WikiDer > Принципализация (алгебра) - Википедия

В математической области алгебраическая теория чисел, Концепция чего-либо принципиализация относится к ситуации, когда, учитывая расширение из поля алгебраических чисел, немного идеальный (или в более общем смысле дробный идеал) из кольцо целых чисел меньшего поля не главный но это расширение к кольцу целых чисел большего поля. Его изучение берет начало в работах Эрнст Куммер на идеальные числа из 1840-х годов, которые, в частности, доказали, что для каждого поля алгебраических чисел существует такое поле чисел расширения, что все идеалы кольца целых чисел основного поля (которые всегда могут быть порождены не более чем двумя элементами) становятся главными при расширении на большее поле. В 1897 г. Дэвид Гильберт предположил, что максимальный абелев неразветвленный расширение базового поля, которое позже было названо Поле классов Гильберта данного базового поля, является таким расширением. Эта гипотеза, теперь известная как теорема о главном идеале, было доказано Филипп Фуртвенглер в 1930 г. после перевода с теория чисел к теория групп к Эмиль Артин в 1929 году, воспользовавшись своим общий закон взаимности установить переформулировку. Поскольку это долгожданное доказательство было достигнуто с помощью Artin ТРАНСФЕРЫ из неабелевы группы с производная длина во-вторых, несколько исследователей попытались использовать теорию таких групп в дальнейшем, чтобы получить дополнительную информацию о принципализации в промежуточных полях между базовым полем и его полем гильбертовых классов. Первые вклады в этом направлении внесены Арнольд Шольц и Ольга Таусская в 1934 году, который придумал синоним капитуляция для принципиализации. Еще один независимый доступ к проблеме принципализации через Когомологии Галуа из группы единиц также принадлежит Гильберту и восходит к главе о циклические расширения числовых полей простых чисел степень в его номер отчета, кульминацией которого является знаменитый Теорема 94..

Расширение классов

Позволять ${ displaystyle K}$ - поле алгебраических чисел, называемое базовое поле, и разреши ${ displaystyle L / K}$ - расширение поля конечной степени. Позволять ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}, { mathcal {I}} _ {K}, { mathcal {P}} _ {K}}$ и ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}, { mathcal {I}} _ {L}, { mathcal {P}} _ {L}}$ обозначим кольцо целых чисел, группу ненулевых дробных идеалов и ее подгруппу главных дробных идеалов полей ${ displaystyle K, L}$ соответственно. Тогда карта расширения дробных идеалов

${ displaystyle { begin {cases} iota _ {L / K}: { mathcal {I}} _ {K} to { mathcal {I}} _ {L} { mathfrak {a} } mapsto { mathfrak {a}} { mathcal {O}} _ {L} end {case}}}$

является инъективным групповой гомоморфизм. С ${ displaystyle iota _ {L / K} ({ mathcal {P}} _ {K}) substeq { mathcal {P}} _ {L}}$, это отображение индуцирует гомоморфизм расширения идеальные группы классов

${ displaystyle { begin {cases} j_ {L / K}: { mathcal {I}} _ {K} / { mathcal {P}} _ {K} to { mathcal {I}} _ { L} / { mathcal {P}} _ {L} { mathfrak {a}} { mathcal {P}} _ {K} mapsto ({ mathfrak {a}} { mathcal {O} } _ {L}) { mathcal {P}} _ {L} end {case}}}$

Если существует неглавный идеал ${ displaystyle { mathfrak {a}} in { mathcal {I}} _ {K}}$ (т.е. ${ Displaystyle { mathfrak {а}} { mathcal {P}} _ {K} neq { mathcal {P}} _ {K}}$), идеал продолжения которого в ${ displaystyle L}$ является основным (т.е. ${ displaystyle { mathfrak {a}} { mathcal {O}} _ {L} = A { mathcal {O}} _ {L}}$ для некоторых ${ displaystyle A in { mathcal {O}} _ {L}}$ и ${ displaystyle ({ mathfrak {a}} { mathcal {O}} _ {L}) { mathcal {P}} _ {L} = (A { mathcal {O}} _ {L}) { mathcal {P}} _ {L} = { mathcal {P}} _ {L}}$), то мы говорим о принципиализация или же капитуляция в ${ displaystyle L / K}$. В этом случае идеальный ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$ и его класс ${ Displaystyle { mathfrak {а}} { mathcal {P}} _ {K}}$ говорят принципиализировать или же капитулировать в ${ displaystyle L}$. Это явление удобнее всего описывать ядро принципализации или же капитуляция ядра, это ядро ${ Displaystyle ker (j_ {L / K})}$ гомоморфизма расширений классов.

