WikiDer > Функция Пфаффа

Pfaffian function

В математика, Пфаффовы функции представляют собой некоторый класс функций, производная которых может быть записана через исходную функцию. Первоначально они были представлены Аскольд Хованский в 1970-х годах, но названы в честь немецкого математика Иоганн Пфафф.

Основное определение

Немного функции, когда дифференцированный, дают результат, который можно записать в терминах исходной функции. Пожалуй, самый простой пример - это экспоненциальная функция, ж(Икс) = еИкс. Если мы дифференцируем эту функцию, мы получим еИкс опять же, это

Другой пример такой функции - обратная функция, г(Икс) = 1/Икс. Если мы дифференцируем эту функцию, то увидим, что

Другие функции могут не обладать вышеуказанным свойством, но их производные могут быть записаны в терминах функций, подобных приведенным выше. Например, если взять функцию час(Икс) = еИксжурнал(Икс) тогда мы видим

Подобные функции формируют ссылки в так называемом Пфаффианская цепь. Такая цепочка представляет собой последовательность функций, скажем ж1, ж2, ж3и т.д., с тем свойством, что если мы дифференцируем любую из функций в этой цепочке, то результат может быть записан в терминах самой функции и всех функций, предшествующих ей в цепочке (в частности, как многочлен в этих функциях и задействованных переменных). Итак, с функциями выше у нас есть ж, г, час является цепью Пфаффа.

А Функция Пфаффа тогда будет просто полиномом от функций, входящих в цепочку Пфаффа, и аргумент функции. Итак, с только что упомянутой цепочкой Пфаффа такие функции, как F(Икс) = Икс3ж(Икс)2 − 2г(Икс)час(Икс) являются пфаффовскими.

Строгое определение

Позволять U быть открытым доменом в рп. А Пфаффианская цепь порядка р ≥ 0 и степень α ≥ 1 дюйм U представляет собой последовательность реальных аналитические функции ж1,…, жр в U удовлетворяющие дифференциальным уравнениям

для я = 1,…,р где пя,j ∈ р[Икс1,...,Иксп,y1,...,yя] находятся многочлены степени ≤α. Функция ж на U называется Функция Пфаффа порядка р и степень (α,β) если

где п ∈ р[Икс1,...,Иксп,y1,...,yр] - многочлен степени не выше β ≥ 1. Числа р, α, и β все вместе известны как формат функции Пфаффа и дают полезную меру ее сложности.

Примеры

  • Самыми тривиальными примерами функций Пфаффа являются полиномы от р[Икс]. Такая функция будет многочленом от цепочки Пфаффа порядка р = 0, то есть цепочка без функций. Такая функция будет иметь α = 0 и β равной степени полинома.
  • Возможно, простейшая нетривиальная функция Пфаффа - это ж(Икс) = еИкс. Это пфаффиан с порядком р = 1 и α = β = 1 в силу уравнения ж ′ = ж.
  • Индуктивно можно определить ж1(Икс) = ехр (Икс) и жм+1(Икс) = ехр (жм(Икс)) для 1 ≤м < р. потом жм′ = ж1ж2···жм. Итак, это пфаффовская цепочка порядка. р и степень α = р.
  • Все из алгебраические функции пфаффовы на подходящих областях, как и гиперболические функции. В тригонометрические функции на ограниченных интервалах являются пфаффовскими, но они должны формироваться косвенно. Например, функция cos (Икс) - многочлен от цепи Пфаффа tan (Икс/ 2), cos2(Икс/ 2) на интервале (−π, π).
  • Фактически все элементарные функции и Лиувиллевские функции пфаффовские.[1]

В теории моделей

Рассмотрим структуру р = (р, +, -, ·, <, 0,1), упорядоченное поле действительных чисел. В 1960-е годы Андрей Габриэлов доказал, что структура, полученная начиная с р и добавление функционального символа для каждой аналитической функции, ограниченной единичным блоком [0,1]м является модель завершена.[2] То есть любой набор, определяемый в этой структуре ран была просто проекцией некоторого многомерного множества, определенного тождествами и неравенствами, включающими эти ограниченные аналитические функции.

