WikiDer > Пи-система

В математика, а π-система (или же пи-система) на набор Ω является коллекция п определенных подмножества такой, что

• п не пусто.
• Если А и B находятся в п тогда А ∩ B ∈ п.

То есть, п это непустой семейство подмножеств Ω, которое закрыто под конечным перекрестки.Важность π-системы возникает из-за того, что если две вероятностные меры согласуются π-система, то они соглашаются σ-алгебра порожденный этим π-система. Более того, если другие свойства, такие как равенство интегралов, выполняются для π-системы, то они справедливы для сгенерированных σ-алгебра. Это так, когда набор подмножеств, для которых выполняется свойство, является λ-система. π-системы также полезны для проверки независимости случайных величин.

Это желательно, потому что на практике π-системы часто проще работать, чем σ-алгебры. Например, может быть неудобно работать с σ-алгебры, порожденные бесконечным числом множеств ${displaystyle sigma (E_ {1}, E_ {2}, ldots)}$. Итак, вместо этого мы можем исследовать объединение всех σ-алгебры, порожденные конечным числом множеств ${extstyle igcup _ {n} sigma (E_ {1}, ldots, E_ {n})}$. Это формирует π-система, генерирующая желаемое σ-алгебра. Другим примером является набор всех интервальных подмножеств реальной линии вместе с пустым набором, который является π-система, генерирующая очень важные Борель σ-алгебра подмножеств реальной линии.

Определения

А π-система непустой набор множеств п замкнутое относительно конечных пересечений, что эквивалентно п содержащий пересечение любых двух его элементов. Если каждый набор в этом π-система - это подмножество Ω тогда это называется π-система на Ω.

Для любого непустого семья Σ подмножеств Ω, существует π-система ${displaystyle {mathcal {I}} _ {Sigma}}$, называется π-система сгенерирована сгенерирована Σ, то есть самый маленький π-система Ω содержать каждый элемент Σ. Он равен пересечению всех π-системы, содержащие Σ и может быть явно описан как множество всех возможных конечных пересечений (одного или нескольких) элементов Σ:

{ E₁ ∩ ⋅⋅⋅ ∩ E_п  :  п ≥ 1 и E₁, ..., E_п ∈ Σ}.

Непустое семейство множеств имеет свойство конечного пересечения если и только если π-система, которую он генерирует, не содержит пустой набор как элемент.

Примеры

• а, б ∈ ℝ, интервалы ${displaystyle (-infty, a]}$ сформировать π-система, а интервалы ${displaystyle (a, b]}$ сформировать π-система, если также включен пустой набор.
• В топология (совокупность открытых подмножеств) любого топологического пространства является π-система.
• Каждый фильтр это π-система. Каждый π-система, не содержащая пустого множества, является предварительный фильтр (также известный как основа фильтра).
• Для любой измеримой функции ${displaystyle fcolon Omega ightarrow mathbb {R}}$, набор ${displaystyle {mathcal {I}} _ {f} = left {f ^ {- 1} left (left (-infty, xight] ight) двоеточие xin mathbb {R} ight}}$ определяет π-система, и называется π-система генерируется к ж. (В качестве альтернативы, ${displaystyle left {f ^ {- 1} left (left (a, bight] ight) двоеточие a, bin mathbb {R}, a$ определяет π-система, созданная ${displaystyle f}$.)
• Если п₁ и п₂ находятся π-системы для Ω₁ и Ω₂соответственно, то ${displaystyle {A_ {1} imes A_ {2}: A_ {1} в P_ {1}, A_ {2} в P_ {2}}}$ это π-система для пространства произведений Ω₁× Ом₂.
• Каждый σ-алгебра - это π-система.

Отношение к λ-системы

А λ-система на Ω это набор D подмножеств Ω, удовлетворяющий

• ${displaystyle Omega in D}$,
• если ${displaystyle Ain D}$ тогда ${displaystyle A ^ {c} в D}$,
• если ${displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}, точки}$ это последовательность непересекающийся подмножества в ${displaystyle D}$ тогда ${displaystyle cup _ {n = 1} ^ {infty} A_ {n} в D}$.

Хотя это правда, что любой σ-алгебра удовлетворяет свойствам быть как π-система и λ-система, неверно, что π-система - это λ-система, и тем более неверно, что π-система - это σ-алгебра. Однако полезная классификация состоит в том, что любая система множеств, одновременно являющаяся λ-система и π-система - это σ-алгебра. Это используется как шаг в доказательстве π-λ теорема.

В π-λ теорема

Позволять D быть λ-система, и пусть ${displaystyle {mathcal {I}} substeq D}$ быть π-система, содержащаяся в D. В π-λ Теорема^[1] заявляет, что σ-алгебра ${displaystyle sigma ({mathcal {I}})}$ создано ${displaystyle {mathcal {I}}}$ содержится в D : ${displaystyle sigma ({mathcal {I}}) подмножество D}$.

