WikiDer > Первичный коллектор

Prime manifold

В топология (математическая дисциплина) первичное многообразие является п-многообразие что не может быть выражено как нетривиальный связанная сумма из двух п-многообразия. Нетривиальный означает, что ни один из двух не является п-сфераАналогичное понятие несводимый п-многообразие, в которое любое вложенное (п - 1) -сфера ограничивает вложенную п-мяч. В этом определении подразумевается использование подходящего категория, например, категория дифференцируемые многообразия или категория кусочно-линейные многообразия.

Понятия неприводимости в алгебре и теории многообразий связаны. Неприводимое многообразие первично, хотя обратное неверно. С точки зрения алгебраиста первичные многообразия следует называть «неприводимыми»; однако тополог (в частности, тополог 3-многообразий) считает приведенное выше определение более полезным. Единственные простые, но не неприводимые компактные связные трехмерные многообразия - это тривиальная 2-сфера связка по окружности S¹ и расслоение скрученных 2-сфер над S¹.

Согласно с теорема из Хельмут Кнезер и Джон Милнор, каждые компактный, ориентируемый 3-х коллекторный это связанная сумма уникального (вплоть до гомеоморфизм) совокупность простых трехмерных многообразий.

Определения

Рассмотрим конкретно 3-х коллекторы.

Неприводимое многообразие

Трехмерное многообразие - это несводимый если любая гладкая сфера ограничивает шар. Более строго, дифференцируемый связаны 3-х коллекторный ${ displaystyle M}$ неприводимо, если каждый дифференцируемый подмногообразие ${ displaystyle S}$ гомеоморфный к сфера ограничивает подмножество ${ displaystyle D}$ (это, ${ displaystyle S = partial D}$ ), который гомеоморфен замкнутому мяч

{ displaystyle D ^ {3} = {x in mathbb {R} ^ {3} | | x | leq 1 }.}

Предположение о дифференцируемости ${ displaystyle M}$ это не важно, потому что каждое топологическое 3-многообразие имеет уникальную дифференцируемую структуру. Предположение, что сфера гладкий; плавный (то есть, что это дифференцируемое подмногообразие), однако важно: действительно, сфера должна иметь трубчатый район.

Неприводимое трехмерное многообразие называется сводимый.

Первичные многообразия

Связное 3-многообразие ${ displaystyle M}$ является премьер если его нельзя получить как связанная сумма ${ Displaystyle N_ {1} # N_ {2}}$ двух многообразий, ни одно из которых не является 3-сферой ${ Displaystyle S ^ {3}}$ (или, что то же самое, ни одно из них не гомеоморфно ${ displaystyle M}$ ).

Примеры

Евклидово пространство

Трехмерный Евклидово пространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ неприводимо: все гладкие 2-сферы в нем связаны шарами.

С другой стороны, Рогатый шар Александра негладкая сфера в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ который не связывает мяч. Таким образом, необходимо условие, что сфера должна быть гладкой.

Сфера, линзовые пространства

В 3-сфера ${ Displaystyle S ^ {3}}$ неприводимо. В пространство продукта ${ Displaystyle S ^ {2} раз S ^ {1}}$ не является неприводимым, поскольку любая 2-сфера ${ Displaystyle S ^ {2} times {pt }}$ (где 'pt' - некоторая точка ${ Displaystyle S ^ {1}}$ ) имеет связное дополнение, которое не является шаром (это произведение 2-сферы и прямой).

А пространство объектива ${ Displaystyle L (p, q)}$ с ${ displaystyle p neq 0}$ (и, следовательно, не то же самое, что ${ Displaystyle S ^ {2} раз S ^ {1}}$ ) неприводимо.

Первичные многообразия и неприводимые многообразия

Трехмерное многообразие неприводимо тогда и только тогда, когда оно первично, за исключением двух случаев: произведение ${ Displaystyle S ^ {2} раз S ^ {1}}$ и неориентируемый пучок волокон 2-сферы над окружностью ${ Displaystyle S ^ {1}}$ оба простые, но не неприводимые.

От несводимого к простому

Неприводимое многообразие ${ displaystyle M}$ простое. Действительно, если выразить ${ displaystyle M}$ как связная сумма

{ Displaystyle M = N_ {1} # N_ {2},}

тогда ${ displaystyle M}$ получается удалением шара из каждого ${ displaystyle N_ {1}}$ и из ${ displaystyle N_ {2}}$ , а затем склеиваем две получившиеся 2-сферы вместе. Эти две (теперь объединенные) 2-сферы образуют 2-сферу в ${ displaystyle M}$ . Дело в том, что ${ displaystyle M}$ неприводимо означает, что эта 2-сфера должна ограничивать шар. Отмена операции склейки либо ${ displaystyle N_ {1}}$ или ${ displaystyle N_ {2}}$ получается путем приклеивания этого шара к ранее удаленному шару на их границах. Эта операция просто дает 3-шар. Это означает, что один из двух факторов ${ displaystyle N_ {1}}$ или ${ displaystyle N_ {2}}$ на самом деле была (тривиальной) 3-сферой, и ${ displaystyle M}$ таким образом простое.

От простого к несократимому

Позволять ${ displaystyle M}$ - простое трехмерное многообразие, и пусть ${ displaystyle S}$ - вложенная в него 2-сфера. Резка на ${ displaystyle S}$ можно получить только одно многообразие ${ displaystyle N}$ или, возможно, можно получить только два многообразия ${ displaystyle M_ {1}}$ и ${ displaystyle M_ {2}}$ . В последнем случае приклеивание шаров к вновь созданным сферическим границам этих двух многообразий дает два многообразия ${ displaystyle N_ {1}}$ и ${ displaystyle N_ {2}}$ такой, что

{ displaystyle M = N_ {1} # N_ {2}.}

С ${ displaystyle M}$ простое, одно из этих двух, скажем ${ displaystyle N_ {1}}$ , является ${ Displaystyle S ^ {3}}$ . Это означает ${ displaystyle M_ {1}}$ является ${ Displaystyle S ^ {3}}$ минус мяч, и, следовательно, сам мяч. Сфера ${ displaystyle S}$ является, таким образом, границей шара, и поскольку мы рассматриваем случай, когда существует только эта возможность (созданы два многообразия), многообразие ${ displaystyle M}$ неприводимо.

Осталось рассмотреть случай, когда можно разрезать ${ displaystyle M}$ вместе ${ displaystyle S}$ и получить всего одну штуку, ${ displaystyle N}$ . В этом случае существует замкнутый простой изгиб ${ displaystyle gamma}$ в ${ displaystyle M}$ пересекающийся ${ displaystyle S}$ в одной точке. Позволять ${ displaystyle R}$ быть союзом двух трубчатые кварталы из ${ displaystyle S}$ и ${ displaystyle gamma}$ . Граница ${ displaystyle partial R}$ оказывается 2-сферой, разрезающей ${ displaystyle M}$ на две части, ${ displaystyle R}$ и дополнение ${ displaystyle R}$ . С ${ displaystyle M}$ прост и ${ displaystyle R}$ не мяч, дополнение должно быть мячом. Коллектор ${ displaystyle M}$ результат этого факта почти определен, и тщательный анализ показывает, что это либо ${ Displaystyle S ^ {2} раз S ^ {1}}$ или другой, неориентируемый, пучок волокон из ${ Displaystyle S ^ {2}}$ над ${ Displaystyle S ^ {1}}$ .

Navigation