WikiDer > Пи-система

Pi-system

В математика, а π-система (или же пи-система) на набор Ω является коллекция п определенных подмножества такой, что

  • п не пусто.
  • Если А и B находятся в п тогда А ∩ B ∈ п.

То есть, п это непустой семейство подмножеств Ω, которое закрыто под конечным перекрестки.Важность π-системы возникает из-за того, что если две вероятностные меры согласуются π-система, то они соглашаются σ-алгебра порожденный этим π-система. Более того, если другие свойства, такие как равенство интегралов, выполняются для π-системы, то они справедливы для сгенерированных σ-алгебра. Это так, когда набор подмножеств, для которых выполняется свойство, является λ-система. π-системы также полезны для проверки независимости случайных величин.

Это желательно, потому что на практике π-системы часто проще работать, чем σ-алгебры. Например, может быть неудобно работать с σ-алгебры, порожденные бесконечным числом множеств . Итак, вместо этого мы можем исследовать объединение всех σ-алгебры, порожденные конечным числом множеств . Это формирует π-система, генерирующая желаемое σ-алгебра. Другим примером является набор всех интервальных подмножеств реальной линии вместе с пустым набором, который является π-система, генерирующая очень важные Борель σ-алгебра подмножеств реальной линии.

Определения

А π-система непустой набор множеств п замкнутое относительно конечных пересечений, что эквивалентно п содержащий пересечение любых двух его элементов. Если каждый набор в этом π-система - это подмножество Ω тогда это называется π-система на Ω.

Для любого непустого семья Σ подмножеств Ω, существует π-система , называется π-система сгенерирована сгенерирована Σ, то есть самый маленький π-система Ω содержать каждый элемент Σ. Он равен пересечению всех π-системы, содержащие Σ и может быть явно описан как множество всех возможных конечных пересечений (одного или нескольких) элементов Σ:

{ E1 ∩ ⋅⋅⋅ ∩ Eп  :  п ≥ 1 и E1, ..., Eп ∈ Σ}.

Непустое семейство множеств имеет свойство конечного пересечения если и только если π-система, которую он генерирует, не содержит пустой набор как элемент.

Примеры

  • а, б ∈ ℝ, интервалы сформировать π-система, а интервалы сформировать π-система, если также включен пустой набор.
  • В топология (совокупность открытых подмножеств) любого топологического пространства является π-система.
  • Каждый фильтр это π-система. Каждый π-система, не содержащая пустого множества, является предварительный фильтр (также известный как основа фильтра).
  • Для любой измеримой функции , набор определяет π-система, и называется π-система генерируется к ж. (В качестве альтернативы, определяет π-система, созданная .)
  • Если п1 и п2 находятся π-системы для Ω1 и Ω2соответственно, то это π-система для пространства произведений Ω1× Ом2.
  • Каждый σ-алгебра - это π-система.

Отношение к λ-системы

А λ-система на Ω это набор D подмножеств Ω, удовлетворяющий

  • ,
  • если тогда ,
  • если это последовательность непересекающийся подмножества в тогда .

Хотя это правда, что любой σ-алгебра удовлетворяет свойствам быть как π-система и λ-система, неверно, что π-система - это λ-система, и тем более неверно, что π-система - это σ-алгебра. Однако полезная классификация состоит в том, что любая система множеств, одновременно являющаяся λ-система и π-система - это σ-алгебра. Это используется как шаг в доказательстве π-λ теорема.

В π-λ теорема

Позволять D быть λ-система, и пусть быть π-система, содержащаяся в D. В π-λ Теорема[1] заявляет, что σ-алгебра создано содержится в D : .