В общем, пусть ${ displaystyle { mathfrak {m}} = { mathfrak {m}} _ {0} { mathfrak {m}} _ { infty}}$ быть модуль в ${ displaystyle K}$, куда ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {0}}$ является ненулевым идеалом в ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$ и ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ { infty}}$ является формальным продуктом попарно различных реальные бесконечные простые числа из ${ displaystyle K}$. потом

${ Displaystyle { mathcal {S}} _ {K, { mathfrak {m}}} = langle alpha { mathcal {O}} _ {K} | alpha Equiv 1 { bmod { mathfrak {m}}} rangle leq { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}}),}$

это луч по модулю ${ displaystyle { mathfrak {m}}}$, куда ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}}) = { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}} _ {0})}$ - группа ненулевых дробных идеалов в ${ displaystyle K}$ относительно простой ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {0}}$ и условие ${ Displaystyle альфа эквив 1 { bmod { mathfrak {m}}}}$ средства ${ Displaystyle альфа эквив 1 { bmod {{ mathfrak {m}} _ {0}}}}$ и ${ Displaystyle v ( альфа)> 0}$ для каждого реального бесконечного простого числа ${ displaystyle v}$ разделение ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ { infty}.}$ Позволять ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {K, { mathfrak {m}}} leq { mathcal {H}} leq { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m }}),}$ тогда группа ${ Displaystyle { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}}) / { mathcal {H}}}$ называется обобщенная группа идеальных классов за ${ displaystyle { mathfrak {m}}.}$ Если ${ Displaystyle { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}} _ {K}) / { mathcal {H}} _ {K}}$ и ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {m}} _ {L}) / { mathcal {H}} _ {L}}$ являются обобщенными группами классов идеалов такие, что ${ displaystyle { mathfrak {a}} { mathcal {O}} _ {L} in { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {m}} _ {L})}$ для каждого ${ displaystyle { mathfrak {a}} in { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}} _ {K})}$ и ${ displaystyle { mathfrak {a}} { mathcal {O}} _ {L} in { mathcal {H}} _ {L}}$ для каждого ${ displaystyle { mathfrak {a}} in { mathcal {H}} _ {K}}$, тогда ${ displaystyle iota _ {L / K}}$ индуцирует гомоморфизм расширения обобщенных групп классов идеалов:

${ displaystyle { begin {cases} j_ {L / K}: { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {m}} _ {K}) / { mathcal {H}} _ { K} to { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {m}} _ {L}) / { mathcal {H}} _ {L} { mathfrak {a}} { mathcal {H}} _ {K} mapsto ({ mathfrak {a}} { mathcal {O}} _ {L}) { mathcal {H}} _ {L} end {case}}}$

Расширения Галуа числовых полей

Позволять ${ Displaystyle F / K}$ быть Расширение Галуа полей алгебраических чисел с Группа Галуа ${ Displaystyle G = mathrm {Gal} (F / K)}$ и разреши ${ Displaystyle mathbb {P} _ {K}, mathbb {P} _ {F}}$ обозначим множество простых идеалов полей ${ displaystyle K, F}$ соответственно. Предположим, что ${ Displaystyle { mathfrak {p}} in mathbb {P} _ {K}}$ это главный идеал из ${ displaystyle K}$ который не разделяет относительный дискриминант ${ Displaystyle { mathfrak {d}} = { mathfrak {d}} (F / K)}$, и поэтому неразветвленный в ${ displaystyle F}$, и разреши ${ Displaystyle { mathfrak {P}} in mathbb {P} _ {F}}$ быть главным идеалом ${ displaystyle F}$ лежа на ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$.

Автоморфизм Фробениуса

Существует единственный автоморфизм ${ displaystyle sigma in G}$ такой, что ${ Displaystyle A ^ { mathrm {N} ({ mathfrak {p}})} Equiv sigma (A) { bmod { mathfrak {P}}}}$ для всех алгебраических целых чисел ${ displaystyle A in { mathcal {O}} _ {F}}$, куда ${ Displaystyle mathrm {N} ({ mathfrak {p}})}$ это норма из ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$. Карта ${ textstyle left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right]: = sigma}$ называется Автоморфизм Фробениуса из ${ displaystyle { mathfrak {P}}}$. Это порождает группа разложения ${ Displaystyle D _ { mathfrak {P}} = { sigma in G | sigma ({ mathfrak {P}}) = { mathfrak {P}} }}$ из ${ displaystyle { mathfrak {P}}}$ и его порядок равен степень инерции ${ Displaystyle f: = f ({ mathfrak {P}} | { mathfrak {p}}) = [{ mathcal {O}} _ {F} / { mathfrak {P}}: { mathcal { O}} _ {K} / { mathfrak {p}}]}$ из ${ displaystyle { mathfrak {P}}}$ над ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$. (Если ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ разветвляется тогда ${ textstyle left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right]}$ только определяется и генерирует ${ Displaystyle D _ { mathfrak {P}}}$ по модулю подгруппа инерции

${ Displaystyle I _ { mathfrak {P}} = { sigma in G | sigma (A) Equiv A { bmod { mathfrak {P}}} { text {для всех}} A in { mathcal {O}} _ {F} } = ker (D _ { mathfrak {P}} to mathrm {Gal} ({ mathcal {O}} _ {F} / { mathfrak {P }} | { mathcal {O}} _ {K} / { mathfrak {p}}))}$

чей порядок индекс ветвления ${ Displaystyle е ({ mathfrak {P}} | { mathfrak {p}})}$ из ${ displaystyle { mathfrak {P}}}$ над ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$). Любой другой главный идеал ${ displaystyle F}$ разделение ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ имеет форму ${ Displaystyle тау ({ mathfrak {P}})}$ с некоторыми ${ Displaystyle тау в G}$. Его автоморфизм Фробениуса задается формулой

${ displaystyle left [{ frac {F / K} { tau ({ mathfrak {P}})}} right] = tau left [{ frac {F / K} { mathfrak {P }}} right] tau ^ {- 1},}$

поскольку

${ Displaystyle тау (A) ^ { mathrm {N} ({ mathfrak {p}})} Equiv ( tau sigma tau ^ {- 1}) ( tau (A)) { bmod { тау ({ mathfrak {P}})}}}$

