WikiDer > Проективный многогранник
В геометрия, a (глобально) проективный многогранник это мозаика из реальная проективная плоскость.[1] Это проективные аналоги сферические многогранники - мозаика сфера - и тороидальные многогранники - мозаика тороидов.
Проективные многогранники также называют эллиптическая мозаика[2] или же эллиптические мозаики, называя проективную плоскость (проективной) эллиптическая геометрия, по аналогии с сферическая черепица,[3] синоним «сферического многогранника». Однако срок эллиптическая геометрия применимо как к сферической, так и к проективной геометрии, поэтому термин несет некоторую двусмысленность для многогранников.
В качестве клеточные разложения проективной плоскости они имеют Эйлерова характеристика 1, в то время как сферические многогранники имеют эйлерову характеристику 2. Квалификатор «глобально» должен контрастировать с локально проективные многогранники, которые определенный в теории абстрактные многогранники.
Неперекрывающиеся проективные многогранники (плотность 1) соответствуют сферические многогранники (эквивалентно, выпуклые многогранники) с центральная симметрия. Это подробно описано и расширено ниже в связь со сферическими многогранниками и связь с традиционными многогранниками.
Примеры
Наиболее известными примерами проективных многогранников являются правильные проективные многогранники, частные центрально-симметричный Платоновы тела, а также два бесконечных класса четных дигедра и Hosohedra:[4]
- Hemi-cube, {4,3}/2
- Полуоктаэдр, {3,4}/2
- Полудодекаэдр, {5,3}/2
- Полуикосаэдр, {3,5}/2
- Полудигедр, {2p, 2} / 2, p> = 1
- Полусоэдр, {2,2p} / 2, p> = 1
Их можно получить, разделив соответствующий сферический многогранник на антиподальная карта (определение противоположных точек на сфере).
С другой стороны, тетраэдр не имеет центральной симметрии, поэтому нет «полутетраэдра». Видеть связь со сферическими многогранниками ниже о том, как трактуется тетраэдр.
Гемиполиэдры
Обратите внимание, что префикс «hemi-» также используется для обозначения гемиполиэдры, которые равномерные многогранники некоторые грани проходят через центр симметрии. Поскольку они не определяют сферические многогранники (потому что они проходят через центр, который не отображается в определенную точку на сфере), они не определяют проективные многогранники с помощью фактор-отображения из 3-пространства (минус начало координат) в проективное самолет.
Из этих однородных гемиполиэдров только тетрагемигексаэдр топологически является проективным многогранником, что подтверждается его Эйлерова характеристика и визуально очевидная связь с Римская поверхность. Он 2-х покрыт кубооктаэдр, и может быть реализовано как частное сферического кубооктаэдра по антиподальному отображению. Это единственный равномерный (традиционный) многогранник, который является проективным, то есть единственный равномерный проективный многогранник, который погружает в евклидовом трехмерном пространстве как единый традиционный многогранник.
Связь со сферическими многогранниками
Есть 2-к-1 карта покрытия сферы на проективную плоскость, и при этом отображении проективные многогранники соответствуют сферическим многогранникам с центральная симметрия - 2-кратное покрытие проективного многогранника - это центрально-симметричный сферический многогранник. Далее, поскольку карта покрытия это локальный гомеоморфизм (в этом случае локальная изометрия) как сферический, так и соответствующий проективный многогранник имеют одинаковые абстрактная фигура вершины.
Например, 2-кратное покрытие (проективного) полукуб - (сферический) куб. Полукуб имеет 4 вершины, 3 грани и 6 ребер, каждое из которых покрывается 2 копиями в сфере, и, соответственно, куб имеет 8 вершин, 6 граней и 12 ребер, в то время как оба этих многогранника имеют 4,4. Фигура с 4 вершинами (3 квадрата, пересекающиеся в вершине).
Далее группа симметрии (из изометрии) проективного многогранника и накрывающего сферического многогранника связаны: симметрии проективного многогранника естественным образом отождествляются с вращение симметрии сферического многогранника, в то время как полная группа симметрии сферического многогранника является произведением его группы вращения (группы симметрии проективного многогранника) и циклической группы порядка 2, {±я}. Видеть группа симметрии ниже для уточнения и других размеров.
Сферические многогранники без центральной симметрии не определяют проективный многогранник, так как изображения вершин, ребер и граней будут перекрываться. На языке мозаик изображение на проективной плоскости представляет собой мозаику степени 2, что означает, что оно покрывает проективную плоскость дважды, а не две грани в сфере, соответствующие одной грани в проективной плоскости, покрывая ее дважды, каждая грань в сфера соответствует одной грани в проективной плоскости, соответственно покрывая ее дважды.
