WikiDer > Кольцо Пуассона

В математика, а Кольцо Пуассона это коммутативное кольцо на котором антикоммутативный и распределительный бинарная операция ${displaystyle [cdot, cdot]}$ удовлетворение Личность Якоби и правило продукта определено. Тогда такая операция называется Скобка Пуассона кольца Пуассона.

Многие важные операции и результаты симплектическая геометрия и Гамильтонова механика может быть сформулирована в терминах скобки Пуассона и, следовательно, применима к Алгебры Пуассона также. Это наблюдение важно при изучении классический предел из квантовая механика- некоммутативная алгебра из операторы на Гильбертово пространство имеет алгебру Пуассона функций на симплектическое многообразие как особый предел, а свойства некоммутативной алгебры переходят в соответствующие свойства алгебры Пуассона.

Определение

Скобка Пуассона должна удовлетворять тождествам

• ${displaystyle [f, g] = - [g, f]}$ (косая симметрия)
• ${displaystyle [f + g, h] = [f, h] + [g, h]}$ (распределенность)
• ${displaystyle [fg, h] = f [g, h] + [f, h] g}$ (происхождение)
• ${displaystyle [f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]] = 0}$ (Личность Якоби)

для всех ${displaystyle f, g, h}$ в ринге.

А Алгебра Пуассона кольцо Пуассона, которое также является алгебра над полем. В этом случае добавьте дополнительное требование

${displaystyle [sf, g] = s [f, g]}$

для всех скаляров s.

Для каждого грамм в кольце Пуассона А, операция ${displaystyle ad_ {g}}$ определяется как ${displaystyle ad_ {g} (f) = [f, g]}$ это происхождение. Если набор ${displaystyle {ad_ {g} | джин A}}$ генерирует множество выводов А, тогда А как говорят невырожденный.

Если невырожденное кольцо Пуассона изоморфен как коммутативное кольцо к алгебра гладких функций на коллекторе M, тогда M должен быть симплектическое многообразие и ${displaystyle [cdot, cdot]}$ скобка Пуассона, определяемая симплектическая форма.

Рекомендации

• «Если алгебра функций на многообразии является кольцом Пуассона, то многообразие симплектическое». PlanetMath.

Эта статья включает материал из Пуассоновского кольца по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.