для всех ${ displaystyle A in { mathcal {O}} _ {F}}$, а значит, и его группа разложения ${ Displaystyle D _ { tau ({ mathfrak {P}})} = tau D _ { mathfrak {P}} tau ^ {- 1}}$ сопряжен с ${ Displaystyle D _ { mathfrak {P}}}$. В этой общей ситуации Символ Артина это отображение

${ displaystyle { mathfrak {p}} mapsto left ({ frac {F / K} { mathfrak {p}}} right): = left. left { tau left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] tau ^ {- 1} right | tau in G right }}$

который объединяет весь класс сопряженности автоморфизмов в любой неразветвленный первичный идеал ${ Displaystyle { mathfrak {p}} nmid { mathfrak {d}}}$, и у нас есть ${ textstyle left ({ frac {F / K} { mathfrak {p}}} right) = 1}$ если и только если ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ полностью раскалывается в ${ displaystyle F}$.

Факторизация основных идеалов

Когда ${ Displaystyle К Substeq L substeq F}$ является промежуточным полем с относительной группой Галуа ${ Displaystyle H = mathrm {Gal} (F / L) leq G}$, более точные утверждения о гомоморфизмах ${ displaystyle iota _ {L / K}}$ и ${ displaystyle j_ {L / K}}$ возможны, потому что мы можем построить факторизацию ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ (куда ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ неразветвлен в ${ displaystyle F}$ как указано выше) в ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$ от его факторизации в ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {F}}$ следующее.^[1][2] Основные идеалы в ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {F}}$ лежа на ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ находятся в ${ displaystyle G}$-эквивариантный биекция с ${ displaystyle G}$-набор левых смежных классов ${ Displaystyle G / D _ { mathfrak {P}}}$, куда ${ Displaystyle тау ({ mathfrak {P}})}$ соответствует смежному классу ${ Displaystyle тау Д _ { mathfrak {P}}}$. Для каждого главного идеала ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ в ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$ лежа на ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ группа Галуа ${ displaystyle H}$ действует транзитивно на множестве простых идеалов в ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {F}}$ лежа на ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$, таким образом, такие идеалы ${ displaystyle { mathfrak {q}}}$ находятся в биекции с орбитами действия ${ displaystyle H}$ на ${ Displaystyle G / D _ { mathfrak {P}}}$ умножением слева. Такие орбиты, в свою очередь, взаимно однозначно соответствуют двойные классы ${ Displaystyle H обратная косая черта G / D _ { mathfrak {P}}}$. Позволять ${ Displaystyle ( тау _ {1}, ldots, тау _ {г})}$ - полная система представителей этих двойных смежных классов, поэтому ${ displaystyle G = { dot { cup}} _ {i = 1} ^ {g} , H tau _ {i} D _ { mathfrak {P}}}$. Кроме того, пусть ${ Displaystyle H cdot tau _ {я} D _ { mathfrak {P}}}$ обозначим орбиту смежного класса ${ Displaystyle тау _ {я} D _ { mathfrak {P}}}$ в действии ${ displaystyle H}$ на множестве левых смежных классов ${ Displaystyle G / D _ { mathfrak {P}}}$ умножением слева и пусть ${ Displaystyle Н тау _ {я} cdot D _ { mathfrak {P}}}$ обозначим орбиту смежного класса ${ displaystyle H tau _ {i}}$ в действии ${ Displaystyle D _ { mathfrak {P}}}$ на множестве правых смежных классов ${ Displaystyle H обратная косая черта G}$ умножением справа. потом ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ факторизуется в ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$ в качестве ${ textstyle { mathfrak {p}} { mathcal {O}} _ {L} = prod _ {i = 1} ^ {g} { mathfrak {q}} _ {i}}$, куда ${ displaystyle { mathfrak {q}} _ {i} in mathbb {P} _ {L}}$ за ${ Displaystyle 1 Leq я Leq g}$ простые идеалы, лежащие над ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ в ${ displaystyle L}$ удовлетворение ${ textstyle { mathfrak {q}} _ {i} { mathcal {O}} _ {F} = prod _ { varrho} varrho ({ mathfrak {P}})}$ с продуктом, работающим над любой системой представителей ${ Displaystyle H cdot tau _ {я} D _ { mathfrak {P}}}$.

У нас есть

${ displaystyle # (H cdot tau _ {i} D _ { mathfrak {P}}) cdot #D _ { mathfrak {P}} = # H tau _ {i} D _ { mathfrak {P}} = # (H tau _ {i} cdot D _ { mathfrak {P}}) cdot #H.}$

Позволять ${ displaystyle D_ {i}}$ - группа разложения ${ Displaystyle тау _ {я} ({ mathfrak {P}})}$ над ${ displaystyle L}$. потом ${ displaystyle D_ {i} = H cap D _ { tau _ {i} ({ mathfrak {P}})}}$ стабилизатор ${ Displaystyle тау _ {я} D _ { mathfrak {P}}}$ в действии ${ displaystyle H}$ на ${ Displaystyle G / D _ { mathfrak {P}}}$, так что теорема о стабилизаторе орбиты у нас есть ${ displaystyle #D_ {i} = # H / # (H cdot tau _ {i} D _ { mathfrak {P}})}$. С другой стороны, это ${ Displaystyle #D_ {я} = е ( тау _ {я} ({ mathfrak {P}}) | { mathfrak {q}} _ {я})}$, что вместе дает