Соответствие между проективными многогранниками и центрально-симметричными сферическими многогранниками можно продолжить до Связь Галуа включая все сферические многогранники (не обязательно центрально-симметричные), если классы расширены за счет включения мозаик степени 2 проективной плоскости, покрытия которых являются не многогранниками, а полиэдрическое соединение нецентрально-симметричного многогранника вместе с его центральным обратным (соединение двух многогранников). Это геометризует связность Галуа на уровне конечных подгрупп в O (3) и PO (3), при которых присоединение является «объединением с центральным обратным». Например, тетраэдр не является центрально-симметричным и имеет 4 вершины, 6 ребер и 4 грани, а также фигуру 3.3.3 вершины (3 треугольника, пересекающихся в каждой вершине). Его образ на проективной плоскости имеет 4 вершины, 6 ребер (которые пересекаются) и 4 грани (которые перекрываются), дважды покрывая проективную плоскость. Обложка этого звездчатый октаэдр - эквивалентно соединение двух тетраэдров - которое имеет 8 вершин, 12 ребер и 8 граней, а также вершину, показанную на рисунке 3.3.3.
Обобщения
В контексте абстрактные многогранники, вместо этого говорится о "локально проективные многогранники »- см. Абстрактный многогранник: локальная топология. Например, 11-элементный является «локально проективным многогранником», но не является глобально проективным многогранником или мозаикой. любой многообразие, поскольку оно не локально евклидово, а скорее локально проективно, как следует из названия.
Проективные многогранники могут быть определены в более высоком измерении как мозаика проективного пространства в одном измерении меньше. Определение k-мерные проективные многогранники в п-мерное проективное пространство несколько сложнее, потому что обычное определение многогранников в евклидовом пространстве требует взятия выпуклые комбинации точек, которое не является проективным понятием и редко упоминается в литературе, но было определено, например, в (Вивес и Мэйо 1991).
Группа симметрии
Группа симметрии проективного многогранника - это конечный (следовательно, дискретный)[примечание 1] подгруппа проективная ортогональная группа, PO, и, наоборот, каждая конечная подгруппа в PO является группой симметрии проективного многогранника, взяв многогранник, заданный образами многогранника фундаментальная область для группы.
Соответствующие размеры следующие: п-мерное действительное проективное пространство есть проективизация (п+1) -мерный Евклидово пространство, так что проективная ортогональная группа п-мерное проективное пространство обозначается
- PO (п+1) = P (O (п+1)) = O (п+1)/{±я}.
Если п=2k даже (так п+1 = 2k+1 нечетно), то O (2k+1) = SO (2k+1)×{±я} распадается как продукт, и поэтому [заметка 2] так что группу проективных изометрий можно отождествить с группой изометрий вращения.
Таким образом, в частности, группа симметрии проективного многогранника - это вращающийся группа симметрии покрывающего сферического многогранника; тогда полная группа симметрии сферического многогранника - это просто прямое произведение с отражение через начало координат, являющееся ядром при переходе в проективное пространство. Проективная плоскость неориентируема, поэтому нет четкого понятия «сохраняющие ориентацию изометрий проективного многогранника», что отражено в равенстве PSO (3) = PO (3).
Если п=2k + 1 нечетно, то O (п+1) = O (2k+2) не распадается как произведение, и, таким образом, группа симметрии проективного многогранника - это не просто симметрии вращения сферического многогранника, а скорее отношение 2 к 1 полной группы симметрии соответствующего сферического многогранника ( сферическая группа - это центральное расширение проективной группы). Далее, в нечетной проективной размерности (четной векторной размерности) и вместо этого является собственной (индекс 2) подгруппой, поэтому существует отдельное понятие изометрий, сохраняющих ориентацию.
Например, в п = 1 (многоугольники), симметрии a 2р-угольник - это группа диэдра Dih2р (порядка 4р), с группой вращения циклическая группа C2р, которые являются подгруппами в O (2) и SO (2) соответственно. Проективизация 2р-угольник (в круге) - это р-угольник (в проективной прямой), и соответственно фактор-группы, подгруппы в PO (2) и PSO (2) являются Dihр и Cр. Обратите внимание, что тот же коммутативный квадрат подгрупп возникает для квадрата Спиновая группа и Группа контактов - Спин (2), Булавка+(2), SO (2), O (2) - здесь идет до 2-кратного покрытия, а не до 2-кратного частного.