В π-λ Теорема может быть использована для доказательства многих элементарных результатов теории меры. Например, он используется при доказательстве утверждения об уникальности Теорема Каратеодори о продолжении за σ-конечные меры.^[2]

В π-λ Теорема тесно связана с теорема о монотонном классе, который обеспечивает аналогичную связь между монотонными классами и алгебрами и может использоваться для получения многих из тех же результатов. С π-системы являются более простыми классами, чем алгебры, может быть проще идентифицировать множества, которые в них находятся, в то время как, с другой стороны, проверка того, определяет ли рассматриваемое свойство λ-система зачастую относительно проста. Несмотря на различие между двумя теоремами, π-λ теорему иногда называют теоремой о монотонном классе.^[1]

Пример

Позволять μ₁ , μ₂ : F → р быть двумя мерами по σ-алгебра F, и предположим, что F = σ(я) порождается π-система я. Если

1. μ₁(А) = μ₂(А), для всех А ∈ я, и
2. μ₁(Ω) = μ₂(Ω) <∞,

тогда μ₁ = μ₂Это утверждение единственности теоремы Каратеодори о продолжении для конечных мер. Если этот результат не кажется очень примечательным, учтите тот факт, что обычно очень трудно или даже невозможно полностью описать каждый набор в σ-алгебра, и поэтому проблема приравнивания мер была бы совершенно безнадежной без такого инструмента.

Идея доказательства^[2]Определите коллекцию наборов

${displaystyle D = left {Ain sigma (I) двоеточие mu _ {1} (A) = mu _ {2} (A) ight}.}$

По первому предположению μ₁ и μ₂ соглашаться я и поэтому я ⊆ D. По второму предположению Ω ∈ D, и далее можно показать, что D это λ-система. Это следует из π-λ теорема, что σ(я) ⊆ D ⊆ σ(я), и так D = σ(я). То есть меры согласуются σ(я).

π-Системы в вероятности

π-системы чаще используются при изучении теории вероятностей, чем в общей области теории меры. В первую очередь это связано с вероятностными понятиями, такими как независимость, хотя также может быть следствием того, что π-λ Теорема была доказана вероятностным Евгений Дынкин. Стандартные тексты по теории меры обычно доказывают те же результаты с помощью монотонных классов, а не π-системы.

Равенство в распределении

В π-λ Теорема мотивирует общее определение распределение вероятностей из случайная переменная ${displaystyle Xcolon (Omega, {mathcal {F}}, operatorname {P}) ightarrow mathbb {R}}$ с точки зрения его кумулятивная функция распределения. Напомним, что совокупное распределение случайной величины определяется как

${displaystyle F_ {X} (a) = operatorname {P} left [Xleq aight], qquad ain mathbb {R},}$

тогда как, казалось бы, более общий закон переменной является вероятностной мерой

${displaystyle {mathcal {L}} _ {X} (B) = имя оператора {P} left [X ^ {- 1} (B) ight], qquad Bin {mathcal {B}} (mathbb {R}),}$

куда ${displaystyle {mathcal {B}} (mathbb {R})}$ борель σ-алгебра. Мы говорим, что случайные величины ${displaystyle Xcolon (Omega, {mathcal {F}}, имя оператора {P})}$, и ${displaystyle Ycolon ({ilde {Omega}}, {ilde {mathcal {F}}}, {ilde {operatorname {P}}}) ightarrow mathbb {R}}$ (на двух, возможно, различных вероятностных пространствах) равны по распределению (или закон), ${displaystyle X, {stackrel {mathcal {D}} {=}}, Y}$, если они имеют одинаковые кумулятивные функции распределения, F_Икс = F_Y. Мотивация для определения проистекает из наблюдения, что если F_Икс = F_Y, то это означает, что ${displaystyle {mathcal {L}} _ {X}}$ и ${displaystyle {mathcal {L}} _ {Y}}$ договориться о π-система ${displaystyle left {(- infty, a] двоеточие ain mathbb {R} ight}}$ который порождает ${displaystyle {mathcal {B}} (mathbb {R})}$, и так пример над: ${displaystyle {mathcal {L}} _ {X} = {mathcal {L}} _ {Y}}$.

Аналогичный результат имеет место для совместного распределения случайного вектора. Например, предположим Икс и Y две случайные величины, определенные в одном вероятностном пространстве ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, operatorname {P})}$, с соответственно сгенерированными π-системы ${displaystyle {mathcal {I}} _ {X}}$ и ${displaystyle {mathcal {I}} _ {Y}}$. Совместная кумулятивная функция распределения (Икс,Y) является

${displaystyle F_ {X, Y} (a, b) = имя оператора {P} слева [Xleq a, Yleq bight] = имя оператора {P} слева [X ^ {- 1} ((- infty, a]) cap Y ^ {-1} ((- infty, b]) ight], qquad a, bin mathbb {R}.}$

Тем не мение, ${displaystyle A = X ^ {- 1} ((- infty, a]) в {mathcal {I}} _ {X}}$ и ${displaystyle B = Y ^ {- 1} ((- infty, b]) в {mathcal {I}} _ {Y}}$. С

${displaystyle {mathcal {I}} _ {X, Y} = {Acap B: Ain {mathcal {I}} _ {X} ,, Bin {mathcal {I}} _ {Y}}}$

это π-система, порожденная случайной парой (Икс,Y), то π-λ Теорема используется, чтобы показать, что совместной кумулятивной функции распределения достаточно для определения совместного закона (Икс,Y). Другими словами, (Икс,Y) и (W, Z) имеют одинаковое распределение тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую совместную кумулятивную функцию распределения.

