WikiDer > Плоская волна

Plane wave

В физика, а плоская волна это частный случай волна или поле: физическая величина, значение которой в любой момент постоянно в любой плоскости, перпендикулярной фиксированному направлению в пространстве.^[1]

На любую позицию ${ displaystyle { vec {x}}}$ в космосе и в любое время ${ displaystyle t}$ , значение такого поля можно записать как

{ Displaystyle F ({ vec {x}}, t) = G ({ vec {x}} cdot { vec {n}}, t),}

где ${ displaystyle { vec {n}}}$ это вектор единичной длины, и ${ Displaystyle G (д, т)}$ это функция, которая дает значение поля только из двух настоящий параметры: время ${ displaystyle t}$ , а смещение ${ displaystyle d = { vec {x}} cdot { vec {n}}}$ по делу ${ displaystyle { vec {x}}}$ по направлению ${ displaystyle { vec {n}}}$ . Последняя постоянна в каждой плоскости, перпендикулярной к ${ displaystyle { vec {n}}}$ .

Значения поля ${ displaystyle F}$ могут быть скалярами, векторами или любой другой физической или математической величиной. Они могут быть сложные числа, как в комплексная экспоненциальная плоская волна.

Когда значения ${ displaystyle F}$ являются векторами, волна называется продольная волна если векторы всегда коллинеарны вектору ${ displaystyle { vec {n}}}$ , а поперечная волна если они всегда ортогональны (перпендикулярны) ему.

Особые типы

Бегущая плоская волна

В волновые фронты плоской волны, бегущей в 3-х местный

Часто термин «плоская волна» относится конкретно к бегущая плоская волна, эволюцию которого во времени можно описать как простой перенос поля на постоянную скорость волны ${ displaystyle c}$ в направлении, перпендикулярном волновым фронтам. Такое поле можно записать как

{ Displaystyle F ({ vec {x}}, t) = G left ({ vec {x}} cdot { vec {n}} - ct right) ,}

где ${ Displaystyle G (и)}$ теперь функция одного реального параметра ${ displaystyle u = d-ct}$ , описывающий «профиль» волны, а именно значение поля в момент времени ${ displaystyle t = 0}$ , для каждого смещения ${ displaystyle d = { vec {x}} cdot { vec {n}}}$ . В этом случае, ${ displaystyle { vec {n}}}$ называется направление распространения. Для каждого перемещения ${ displaystyle d}$ , движущаяся плоскость перпендикулярна ${ displaystyle { vec {n}}}$ на расстоянии ${ displaystyle d + ct}$ от происхождения называется "волновой фронт". Этот самолет движется по направлению распространения ${ displaystyle { vec {n}}}$ со скоростью ${ displaystyle c}$ ; и значение поля будет таким же и постоянным во времени в каждой его точке.^[2]

Синусоидальная плоская волна

Этот термин также используется, даже более конкретно, для обозначения «монохроматического» или синусоидальная плоская волна: бегущая плоская волна, профиль которой ${ Displaystyle G (и)}$ это синусоидальный функция. Это,

{ Displaystyle F ({ vec {x}}, t) = A sin left (2 pi f ({ vec {x}} cdot { vec {n}} - ct) + varphi правильно),}

Параметр ${ displaystyle A}$ , который может быть скаляром или вектором, называется амплитуда волны; скалярный коэффициент ${ displaystyle f}$ это его «пространственная частота»; и скаляр ${ displaystyle varphi}$ это его «фаза».

Настоящая плоская волна не может существовать физически, потому что она должна заполнить все пространство. Тем не менее модель плоской волны важна и широко используется в физике. Волны, излучаемые любым источником с конечной протяженностью в большую однородную область пространства, могут быть хорошо аппроксимированы плоскими волнами, если смотреть на любую часть этой области, которая достаточно мала по сравнению с ее расстоянием от источника. Так обстоит дело, например, с световые волны от далекой звезды, попадающей в телескоп.

Плоская стоячая волна

А стоячая волна - это поле, значение которого может быть выражено как произведение двух функций, одна зависит только от позиции, а другая - от времени. А плоская стоячая волна, в частности, можно выразить как

{ Displaystyle F ({ vec {x}}, t) = G ({ vec {x}} cdot { vec {n}}) , S (t)}

где ${ displaystyle G}$ является функцией одного скалярного параметра (смещение ${ displaystyle d = { vec {x}} cdot { vec {n}}}$ ) со скалярными или векторными значениями, и ${ displaystyle S}$ является скалярной функцией времени.

Это представление не уникально, поскольку те же значения полей получаются, если ${ displaystyle S}$ и ${ displaystyle G}$ масштабируются с помощью обратных факторов. Если ${ displaystyle | S (t) |}$ ограничено в интересующем временном интервале (что обычно имеет место в физическом контексте), ${ displaystyle S}$ и ${ displaystyle G}$ можно масштабировать так, чтобы максимальное значение ${ displaystyle | S (t) |}$ равно 1. Тогда ${ Displaystyle | G ({ vec {x}} cdot { vec {n}}) |}$ будет максимальной величиной поля, наблюдаемой в точке ${ displaystyle { vec {x}}}$ .

Свойства

Плоскую волну можно изучить, игнорируя направления, перпендикулярные вектору направления ${ displaystyle { vec {n}}}$ ; то есть, рассматривая функцию ${ Displaystyle G (z, t) = F (z { vec {n}}, t)}$ как волна в одномерной среде.

Любые местный оператор, линейный или нет, примененная к плоской волне дает плоскую волну. Любая линейная комбинация плоских волн с одинаковым вектором нормали ${ displaystyle { vec {n}}}$ тоже плоская волна.

Для скалярной плоской волны в двух или трех измерениях градиент поля всегда коллинеарен направлению ${ displaystyle { vec {n}}}$ ; в частности, ${ displaystyle nabla F ({ vec {x}}, t) = { vec {n}} partial _ {1} G ({ vec {x}} cdot { vec {n}}, t)}$ , где ${ displaystyle partial _ {1} G}$ является частной производной от ${ displaystyle G}$ по первому аргументу.

В расхождение векторной плоской волны зависит только от проекции вектора ${ Displaystyle G (д, т)}$ в направлении ${ displaystyle { vec {n}}}$ . В частности,