${ displaystyle f ({ mathfrak {q}} _ {i} | { mathfrak {p}}) = { frac {f ( tau _ {i} ({ mathfrak {P}}) | { mathfrak {p}})} {f ( tau _ {i} ({ mathfrak {P}}) | { mathfrak {q}} _ {i})}} = { frac {f ({ mathfrak {P}} | { mathfrak {p}})} { # D_ {i}}} = { frac { #D _ { mathfrak {P}}} { # H / # (H cdot tau _ {i} D _ { mathfrak {P}})}} = { frac { # (H cdot tau _ {i} D _ { mathfrak {P}}) cdot #D _ { mathfrak {P}}} { # H}} = { frac { #H tau _ {i} D _ { mathfrak {P}}} { # H}} = # (H tau _ { i} cdot D _ { mathfrak {P}}).}$

Другими словами, степень инерции ${ displaystyle f_ {i}: = f ({ mathfrak {q}} _ {i} | { mathfrak {p}})}$ равна размеру орбиты смежного класса ${ displaystyle H tau _ {i}}$ в действии ${ textstyle left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right]}$ на множестве правых смежных классов ${ Displaystyle H обратная косая черта G}$ умножением справа. Если взять обратное, это равно размеру орбиты ${ Displaystyle D _ { mathfrak {P}} cdot tau _ {i} ^ {- 1} H}$ сословия ${ Displaystyle тау _ {я} ^ {- 1} Н}$ в действии ${ textstyle left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right]}$ на множестве левых смежных классов ${ displaystyle G / H}$ умножением слева. Также главные идеалы в ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$ лежа на ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ соответствуют орбитам этого действия.

Следовательно, идеальное вложение дается формулой ${ textstyle iota _ {L / K} ({ mathfrak {p}}) = { mathfrak {p}} { mathcal {O}} _ {L} = prod _ {i = 1} ^ { g} { mathfrak {q}} _ {i}}$, а расширение класса

${ Displaystyle j_ {L / K} ({ mathfrak {p}} { mathcal {H}} _ {K}) = ({ mathfrak {p}} { mathfrak {O}} _ {L}) { mathcal {H}} _ {L} = prod _ {i = 1} ^ {g} { mathfrak {q}} _ {i} { mathcal {H}} _ {L}.}$

Закон взаимности Артина

А теперь предположим ${ Displaystyle F / K}$ является абелево расширение, то есть, ${ displaystyle G}$ - абелева группа. Тогда все группы сопряженных разложений простых идеалов ${ displaystyle F}$ лежа на ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ совпадают, таким образом ${ Displaystyle D _ { mathfrak {p}}: = D _ { tau ({ mathfrak {P}})}}$ для каждого ${ Displaystyle тау в G}$, и символ Артина ${ textstyle left ({ frac {F / K} { mathfrak {p}}} right) = left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right]}$ становится равным автоморфизму Фробениуса любого ${ Displaystyle { mathfrak {P}} mid { mathfrak {p}}}$ и ${ textstyle A ^ { mathrm {N} ({ mathfrak {p}})} Equiv left ({ frac {F / K} { mathfrak {p}}} right) (A) { bmod { mathfrak {P}}}}$ для всех ${ displaystyle A in { mathcal {O}} _ {F}}$ и каждый ${ Displaystyle { mathfrak {P}} mid { mathfrak {p}}}$.

К теория поля классов,^[3]абелево расширение ${ Displaystyle F / K}$ однозначно соответствует промежуточной группе ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {K, { mathfrak {f}}} leq { mathcal {H}} leq { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {f }})}$ между лучом по модулю ${ displaystyle { mathfrak {f}}}$ из ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {f}})}$, куда ${ displaystyle { mathfrak {f}} = { mathfrak {f}} _ {0} { mathfrak {f}} _ { infty} = { mathfrak {f}} (F / K)}$ обозначает относительный дирижер (${ displaystyle { mathfrak {f}} _ {0}}$ делится на те же простые идеалы, что и ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$). Символ Артина

${ displaystyle { begin {cases} mathbb {P} _ {K} ({ mathfrak {f}}) to G { mathfrak {p}} mapsto left ({ frac {F / K} { mathfrak {p}}} right) end {case}}}$

который сопоставляет автоморфизм Фробениуса ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ каждому первому идеалу ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ из ${ displaystyle K}$ который неразветвлен в ${ displaystyle F}$, может быть расширен по мультипликативности до сюръективного гомоморфизма

${ displaystyle { begin {case} { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {f}}) to G { mathfrak {a}} = prod { mathfrak {p} } ^ {v _ { mathfrak {p}} ({ mathfrak {a}})} mapsto left ({ frac {F / K} { mathfrak {a}}} right): = prod слева ({ frac {F / K} { mathfrak {p}}} right) ^ {v _ { mathfrak {p}} ({ mathfrak {a}})} end {case}}}$

с ядром ${ displaystyle { mathcal {H}} = { mathcal {S}} _ {K, { mathfrak {f}}} cdot mathrm {N} _ {F / K} ({ mathcal {I} } _ {F} ({ mathfrak {f}}))}$ (куда ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {F} ({ mathfrak {f}})}$ средства ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {F} ({ mathfrak {f}} _ {0} { mathcal {O}} _ {F})}$), называется Карта Артина, что индуцирует изоморфизм

${ displaystyle { begin {cases} { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {f}}) / { mathcal {H}} to G = mathrm {Gal} (F / K ) { mathfrak {a}} { mathcal {H}} mapsto left ({ frac {F / K} { mathfrak {a}}} right) end {case}}}$

обобщенной группы классов идеалов ${ Displaystyle { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {f}}) / { mathcal {H}}}$ группе Галуа ${ displaystyle G}$. Этот явный изоморфизм называется Закон взаимности Артина или же общий закон взаимности.^[4]

Рисунок 1: Коммутативная диаграмма, соединяющая расширение класса с передачей Артина.