В π-λ Теорема может быть использована для доказательства многих элементарных результатов теории меры. Например, он используется при доказательстве утверждения об уникальности Теорема Каратеодори о продолжении за σ-конечные меры.[2]

В π-λ Теорема тесно связана с теорема о монотонном классе, который обеспечивает аналогичную связь между монотонными классами и алгебрами и может использоваться для получения многих из тех же результатов. С π-системы являются более простыми классами, чем алгебры, может быть проще идентифицировать множества, которые в них находятся, в то время как, с другой стороны, проверка того, определяет ли рассматриваемое свойство λ-система зачастую относительно проста. Несмотря на различие между двумя теоремами, π-λ теорему иногда называют теоремой о монотонном классе.[1]

Пример

Позволять μ1 , μ2 : F → р быть двумя мерами по σ-алгебра F, и предположим, что F = σ(я) порождается π-система я. Если

  1. μ1(А) = μ2(А), для всех Ая, и
  2. μ1(Ω) = μ2(Ω) <∞,

тогда μ1 = μ2Это утверждение единственности теоремы Каратеодори о продолжении для конечных мер. Если этот результат не кажется очень примечательным, учтите тот факт, что обычно очень трудно или даже невозможно полностью описать каждый набор в σ-алгебра, и поэтому проблема приравнивания мер была бы совершенно безнадежной без такого инструмента.

Идея доказательства[2]Определите коллекцию наборов

По первому предположению μ1 и μ2 соглашаться я и поэтому яD. По второму предположению Ω ∈ D, и далее можно показать, что D это λ-система. Это следует из π-λ теорема, что σ(я) ⊆ Dσ(я), и так D = σ(я). То есть меры согласуются σ(я).

π-Системы в вероятности

π-системы чаще используются при изучении теории вероятностей, чем в общей области теории меры. В первую очередь это связано с вероятностными понятиями, такими как независимость, хотя также может быть следствием того, что π-λ Теорема была доказана вероятностным Евгений Дынкин. Стандартные тексты по теории меры обычно доказывают те же результаты с помощью монотонных классов, а не π-системы.

Равенство в распределении

В π-λ Теорема мотивирует общее определение распределение вероятностей из случайная переменная с точки зрения его кумулятивная функция распределения. Напомним, что совокупное распределение случайной величины определяется как

тогда как, казалось бы, более общий закон переменной является вероятностной мерой

куда борель σ-алгебра. Мы говорим, что случайные величины , и (на двух, возможно, различных вероятностных пространствах) равны по распределению (или закон), , если они имеют одинаковые кумулятивные функции распределения, FИкс = FY. Мотивация для определения проистекает из наблюдения, что если FИкс = FY, то это означает, что и договориться о π-система который порождает , и так пример над: .

Аналогичный результат имеет место для совместного распределения случайного вектора. Например, предположим Икс и Y две случайные величины, определенные в одном вероятностном пространстве , с соответственно сгенерированными π-системы и . Совместная кумулятивная функция распределения (Икс,Y) является

Тем не мение, и . С

это π-система, порожденная случайной парой (Икс,Y), то π-λ Теорема используется, чтобы показать, что совместной кумулятивной функции распределения достаточно для определения совместного закона (Икс,Y). Другими словами, (Икс,Y) и (W, Z) имеют одинаковое распределение тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую совместную кумулятивную функцию распределения.

В теории случайных процессов два процесса известны как равные по распределению тогда и только тогда, когда они согласуются со всеми конечномерными распределениями. т.е. для всех .

Доказательство тому - еще одно применение π-λ теорема.[3]

Независимые случайные величины

Теория π-система играет важную роль в вероятностном понятии независимость. Если Икс и Y две случайные величины, определенные в одном вероятностном пространстве то случайные величины независимы тогда и только тогда, когда их π-системы удовлетворить

то есть независимы. На самом деле это частный случай использования π-системы определения распределения (Икс,Y).

Пример

Позволять , куда находятся iid стандартные нормальные случайные величины. Определите переменные радиуса и аргумента (arctan)

.

потом и являются независимыми случайными величинами.

Чтобы доказать это, достаточно показать, что π-системы независимы: т.е.

Подтверждение этого - упражнение по изменению переменных. Исправить , то вероятность можно выразить как интеграл от функции плотности вероятности .

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б Калленберг, Основы современной вероятности, стр. 2
  2. ^ а б Дарретт, Теория вероятностей и примеры, стр. 404
  3. ^ Калленберг, Основы современной вероятности, п. 48

Рекомендации

  • Gut, Аллан (2005). Вероятность: выпускной курс. Нью-Йорк: Спрингер. Дои:10.1007 / b138932. ISBN 0-387-22833-0.
  • Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с мартингейлами. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-40605-6.