Наконец, решеточная теорема Существует Связь Галуа между подгруппами O (п) и подгруппы ПО (п), в частности конечных подгрупп. При этой связи группы симметрий центрально-симметричных многогранников соответствуют группам симметрий соответствующего проективного многогранника, а группы симметрий сферических многогранников без центральной симметрии соответствуют группам симметрий проективных многогранников степени 2 (мозаики, дважды покрывающие проективное пространство), покрытие которых ( соответствует присоединению связности) представляет собой соединение двух многогранников - исходного многогранника и его центрального обратного.
Эти группы симметрии следует сравнивать и противопоставлять бинарные полиэдральные группы - так же, как Пин±(п) → O (п) является покрытием 2: 1, и, следовательно, существует связь Галуа между бинарными полиэдральными группами и полиэдральными группами, O (п) → PO (п) является покрытием 2 к 1 и, следовательно, имеет аналогичную связь Галуа между подгруппами. Однако в то время как дискретные подгруппы O (п) и ПО (п) соответствуют группам симметрий сферических и проективных многогранников, геометрически соответствующим покрывающему отображению нет покрытия (за ) поскольку сфера односвязный, и, следовательно, не существует соответствующего «бинарного многогранника», для которого подгруппы Pin являются группами симметрии.
Смотрите также
Примечания
- ^ Поскольку ПО является компактный, конечные и дискретные множества идентичны - бесконечные множества имеют точка накопления.
- ^ В изоморфизм/ равенство различие в этом уравнении связано с тем, что контекст представляет собой карту отношений 2 к 1 - ПСО (2k+1) и ПО (2k+1) являются равными подмножествами цели (а именно всего пространства), следовательно, равенство, а индуцированное отображение является изоморфизмом, но эти две группы являются подмножествами различных пространств, следовательно, это изоморфизм, а не равенство.Конвей и Смит 2003, п. 34) в качестве примера проводимого различия.
Рекомендации
Сноски
- ^ Шульте, Эгон; Вайс, Азия Ивич (2006), «5 Топологическая классификация», Задачи о многогранниках, их группах и реализациях, стр. 9–13, arXiv:математика / 0608397v1, Bibcode:2006математика ...... 8397S
- ^ Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1970). Витые соты. Серия региональных конференций CBMS по математике (4). Книжный магазин AMS. п.11. ISBN 978-0-8218-1653-0.
- ^ Магнус, Вильгельм (1974), Неуклидовы мозаики и их группы, Академическая пресса, п. 65, ISBN 978-0-12-465450-1
- ^ Кокстер, Введение в геометрию, 1969, Издание второе, сек 21.3 Обычные карты, п. 386-388
Общие ссылки
- Архидиакон, Дан; Негами, Сейя (1993), «Построение самодвойственных проективных многогранников», J. Comb. Теория Б, 59 (1): 122–131, Дои:10.1006 / jctb.1993.1059, получено 2010-04-15
- Ароча, Хорхе Л .; Брачо, Хавьер; Монтехано, Луис (1 февраля 2000 г.). «Правильные проективные многогранники с плоскими гранями I» (PDF). Aequationes Mathematicae. 59 (1): 55–73. CiteSeerX 10.1.1.498.9945. Дои:10.1007 / PL00000128. Получено 2010-04-15.
- Брахо, Хавьер (01.02.2000). «Правильные проективные многогранники с плоскими гранями II». Aequationes Mathematicae. 59 (1): 160–176. Дои:10.1007 / PL00000122.
- Конвей, Джон Хортон; Смит, Дерек Алан (07.02.2003), "3.7 Проективные или эллиптические группы", О кватернионах и октонионах, A. K Peters, Ltd., стр.34, ISBN 978-1-56881-134-5
- Гильберт, Дэвид; Кон-Фоссен, С. (1999), Геометрия и воображение, Книжный магазин AMS, стр.147, ISBN 978-0-8218-1998-2
- Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (декабрь 2002 г.), "6C. Проективные регулярные многогранники", Абстрактные правильные многогранники (1-е изд.), Cambridge University Press, стр.162–165, ISBN 978-0-521-81496-6
- Вивес, Жильберто Кальвильо; Майо, Гильермо Лопес (1991). Сусана Гомес; Жан Пьер Хеннар; Ричард А. Тапиа (ред.). Достижения в области численных уравнений в частных производных и оптимизации. Пятый семинар США и Мексики. СИАМ. стр.43–49. ISBN 978-0-89871-269-8.