Теоретико-групповая постановка задачи.

Этот закон о взаимности позволил Артину перевести общая проблема принципализации для числовых полей ${ Displaystyle К Substeq L substeq F}$ основанный на следующем сценарии от теории чисел к теории групп. Позволять ${ Displaystyle F / K}$ - расширение Галуа полей алгебраических чисел с группой автоморфизмов ${ Displaystyle G = mathrm {Gal} (F / K)}$. Предположить, что ${ Displaystyle К Substeq L substeq F}$ промежуточное поле с относительной группой ${ Displaystyle H = mathrm {Gal} (F / L) leq G}$ и разреши ${ Displaystyle K '/ K, L' / L}$ - максимальное абелево подрасширение ${ displaystyle K, L}$ соответственно внутри ${ displaystyle F}$. Тогда соответствующие относительные группы суть коммутаторные подгруппы ${ Displaystyle G '= mathrm {Gal} (F / K') leq G}$, соотв. ${ Displaystyle H '= mathrm {Gal} (F / L') leq H}$. По теории полей классов существуют промежуточные группы ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {K, { mathfrak {m}} _ {K}} leq { mathcal {H}} _ {K} leq { mathcal {I}} _ { К} ({ mathfrak {d}})}$ и ${ displaystyle { mathcal {S}} _ {L, { mathfrak {m}} _ {L}} leq { mathcal {H}} _ {L} leq { mathcal {I}} _ { L} ({ mathfrak {d}})}$ такие, что отображения Артина устанавливают изоморфизмы

${ displaystyle { begin {align} & left ({ frac {K '/ K} { cdot}} right): { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {d}} ) / { mathcal {H}} _ {K} to mathrm {Gal} (K '/ K) simeq G / G' & left ({ frac {L '/ L} { cdot }} right): { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {d}}) / { mathcal {H}} _ {L} to mathrm {Gal} (L '/ L ) simeq H / H ' end {выровнено}}}$

Здесь ${ Displaystyle { mathfrak {d}} = { mathfrak {d}} (F / K), { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {d}})}$ средства ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {d}} { mathcal {O}} _ {L})}$ и ${ displaystyle { mathfrak {m}} _ {K}, { mathfrak {m}} _ {L}}$ некоторые модули делятся на ${ Displaystyle { mathfrak {f}} (K '/ K), { mathfrak {f}} (L' / L)}$ соответственно и на все простые числа, делящие ${ displaystyle { mathfrak {d}}, { mathfrak {d}} { mathcal {O}} _ {L}}$ соответственно.

Гомоморфизм идеального расширения ${ displaystyle iota _ {L / K}: , { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {d}}) to { mathcal {I}} _ {L} ({ mathfrak {d}})}$, то индуцированный перенос Артина ${ displaystyle { tilde {T}} _ {G, H}}$ и эти отображения Артина связаны формулой

${ displaystyle { tilde {T}} _ {G, H} circ left ({ frac {K '/ K} { cdot}} right) = left ({ frac {L' / L } { cdot}} right) circ iota _ {L / K}.}$

С ${ displaystyle { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {d}})}$ порождается простыми идеалами ${ displaystyle K}$ который не разделяет ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$, достаточно проверить это равенство на этих генераторах. Следовательно, предположим, что ${ Displaystyle { mathfrak {p}} in mathbb {P} _ {K}}$ это главный идеал ${ displaystyle K}$ который не разделяет ${ displaystyle { mathfrak {d}}}$ и разреши ${ Displaystyle { mathfrak {P}} in mathbb {P} _ {F}}$ быть главным идеалом ${ displaystyle F}$ лежа на ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$. С одной стороны, идеальный гомоморфизм продолжения ${ displaystyle iota _ {L / K}}$ отображает идеал ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ базового поля ${ displaystyle K}$ к идеалу расширения ${ displaystyle iota _ {L / K} ({ mathfrak {p}}) = { mathfrak {p}} { mathcal {O}} _ {L} = prod _ {i = 1} ^ { g} { mathfrak {q}} _ {i}}$ в поле ${ displaystyle L}$, и карта Артина ${ textstyle left ({ гидроразрыва {L '/ L} { cdot}} right)}$ поля ${ displaystyle L}$ отображает это произведение простых идеалов в произведение сопряженных автоморфизмов Фробениуса

${ displaystyle prod _ {я = 1} ^ {g} left ({ frac {L '/ L} {{ mathfrak {q}} _ {i}}} right) = prod _ {i = 1} ^ {g} left [{ frac {F / L} { tau _ {i} ({ mathfrak {P}})}} right] cdot H '= prod _ {i = 1} ^ {g} tau _ {i} left [{ frac {F / L} { mathfrak {P}}} right] tau _ {i} ^ {- 1} cdot H '= prod _ {i = 1} ^ {g} tau _ {i} left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] ^ {f_ {i}} tau _ {i} ^ {- 1} cdot H ',}$