В теории случайных процессов два процесса ${displaystyle (X_ {t}) _ {tin T}, (Y_ {t}) _ {tin T}}$ известны как равные по распределению тогда и только тогда, когда они согласуются со всеми конечномерными распределениями. т.е. для всех ${displaystyle t_ {1}, ldots, t_ {n} in T ,, nin mathbb {N}}$.

${displaystyle (X_ {t_ {1}}, ldots, X_ {t_ {n}}), {stackrel {mathcal {D}} {=}}, (Y_ {t_ {1}}, ldots, Y_ {t_ {) n}}).}$

Доказательство тому - еще одно применение π-λ теорема.^[3]

Независимые случайные величины

Теория π-система играет важную роль в вероятностном понятии независимость. Если Икс и Y две случайные величины, определенные в одном вероятностном пространстве ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, operatorname {P})}$ то случайные величины независимы тогда и только тогда, когда их π-системы ${displaystyle {mathcal {I}} _ {X}, {mathcal {I}} _ {Y}}$ удовлетворить

${displaystyle operatorname {P} left [Acap Bight] = operatorname {P} left [Aight] operatorname {P} left [Bight], qquad forall Ain {mathcal {I}} _ {X} ,, Bin {mathcal {I} } _ {Y},}$

то есть ${displaystyle {mathcal {I}} _ {X}, {mathcal {I}} _ {Y}}$ независимы. На самом деле это частный случай использования π-системы определения распределения (Икс,Y).

Пример

Позволять ${displaystyle Z = (Z_ {1}, Z_ {2})}$, куда ${displaystyle Z_ {1}, Z_ {2} sim {mathcal {N}} (0,1)}$ находятся iid стандартные нормальные случайные величины. Определите переменные радиуса и аргумента (arctan)

${displaystyle R = {sqrt {Z_ {1} ^ {2} + Z_ {2} ^ {2}}}, qquad Theta = an ^ {- 1} (Z_ {2} / Z_ {1})}$.

потом ${displaystyle R}$ и ${displaystyle Theta}$ являются независимыми случайными величинами.

Чтобы доказать это, достаточно показать, что π-системы ${displaystyle {mathcal {I}} _ {R}, {mathcal {I}} _ {Theta}}$ независимы: т.е.

${displaystyle operatorname {P} [Rleq ho, Theta leq heta] = operatorname {P} [Rleq ho] operatorname {P} [Theta leq heta] quad forall ho in [0, infty) ,, heta in [0,2pi] .}$

Подтверждение этого - упражнение по изменению переменных. Исправить ${displaystyle ho in [0, infty) ,, heta in [0,2pi]}$, то вероятность можно выразить как интеграл от функции плотности вероятности ${displaystyle Z}$.

${displaystyle {egin {выровнено} имя оператора {P} [Rleq ho, Theta leq heta] & = int _ {Rleq ho ,, Theta leq heta} {frac {1} {2pi}} exp left ({- {frac {1 } {2}} (z_ {1} ^ {2} + z_ {2} ^ {2})} ight) dz_ {1}, dz_ {2} [5pt] & = int _ {0} ^ {heta } int _ {0} ^ {ho} {frac {1} {2pi}} e ^ {- {frac {r ^ {2}} {2}}} r, dr, d {ilde {heta}} [ 5pt] & = left (int _ {0} ^ {heta} {frac {1} {2pi}}, d {ilde {heta}} ight) left (int _ {0} ^ {ho} e ^ {- { frac {r ^ {2}} {2}}} r, dright) [5pt] & = имя оператора {P} [Theta leq heta] имя оператора {P} [Rleq ho] .end {выровнено}}}$

Смотрите также

• Алгебра множеств - Тождества и отношения между множествами, включающими дополнения, включения ⊆ и конечные объединения ∪ и пересечения ∩.
• δ-кольцо
• Семейство наборов
• Поле наборов - Алгебраическая концепция в теории меры
• Идеал (теория множеств) - Непустое семейство множеств, замкнутое относительно конечных объединений и подмножеств.
• Независимость
• λ-система (система Дынкина)
• Теорема о монотонном классе
• Распределение вероятностей
• Кольцо наборов
• σ-алгебра
• σ-кольцо

Примечания

Рекомендации

• Gut, Аллан (2005). Вероятность: выпускной курс. Нью-Йорк: Спрингер. Дои:10.1007 / b138932. ISBN 0-387-22833-0.
• Дэвид Уильямс (1991). Вероятность с мартингейлами. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-40605-6.