WikiDer > Точечно

Pointwise

В математика, квалификатор точечно используется, чтобы указать, что определенное свойство определяется путем рассмотрения каждого значения какой-то функции Важным классом точечных понятий являются поточечные операции, то есть операции, определенные для функций путем применения операций к значениям функций отдельно для каждой точки в домен определения. Важный связи также можно определить поточечно.

Точечные операции

Точечная сумма (верхний график, фиолетовый) и произведение (зеленый) функций грех (нижний график, синий) и пер (красный). Выделенный вертикальный слой показывает вычисление в точке Икс= 2π.

Формальное определение

Бинарная операция о: Y × YY на съемочной площадке Y можно поднять точечно на операцию О: (ИксY) × (ИксY) → (ИксY) на множестве ИксY всех функций из Икс к Y следующим образом: Учитывая две функции ж1: ИксY и ж2: ИксY, определим функцию О(ж1,ж2): ИксY к

(О(ж1,ж2))(Икс) = о(ж1(Икс),ж2(Икс)) для всех ИксИкс.

Обычно о и О обозначаются одним и тем же символом. Аналогичное определение используется для унарных операций о, а также для операций других арность.[нужна цитата]

Примеры

куда .

Смотрите также точечный продукт, и скаляр.

Пример операции над функциями, которая нет точечно свертка.

Характеристики

Точечные операции наследуют такие свойства, как ассоциативность, коммутативность и распределенность от соответствующих операций на codomain. Если есть некоторые алгебраическая структура, набор всех функций к набор носителей из можно аналогичным образом превратить в алгебраическую структуру того же типа.

Компонентные операции

Компонентные операции обычно определяются над векторами, где векторы являются элементами множества для некоторых натуральное число и немного поле . Если обозначить -я компонента любого вектора в качестве , то покомпонентное сложение .

На матрицах можно определять покомпонентные операции. Сложение матрицы, где является покомпонентной операцией, а матричное умножение не является.

А кортеж можно рассматривать как функцию, а вектор - это кортеж. Следовательно, любой вектор соответствует функции такой, что , а любая покомпонентная операция над векторами - это поточечная операция над функциями, соответствующими этим векторам.

Точечные отношения

В теория порядка поточечный частичный заказ по функциям. С А, B позы, набор функций АB можно заказать жграмм тогда и только тогда, когда (∀Икс ∈ A) ж(Икс) ≤ грамм(Икс). Точечные порядки также наследуют некоторые свойства нижележащих положений. Например, если A и B непрерывные решетки, то и набор функций АB с поточечным порядком.[1] Используя точечный порядок функций, можно кратко определить другие важные понятия, например:[2]

Пример бесконечный поточечная связь поточечная сходимость функций - а последовательность функций

с

сходится точечно к функции если для каждого в

Примечания

  1. ^ Gierz et al., Стр. xxxiii
  2. ^ Гирц и др., Стр. 26

Рекомендации

Примеры теории порядка:

  • Т. С. Блит, Решетки и упорядоченные алгебраические структуры, Springer, 2005 г., ISBN 1-85233-905-5.
  • Г. Гирц, К. Х. Хофманн, К. Кеймель, Дж. Д. Лоусон, М. Мислав, Д. С. Скотт: Непрерывные решетки и домены, Издательство Кембриджского университета, 2003.

В эту статью включены материалы из Pointwise по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.