где используемое двойное разложение смежных классов и его представители такие же, как в предпоследнем разделе. С другой стороны, карта Артина ${ textstyle left ({ гидроразрыва {K '/ K} { cdot}} right)}$ базового поля ${ displaystyle K}$ отображает идеал ${ Displaystyle { mathfrak {p}}}$ к автоморфизму Фробениуса ${ textstyle left ({ frac {K '/ K} { mathfrak {p}}} right) = left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] cdot G '}$. В ${ displaystyle g}$пара ${ Displaystyle ( тау _ {1} ^ {- 1}, ldots, тау _ {г} ^ {- 1})}$ это система представителей двойных классов смежности ${ Displaystyle D _ { mathfrak {P}} обратная косая черта G / H}$, которые соответствуют орбитам действия ${ textstyle left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right]}$ на множестве левых смежных классов ${ displaystyle G / H}$ левым умножением и ${ displaystyle f_ {i} = # (H tau _ {i} cdot D _ { mathfrak {P}}) = # (D _ { mathfrak {P}} cdot tau _ {i} ^ {-1} H)}$ равна размеру орбиты смежного класса ${ Displaystyle тау _ {я} ^ {- 1} Н}$ в этом действии. Следовательно, индуцированные переводные отображения Артина ${ textstyle left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] cdot G '}$ к продукту

${ Displaystyle { тильда {T}} _ {G, H} left ( left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] cdot G ' right) = T_ {G, H} left ( left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] right) = prod _ {i = 1} ^ {g} ( tau _ {i} ^ {- 1}) ^ {- 1} left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] ^ {f_ {i}} tau _ {i} ^ {-1} cdot H '= prod _ {i = 1} ^ {g} tau _ {i} left [{ frac {F / K} { mathfrak {P}}} right] ^ {f_ {i}} tau _ {i} ^ {- 1} cdot H '.}$

Это выражение произведения было исходной формой гомоморфизма переноса Артина, соответствующей разложению перестановочное представление в непересекающиеся циклы.^[5]

Поскольку ядра карт Артина ${ displaystyle left ({ tfrac {K '/ K} { cdot}} right)}$ и ${ Displaystyle left ({ tfrac {L '/ L} { cdot}} right)}$ находятся ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {K}}$ и ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {L}}$ соответственно, из предыдущей формулы следует, что ${ displaystyle iota _ {L / K} ({ mathcal {H}} _ {K}) substeq { mathcal {H}} _ {L}}$. Отсюда следует, что существует гомоморфизм расширений классов ${ displaystyle j_ {L / K}: { mathcal {I}} _ {K} ({ mathfrak {d}}) / { mathcal {H}} _ {K} to { mathcal {I} } _ {L} ({ mathfrak {d}}) / { mathcal {H}} _ {L}}$ и это ${ displaystyle j_ {L / K}}$ и индуцированный перенос Артина ${ displaystyle { tilde {T}} _ {G, H}}$ связаны коммутативной диаграммой на рис. 1 через изоморфизмы, индуцированные отображениями Артина, т. е. имеем равенство двух составных ${ displaystyle { tilde {T}} _ {G, H} circ left ({ tfrac {K '/ K} { cdot}} right) = left ({ tfrac {L' / L } { cdot}} right) circ j_ {L / K}}$.^[3][6]

Классовая полевая башня

Коммутативная диаграмма из предыдущего раздела, которая связывает теоретико-числовой гомоморфизм расширения классов ${ displaystyle j_ {L / K}}$ с теоретико-групповым переносом Артина ${ displaystyle T_ {G, H}}$, позволил Фуртвенглеру доказать теорему о главном идеале, специализируясь на ситуации, когда ${ Displaystyle L = F ^ {1} (К)}$ является (первым) полем гильбертовых классов ${ displaystyle K}$, то есть максимальное абелево неразветвленное расширение ${ displaystyle K}$, и ${ Displaystyle F = F ^ {2} (К)}$ это второе поле класса Гильберта из ${ displaystyle K}$, то есть максимальное метабелевский неразветвленное расширение ${ displaystyle K}$ (и максимальное абелево неразветвленное расширение ${ Displaystyle F ^ {1} (К)}$). потом ${ displaystyle K '= L, L' = F, { mathfrak {d}} = { mathcal {O}} _ {K}, { mathcal {H}} _ {K} = { mathcal {P }} _ {K}, { mathcal {H}} _ {L} = { mathcal {P}} _ {L}}$ и ${ Displaystyle H = G '}$ - коммутаторная подгруппа группы ${ displaystyle G}$. Точнее, Фуртвенглер показал, что в целом передача Артина ${ displaystyle T_ {G, G '}}$ из конечной метабелевой группы ${ displaystyle G}$ в производную подгруппу ${ displaystyle G '}$ - тривиальный гомоморфизм. На самом деле это правда, даже если ${ displaystyle G}$ не метабелев, потому что мы можем свести к метабелеву падеж, заменив ${ displaystyle G}$ с ${ Displaystyle G / G ''}$. Это также верно для бесконечных групп, если ${ displaystyle G}$ конечно порожден и ${ Displaystyle [G: G '] < infty}$. Отсюда следует, что каждый идеал ${ displaystyle K}$ распространяется на главный идеал ${ Displaystyle F ^ {1} (К)}$.

