots && ddots & A_ { n1} &&& A_ {nn} end {pmatrix}}}

Где ${ Displaystyle п = тусклый { mathcal {H}} _ {A}}$ , а каждый блок представляет собой квадратную матрицу размерности ${ displaystyle m = dim { mathcal {H}} _ {B}}$ . Тогда частичное транспонирование будет

{ displaystyle rho ^ {T_ {B}} = { begin {pmatrix} A_ {11} ^ {T} & A_ {12} ^ {T} & dots & A_ {1n} ^ {T} A_ { 21} ^ {T} & A_ {22} ^ {T} && vdots && ddots & A_ {n1} ^ {T} &&& A_ {nn} ^ {T} end {pmatrix}}}

Критерий утверждает, что если ${ Displaystyle rho ; !}$ отделимо, то все собственные значения из ${ displaystyle rho ^ {T_ {B}}}$ неотрицательны. Другими словами, если ${ displaystyle rho ^ {T_ {B}}}$ имеет отрицательное собственное значение, ${ Displaystyle rho ; !}$ гарантированно будет запутанный. Обратное к этим утверждениям верно тогда и только тогда, когда размерность пространства продукта равна ${ displaystyle 2 times 2}$ или же ${ displaystyle 2 times 3}$ .

Результат не зависит от партии, которая была перенесена, потому что ${ Displaystyle rho ^ {T_ {A}} = ( rho ^ {T_ {B}}) ^ {T}}$ .

Пример

Рассмотрим это 2-кубитное семейство Вернер заявляет:

{ displaystyle rho = p | Psi ^ {-} rangle langle Psi ^ {-} | + (1-p) { frac {I} {4}}}

Его можно рассматривать как выпуклое сочетание из ${ displaystyle | пси ^ {-} rangle}$ , а максимально запутанное состояние, и идентичность, максимально смешанное состояние.

Его матрица плотности равна

{ displaystyle rho = { frac {1} {4}} { begin {pmatrix} 1-p & 0 & 0 & 0 0 & p + 1 & -2p & 0 0 & -2p & p + 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1-p end {pmatrix}} }

и частичное транспонирование

{ displaystyle rho ^ {T_ {B}} = { frac {1} {4}} { begin {pmatrix} 1-p & 0 & 0 & -2p 0 & p + 1 & 0 & 0 0 & 0 & p + 1 & 0 - 2p & 0 & 0 & 1-p end {pmatrix}}}

Его наименьшее собственное значение ${ displaystyle (1-3p) / 4}$ . Следовательно, состояние запутано для ${ displaystyle 1 geq p> 1/3}$ .

Демонстрация

Если ρ отделимо, его можно записать как

{ displaystyle rho = sum p_ {i} rho _ {i} ^ {A} otimes rho _ {i} ^ {B}}

В этом случае эффект частичного транспонирования тривиален:

{ Displaystyle rho ^ {T_ {B}} = I otimes T ( rho) = sum p_ {i} rho _ {i} ^ {A} otimes ( rho _ {i} ^ {B }) ^ {T}}

Поскольку отображение транспонирования сохраняет собственные значения, спектр ${ Displaystyle ( rho _ {я} ^ {B}) ^ {T}}$ такой же, как спектр ${ Displaystyle rho _ {я} ^ {B} ; !}$ , и в частности ${ Displaystyle ( rho _ {я} ^ {B}) ^ {T}}$ все еще должно быть положительным полуопределенным. Таким образом ${ displaystyle rho ^ {T_ {B}}}$ также должно быть положительно полуопределенным. Это доказывает необходимость критерия PPT.

Более сложно показать, что быть PPT также достаточно для случаев 2 X 2 и 3 X 2 (эквивалентно 2 X 3). Городецкие показали, что для каждого запутанного состояния существует свидетель запутывания. Это результат геометрической природы и вызывает Теорема Хана – Банаха (см. ссылку ниже).

По наличию свидетелей запутывания можно показать, что ${ Displaystyle I otimes Lambda ( rho)}$ быть позитивным для всех положительные карты Λ - необходимое и достаточное условие отделимости ρ, где Λ отображает ${ displaystyle B ({ mathcal {H}} _ {B})}$ к ${ displaystyle B ({ mathcal {H}} _ {A})}$

Кроме того, каждая положительная карта из ${ displaystyle B ({ mathcal {H}} _ {B})}$ к ${ displaystyle B ({ mathcal {H}} _ {A})}$ можно разложить на сумму полностью положительных и полностью копозитивных отображений, когда ${ displaystyle { textrm {dim}} ({ mathcal {H}} _ {B}) = 2}$ и ${ displaystyle { textrm {dim}} ({ mathcal {H}} _ {A}) = 2 ; { textrm {или}} ; 3}$ . Другими словами, любое такое отображение Λ можно записать как

{ displaystyle Lambda = Lambda _ {1} + Lambda _ {2} circ T,}

куда ${ displaystyle Lambda _ {1}}$ и ${ displaystyle Lambda _ {2}}$ полностью положительны и Т - отображение транспозиции. Это следует из теоремы Стёрмера-Вороновича.

