WikiDer > Псевдодетерминант

Pseudo-determinant

В линейная алгебра и статистика, то псевдодетерминант[1] это продукт всех ненулевых собственные значения из квадратная матрица. Совпадает с обычным детерминант когда матрица неособый.

Определение

Псевдодетерминант квадрата п-к-п матрица А можно определить как:

где |А| обозначает обычный детерминант, я обозначает единичная матрица и ранг (А) обозначает классифицировать из А.[2]

Определение псевдодетерминанта с использованием матрицы Валена

Матрица Валена конформного преобразования, Преобразование Мёбиуса (т.е. за ), определяется как . Под псевдодетерминантом матрицы Валена для конформного преобразования мы понимаем

Если , преобразование сохраняет смысл (вращение), тогда как если , преобразование сохраняет смысл (отражение).

Вычисление для положительного полуопределенного случая

Если является положительный полуопределенный, то сингулярные значения и собственные значения из совпадают. В этом случае, если разложение по сингулярным числам (СВД) доступен, то может быть вычислено как произведение ненулевых сингулярных значений. Если все сингулярные значения равны нулю, то псевдодетерминант равен 1.

Предположим , так что k - количество ненулевых сингулярных значений, мы можем написать куда есть некоторые п-к-k матрица и кинжал - комплексное сопряжение. Сингулярные значения - квадраты сингулярных значений и таким образом у нас есть , куда обычный определитель в k размеры. Далее, если записывается как столбец блока , то верно для любых высот блоков и , который .

Применение в статистике

Если статистическая процедура обычно сравнивает распределения в терминах детерминант ковариационно-дисперсионных матриц, то в случае сингулярных матриц это сравнение может быть предпринято с использованием комбинации рангов матриц и их псевдодетерминант с матрицей более высокого ранга считается "наибольшим", а псевдодетерминанты используются только в том случае, если ранги равны.[3] Таким образом, псевдодетерминанты иногда представлены в выходных данных статистических программ в тех случаях, когда ковариационные матрицы сингулярны.[4]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Минка, Т. (2001). «Вывод гауссова распределения». PDF
  2. ^ Флореску, Ионут (2014). Вероятность и случайные процессы. Вайли. п. 529.
  3. ^ Документация SAS по «Robust Distance»
  4. ^ Болинг, Джеффри К. (1997) "Программы в стиле GSLIB для дискриминантного анализа и региональной классификации", Компьютеры и науки о Земле, 23 (7), 739–761 Дои: 10.1016 / S0098-3004 (97) 00050-2