Однако коммутативная диаграмма содержит потенциал для множества более сложных приложений. В ситуации, когда ${ displaystyle p}$ простое число, ${ Displaystyle F = F_ {p} ^ {2} (К)}$ это второе поле p-класса Гильберта из ${ displaystyle K}$, то есть максимальное метабелево неразветвленное расширение ${ displaystyle K}$ степени степень ${ displaystyle p, L}$ варьируется в промежуточном поле между ${ displaystyle K}$ и его первый P-класс Гильберта поле ${ Displaystyle F_ {p} ^ {1} (К)}$, и ${ Displaystyle H = mathrm {Gal} (F_ {p} ^ {2} (K) / L) leq G = mathrm {Gal} (F_ {p} ^ {2} (K) / K)}$ соответственно изменяется по промежуточным группам между ${ displaystyle G}$ и ${ displaystyle G '}$, вычисление всех ядер принципализации ${ Displaystyle ker (j_ {L / K})}$ и все группы p-класса ${ Displaystyle mathrm {Cl} _ {p} (L)}$ переводится в информацию о ядрах ${ displaystyle ker (T_ {G, H})}$ и цели ${ displaystyle H / H '}$ переводов Artin ${ displaystyle T_ {G, H}}$ и позволяет точно указать вторая группа p-класса ${ Displaystyle G = mathrm {Gal} (F_ {p} ^ {2} (K) / K)}$ из ${ displaystyle K}$ через распознавание образов, а зачастую даже позволяет сделать выводы обо всем полевая башня класса p из ${ displaystyle K}$, то есть группа Галуа ${ Displaystyle mathrm {Gal} (F_ {p} ^ { infty} (K) / K)}$ максимального неразветвленного про-п расширение ${ Displaystyle F_ {p} ^ { infty} (К)}$ из ${ displaystyle K}$.

Эти идеи явно выражены уже в статье А. Шольца и О. Таусского 1934 года.^[7] На этих ранних этапах распознавание образов состояла в указании аннигиляторные идеалы, или же символические заказы, а Отношения Шрайера метабелевского п-группы, а затем используя теорему единственности о групповые расширения О. Шрайера.^[8]В настоящее время мы используем палгоритм генерации группы М. Ф. Ньюмана^[9]и Э. А. О'Брайен^[10]для строительства потомки деревьев из п-группы и шаблоны поиска, определенные ядра и мишени переводов Artin, среди вершин этих деревьев.

Когомологии Галуа

В главе о циклических расширениях числовых полей простой степени своего числового отчета 1897 г. Д. Гильберт^[2]доказывает ряд важнейших теорем, кульминацией которых является теорема 94, изначальный росток теории полей классов. Сегодня эти теоремы можно рассматривать как начало того, что сейчас называется когомологиями Галуа. Гильберт рассматривает конечное относительное расширение ${ displaystyle L / K}$ полей алгебраических чисел с циклической группой Галуа ${ Displaystyle G = mathrm {Gal} (L / K) = langle sigma rangle}$ порожденный автоморфизмом ${ displaystyle sigma}$ такой, что ${ Displaystyle sigma ^ { ell} = 1}$ для относительной степени ${ displaystyle ell = [L: K]}$, который считается нечетным простым числом.

Он исследует два эндоморфизма единичной группы ${ Displaystyle U = U_ {L}}$ поля расширения, рассматриваемого как Модуль Галуа по отношению к группе ${ displaystyle G}$, кратко ${ displaystyle G}$-модуль. Первый эндоморфизм

${ displaystyle { begin {cases} Delta: U to U E mapsto E ^ { sigma -1}: = sigma (E) / E end {cases}}}$

это символическое возведение в степень с разницей ${ displaystyle sigma -1 in mathbb {Z} [G]}$, а второй эндоморфизм

${ displaystyle { begin {cases} N: U to U E mapsto E ^ {T_ {G}}: = prod _ {i = 0} ^ { ell -1} sigma ^ {i } (E) end {case}}}$

это алгебраическая норма отображение, то есть символическое возведение в степень со следом

${ displaystyle T_ {G} = sum _ {i = 0} ^ { ell -1} sigma ^ {i} in mathbb {Z} [G].}$

Фактически, образ отображения алгебраической нормы содержится в единичной группе ${ displaystyle U_ {K}}$ базового поля и ${ Displaystyle N (E) = mathrm {N} _ {L / K} (E)}$ совпадает с обычным арифметическая (полевая) норма как продукт всех конъюгатов. Композиция эндоморфизмов удовлетворяет соотношениям ${ Displaystyle Delta circ N = 1}$ и ${ Displaystyle N circ Delta = 1}$.

Две важные группы когомологий можно определить с помощью ядер и образов этих эндоморфизмов. Нулевой Группа когомологий Тейта из ${ displaystyle G}$ в ${ displaystyle U_ {L}}$ дается частным ${ Displaystyle H ^ {0} (G, U_ {L}): = ker ( Delta) / mathrm {im} (N) = U_ {K} / mathrm {N} _ {L / K} (U_ {L})}$ состоящий из остатки нормы из ${ displaystyle U_ {K}}$, а минус первая группа когомологий Тейта ${ displaystyle G}$ в ${ displaystyle U_ {L}}$ дается частным ${ Displaystyle H ^ {- 1} (G, U_ {L}): = ker (N) / mathrm {im} ( Delta) = E_ {L / K} / U_ {L} ^ { sigma -1}}$ группы ${ Displaystyle E_ {L / K} = {E in U_ {L} | N (E) = 1 }}$ из относительные единицы из ${ displaystyle L / K}$ по модулю подгруппы символических степеней единиц с формальным показателем ${ displaystyle sigma -1}$.