Грубо говоря, карта транспонирования является единственной, которая может генерировать отрицательные собственные значения в этих измерениях. Так что если ${ displaystyle rho ^ {T_ {B}}}$ положительный, ${ Displaystyle I otimes Lambda ( rho)}$ положительна для любого Λ. Таким образом, мы заключаем, что критерия Переса – Городецкого также достаточно для отделимости, когда ${ displaystyle { textrm {dim}} ({ mathcal {H}} _ {A} otimes { mathcal {H}} _ {B}) leq 6}$ .

Однако в более высоких измерениях существуют карты, которые нельзя разложить таким образом, и критерий уже недостаточен. Следовательно, есть запутанные состояния, которые имеют положительное частичное транспонирование. Такие состояния обладают тем интересным свойством, что они связанный запутанный, т.е. они не могут быть дистиллированный за квантовая связь целей.

Системы непрерывных переменных

Критерий Переса – Городецкого был распространен на системы с непрерывными переменными. Саймон ^[1] сформулировал частный вариант критерия PPT в терминах моментов второго порядка канонических операторов и показал, что он необходим и достаточен для ${ displaystyle 1 oplus 1}$ -модовые гауссовские состояния (см.^[2] для, казалось бы, другого, но по сути эквивалентного подхода). Позже было найдено ^[3] что условие Саймона также необходимо и достаточно для ${ displaystyle 1 oplus n}$ -модовых гауссовских состояний, но уже недостаточно для ${ displaystyle 2 oplus 2}$ -модовые гауссовские состояния. Условие Саймона можно обобщить, учитывая моменты высших порядков канонических операторов ^[4]^[5] или с помощью энтропийных мер.^[6]^[7]

Симметричные системы

Для симметричных состояний двудольных систем положительность частичного транспонирования матрицы плотности связана со знаком некоторых двухчастичных корреляций. Здесь симметрия означает, что

{ Displaystyle rho F_ {AB} = F_ {AB} rho = rho,}

держит, где ${ displaystyle F_ {AB}}$ является ли оператор переворота или свопа обменивается двумя сторонами ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ . Полный базис симметричного подпространства имеет вид ${ displaystyle ( vert n rangle _ {A} vert m rangle _ {B} + vert m rangle _ {A} vert n rangle _ {B}) / { sqrt {2}} }$ с ${ displaystyle m neq n}$ и ${ displaystyle vert n rangle _ {A} vert n rangle _ {B}.}$ Здесь для ${ displaystyle n}$ и ${ displaystyle m,}$ ${ Displaystyle 0 Leq N, м Leq d-1}$ должен держаться, где ${ displaystyle d}$ это измерение двух сторон.

Можно показать, что для таких состояний ${ displaystyle rho}$ имеет положительное частичное транспонирование тогда и только тогда, когда ^[8]

{ displaystyle langle M otimes M rangle _ { rho} geq 0}

выполняется для всех операторов ${ displaystyle M.}$ Следовательно, если ${ displaystyle langle M otimes M rangle _ { rho} <0}$ справедливо для некоторых ${ displaystyle M}$ тогда в государстве нет PPT запутанность.

Рекомендации

^ Саймон Р. (2000). "Критерий разделимости Переса-Городецкого для непрерывных переменных систем". Письма с физическими проверками. 84 (12): 2726–2729. arXiv:Quant-ph / 9909044. Bibcode:2000ПхРвЛ..84.2726С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.84.2726. PMID 11017310.
^ Дуань, Лу-Мин; Giedke, G .; Cirac, J. I .; Золлер, П. (2000). «Критерий неразрывности систем с непрерывными переменными». Письма с физическими проверками. 84 (12): 2722–2725. arXiv:Quant-ph / 9908056. Bibcode:2000ПхРвЛ..84.2722Д. Дои:10.1103 / PhysRevLett.84.2722. PMID 11017309.
^ Werner, R. F .; Вольф, М. М. (2001). «Связанные запутанные гауссовские состояния». Письма с физическими проверками. 86 (16): 3658–3661. arXiv:Quant-ph / 0009118. Bibcode:2001ПхРвЛ..86.3658Вт. Дои:10.1103 / PhysRevLett.86.3658. PMID 11328047.
^ Щукин, Э .; Фогель, В. (2005). «Критерии неразрывности для непрерывных двудольных квантовых состояний». Письма с физическими проверками. 95 (23): 230502. arXiv:Quant-ph / 0508132. Bibcode:2005PhRvL..95w0502S. Дои:10.1103 / PhysRevLett.95.230502. PMID 16384285.
^ Хиллери, Марк; Зубайри, М. Сухайль (2006). «Условия зацепления для двухрежимных состояний». Письма с физическими проверками. 96 (5): 050503. arXiv:Quant-ph / 0507168. Bibcode:2006PhRvL..96e0503H. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.050503. PMID 16486912.
^ Walborn, S .; Taketani, B .; Salles, A .; Тоскано, Ф .; де Матос Филью Р. (2009). «Критерии энтропийной запутанности для непрерывных переменных». Письма с физическими проверками. 103 (16): 160505. arXiv:0909.0147. Bibcode:2009PhRvL.103p0505W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.103.160505. PMID 19905682.
^ Ичэнь Хуан (октябрь 2013 г.). «Обнаружение запутанности: сложность и энтропийные критерии Шеннона». IEEE Transactions по теории информации. 59 (10): 6774–6778. Дои:10.1109 / TIT.2013.2257936.
^ Тот, Геза; Гюне, Отфрид (1 мая 2009 г.). «Запутанность и перестановочная симметрия». Письма с физическими проверками. 102 (17): 170503. Дои:10.1103 / PhysRevLett.102.170503.