В 1990-е годы Алекс Уилки показал, что тот же результат будет, если вместо добавления каждый аналитическая функция, нужно просто добавить экспоненциальную функцию к р чтобы получить упорядоченное вещественное поле с возведением в степень, рexp, результат известен как Теорема Уилки.[3] Затем Уилки занялся вопросом, какие конечные наборы функций можно добавить к р чтобы получить такой результат. Оказалось, что добавление любой цепи Пфаффа, ограниченной блоком [0,1]м даст тот же результат. В частности, можно добавить все Пфаффовские функции р получить структуру рПфафф как промежуточный результат между результатом Габриэлова и Теорема Уилки. Поскольку экспоненциальная функция сама по себе является цепочкой Пфаффа, результат возведения в степень можно рассматривать как частный случай этого последнего результата.[4]

Этот результат Уилки доказал, что структура рПфафф является о-минимальная структура.

Нётеровы функции

Вышеупомянутые уравнения, которые определяют цепь Пфаффа, как говорят, удовлетворяют треугольному условию, поскольку производная каждой последующей функции в цепочке является полиномом от одной дополнительной переменной. Таким образом, если они записываются по очереди, появляется треугольная форма:

и так далее. Если это условие треугольности ослабить так, чтобы производная каждой функции в цепочке была полиномом от всех других функций в цепочке, тогда цепочка функций известна как Нётерская цепь, а функция, построенная как полином в этой цепочке, называется Нётерова функция.[5] Так, например, нетерова цепочка третьего порядка состоит из трех функций ж1, ж2, ж3, удовлетворяющие уравнениям

Название связано с тем, что кольцо порожденная функциями в такой цепочке Нётерян.[6]

Любая цепь Пфаффа также является нётеровой; дополнительные переменные в каждом полиноме в этом случае просто избыточны. Но не всякая нётерская цепочка пфаффовская. Если мы возьмем ж1(Икс) = грех (Икс) и ж2(Икс) = cos (Икс) то имеем уравнения

и это справедливо для всех действительных чисел Икс, так ж1,ж2 является нётеровой цепью на всех р. Но нет полинома п(Икс,y) такая, что производная sin (Икс) можно записать как п(Икс, грех (Икс)), а значит, эта цепочка не пфаффова.

Заметки

  1. ^ Функции Лиувилля - это, по сути, все вещественные аналитические функции, которые можно получить из элементарных функций путем применения обычных арифметических операций, возведения в степень и интегрирования. Они не имеют отношения к Функция Лиувилля в теории чисел.
  2. ^ А. Габриэлов, "Проекции полуаналитических множеств", Функциональный анал. Appl. 2 (1968), стр.282–291.
  3. ^ А.Дж. Уилки, "Результаты модельной полноты для разложений упорядоченного поля действительных чисел с помощью ограниченных функций Пфаффа и экспоненциальных функций", J. Amer. Математика. Soc. 9 (1996), стр. 1051–1094.
  4. ^ Теорема Уилки на самом деле сильнее этого частного случая. В частном случае по-прежнему требуется, чтобы экспоненциальная функция была ограничена закрытым интервалом [0,1]. Уилки доказал, что в случае экспоненциальной функции в этом нет необходимости, и ее можно определить как обычно для всех р.
  5. ^ Андрей Габриэлов, Николай Воробьев (2004). «Сложность вычислений с функциями Пфаффа и Нётерана». У Юлия Ильяшенко, Кристиан Руссо (ред.). Нормальные формы, бифуркации и проблемы конечности в дифференциальных уравнениях. Kluwer Academic Publishers. ISBN 1-4020-1928-9.
  6. ^ J.C. Tougeron, "Algèbres analytiques topologiquement nœthériennes, Теори де Гованский", Annales de l'Institut Fourier 41 (1991), стр. 823–840.

использованная литература