В его Теорема 92. Гильберт доказывает существование относительной единицы ${ displaystyle H in E_ {L / K}}$ что не может быть выражено как ${ Displaystyle H = sigma (E) / E}$, для любого блока ${ displaystyle E in U_ {L}}$, что означает, что минус первая группа когомологий ${ displaystyle H ^ {- 1} (G, U_ {L}) = E_ {L / K} / U_ {L} ^ { sigma -1}}$ нетривиален порядка кратного ${ displaystyle ell}$. Однако с помощью совершенно аналогичной конструкции группа минус-первых когомологий ${ Displaystyle H ^ {- 1} (G, L ^ { times}) = {A in L ^ { times} | N (A) = 1 } / (L ^ { times}) ^ { sigma -1}}$ из ${ displaystyle G}$-модуль ${ Displaystyle L ^ { times} = L setminus {0 }}$, мультипликативная группа суперполя ${ displaystyle L}$, можно определить, и Гильберт показывает его тривиальность ${ displaystyle H ^ {- 1} (G, L ^ { times}) = 1}$ в его знаменитом Теорема 90..

В конце концов, Гильберт может заявить о своей знаменитой Теорема 94.: Если ${ displaystyle L / K}$ является циклическим расширением числовых полей нечетной простой степени ${ displaystyle ell}$ с тривиальным относительным дискриминантом ${ Displaystyle { mathfrak {d}} _ {L / K} = { mathcal {O}} _ {K}}$, что означает, что он неразветвлен конечные простые числа, то существует неглавный идеал ${ displaystyle { mathfrak {j}} in { mathcal {I}} _ {K} setminus { mathcal {P}} _ {K}}$ базового поля ${ displaystyle K}$ которое становится главным в поле расширения ${ displaystyle L}$, то есть ${ displaystyle { mathfrak {j}} { mathcal {O}} _ {L} = A { mathcal {O}} _ {L} in { mathcal {P}} _ {L}}$ для некоторых ${ displaystyle A in { mathcal {O}} _ {L}}$. Кроме того, ${ displaystyle ell}$-я степень этого неглавного идеала является главной в базовом поле ${ displaystyle K}$, особенно ${ Displaystyle { mathfrak {j}} ^ { ell} = mathrm {N} _ {L / K} (A) { mathcal {O}} _ {K} in { mathcal {P}} _ {K}}$, следовательно, номер класса базового поля должен делиться на ${ displaystyle ell}$ и поле расширения ${ displaystyle L}$ можно назвать поле класса из ${ displaystyle K}$. Доказательство выглядит следующим образом: теорема 92 утверждает, что существует единица ${ displaystyle H in E_ {L / K} setminus U_ {L} ^ { sigma -1}}$, то теорема 90 обеспечивает существование (обязательно неединичной) ${ displaystyle A in L ^ { times}}$ такой, что ${ displaystyle H = A ^ { sigma -1}}$, я. е., ${ Displaystyle А ^ { sigma} = А cdot H}$. Умножая ${ displaystyle A}$ правильным целым числом, если необходимо, можно считать, что ${ displaystyle A}$ является целым алгебраическим числом. Неединичный ${ displaystyle A}$ является генератором двусмысленный главный идеал ${ displaystyle L / K}$, поскольку ${ displaystyle (A { mathcal {O}} _ {L}) ^ { sigma} = A ^ { sigma} { mathcal {O}} _ {L} = A cdot H { mathcal {O }} _ {L} = A { mathcal {O}} _ {L}}$. Однако основной идеал ${ displaystyle { mathfrak {j}}: = (A { mathcal {O}} _ {L}) cap { mathcal {O}} _ {K}}$ подполя ${ displaystyle K}$ не может быть главным. Предположим противное, что ${ Displaystyle { mathfrak {j}} = beta { mathcal {O}} _ {K}}$ для некоторых ${ displaystyle beta in { mathcal {O}} _ {K}}$. С ${ displaystyle L / K}$ неразветвлен, каждый неоднозначный идеал ${ Displaystyle { mathfrak {а}}}$ из ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {L}}$ это лифт какого-то идеала в ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {K}}$, особенно ${ displaystyle { mathfrak {a}} = ({ mathfrak {a}} cap { mathcal {O}} _ {K}) { mathcal {O}} _ {L}}$. Следовательно ${ displaystyle beta { mathcal {O}} _ {L} = { mathfrak {j}} { mathcal {O}} _ {L} = A { mathcal {O}} _ {L}}$ и поэтому ${ displaystyle A = beta E}$ для какой-то единицы ${ displaystyle E in U_ {L}}$. Это означало бы противоречие ${ Displaystyle H = A ^ { sigma -1} = ( beta E) ^ { sigma -1} = E ^ { sigma -1}}$ потому что ${ displaystyle beta ^ { sigma -1} = 1}$. С другой стороны,

${ displaystyle { mathfrak {j}} ^ { ell} { mathcal {O}} _ {L} = ({ mathfrak {j}} { mathcal {O}} _ {L}) ^ { ell} = mathrm {N} _ {L / K} ({ mathfrak {j}} { mathcal {O}} _ {L}) { mathcal {O}} _ {L} = mathrm {N } _ {L / K} (A { mathcal {O}} _ {L}) { mathcal {O}} _ {L} = mathrm {N} _ {L / K} (A) { mathcal {O}} _ {L},}$