Ашер Перес, Критерий разделимости матриц плотности, Phys. Rev. Lett. 77, 1413–1415 (1996)
Городецкий, Михал; Городецкий, Павел; Городецкий, Рышард (1996). «Разделимость смешанных состояний: необходимые и достаточные условия». Письма о физике A. 223 (1–2): 1–8. arXiv:Quant-ph / 9605038. Bibcode:1996ФЛА..223 .... 1Ч. Дои:10.1016 / s0375-9601 (96) 00706-2.
Кароль Жычковски и Ингемар Бенгтссон, Геометрия квантовых состояний, Cambridge University Press, 2006 г.
Воронович, С. Л. (1976). «Положительные отображения матричных алгебр малой размерности». Rep. Math. Phys. 10 (2): 165–183. Bibcode:1976RpMP ... 10..165Вт. Дои:10.1016/0034-4877(76)90038-0.

[1] Саймон Р. (2000). "Критерий разделимости Переса-Городецкого для непрерывных переменных систем". Письма с физическими проверками. 84 (12): 2726–2729. arXiv:Quant-ph / 9909044. Bibcode:2000ПхРвЛ..84.2726С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.84.2726. PMID 11017310.

[2] Дуань, Лу-Мин; Giedke, G .; Cirac, J. I .; Золлер, П. (2000). «Критерий неразрывности систем с непрерывными переменными». Письма с физическими проверками. 84 (12): 2722–2725. arXiv:Quant-ph / 9908056. Bibcode:2000ПхРвЛ..84.2722Д. Дои:10.1103 / PhysRevLett.84.2722. PMID 11017309.

[3] Werner, R. F .; Вольф, М. М. (2001). «Связанные запутанные гауссовские состояния». Письма с физическими проверками. 86 (16): 3658–3661. arXiv:Quant-ph / 0009118. Bibcode:2001ПхРвЛ..86.3658Вт. Дои:10.1103 / PhysRevLett.86.3658. PMID 11328047.

[4] Щукин, Э .; Фогель, В. (2005). «Критерии неразрывности для непрерывных двудольных квантовых состояний». Письма с физическими проверками. 95 (23): 230502. arXiv:Quant-ph / 0508132. Bibcode:2005PhRvL..95w0502S. Дои:10.1103 / PhysRevLett.95.230502. PMID 16384285.

[5] Хиллери, Марк; Зубайри, М. Сухайль (2006). «Условия зацепления для двухрежимных состояний». Письма с физическими проверками. 96 (5): 050503. arXiv:Quant-ph / 0507168. Bibcode:2006PhRvL..96e0503H. Дои:10.1103 / PhysRevLett.96.050503. PMID 16486912.

[6] Walborn, S .; Taketani, B .; Salles, A .; Тоскано, Ф .; де Матос Филью Р. (2009). «Критерии энтропийной запутанности для непрерывных переменных». Письма с физическими проверками. 103 (16): 160505. arXiv:0909.0147. Bibcode:2009PhRvL.103p0505W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.103.160505. PMID 19905682.

[7] Ичэнь Хуан (октябрь 2013 г.). «Обнаружение запутанности: сложность и энтропийные критерии Шеннона». IEEE Transactions по теории информации. 59 (10): 6774–6778. Дои:10.1109 / TIT.2013.2257936.

[8] Тот, Геза; Гюне, Отфрид (1 мая 2009 г.). «Запутанность и перестановочная симметрия». Письма с физическими проверками. 102 (17): 170503. Дои:10.1103 / PhysRevLett.102.170503.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Navigation