комбинаторный математика , а q -экспоненциальныйq -аналогэкспоненциальная функция , а именно собственная функция из q -производная. Есть много q -производные, например, классические q -производныйq -экспоненты не уникальны. Например, е q ( z ) {displaystyle e_ {q} (z)} q -экспоненциальной, соответствующей классической q -производный E q ( z ) {displaystyle {mathcal {E}} _ {q} (z)}
Определение
В q -экспоненциальный е q ( z ) {displaystyle e_ {q} (z)}
е q ( z ) = ∑ п = 0 ∞ z п [ п ] q ! = ∑ п = 0 ∞ z п ( 1 − q ) п ( q ; q ) п = ∑ п = 0 ∞ z п ( 1 − q ) п ( 1 − q п ) ( 1 − q п − 1 ) ⋯ ( 1 − q ) {displaystyle e_ {q} (z) = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {z ^ {n}} {[n] _ {q}!}} = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {z ^ {n} (1-q) ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} = сумма _ {n = 0} ^ {infty} z ^ {n} {frac {(1-q) ^ {n}} {(1-q ^ {n}) (1-q ^ {n-1}) cdots (1-q)}}} куда [ п ] q ! {displaystyle [n] _ {q}!} q -факториал
( q ; q ) п = ( 1 − q п ) ( 1 − q п − 1 ) ⋯ ( 1 − q ) {displaystyle (q; q) _ {n} = (1-q ^ {n}) (1-q ^ {n-1}) компакт-дисков (1-q)} это q -Почхаммер символq -аналог экспоненты следует из свойства
( d d z ) q е q ( z ) = е q ( z ) {displaystyle left ({frac {d} {dz}} ight) _ {q} e_ {q} (z) = e_ {q} (z)} где производная слева - это q -производныйq -производная от одночлен
( d d z ) q z п = z п − 1 1 − q п 1 − q = [ п ] q z п − 1 . {displaystyle left ({frac {d} {dz}} ight) _ {q} z ^ {n} = z ^ {n-1} {frac {1-q ^ {n}} {1-q}} = [n] _ {q} z ^ {n-1}.} Здесь, [ п ] q {displaystyle [n] _ {q}} q -скобкаq -экспоненциальная функция, см. Экстон (1983) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFExton1983 (помощь ) , Исмаил и Чжан (1994) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFIsmailZhang1994 (помощь ) , Суслов (2003) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFSuslov2003 (помощь ) и Чеслински (2011) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFCieslinski2011 (помощь ) .
Характеристики
Серьезно q > 1 {displaystyle q> 1} е q ( z ) {displaystyle e_ {q} (z)} вся функция из z {displaystyle z} q < 1 {displaystyle q <1} е q ( z ) {displaystyle e_ {q} (z)} | z | < 1 / ( 1 − q ) {displaystyle | z | <1 / (1-q)}
Обратите внимание на обратное, е q ( z ) е 1 / q ( − z ) = 1 {displaystyle ~ e_ {q} (z) ~ e_ {1 / q} (- z) = 1}
Формула сложения Если Икс у = q у Икс {displaystyle xy = qyx} е q ( Икс ) е q ( у ) = е q ( Икс + у ) {displaystyle e_ {q} (x) e_ {q} (y) = e_ {q} (x + y)}
связи
За − 1 < q < 1 {displaystyle -1 E q ( z ) . {displaystyle E_ {q} (z).} базовый гипергеометрический ряд ,
E q ( z ) = 1 ϕ 1 ( 0 0 ; z ) = ∑ п = 0 ∞ q ( п 2 ) ( − z ) п ( q ; q ) п = ∏ п = 0 ∞ ( 1 − q п z ) = ( z ; q ) ∞ . {displaystyle E_ {q} (z) =; _ {1} phi _ {1} left ({scriptstyle {0 attop 0}},;, zight) = sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac { q ^ {inom {n} {2}} (- z) ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} = prod _ {n = 0} ^ {infty} (1-q ^ { n} z) = (z; q) _ {infty}.} Четко,
Lim q → 1 E q ( z ( 1 − q ) ) = Lim q → 1 ∑ п = 0 ∞ q ( п 2 ) ( 1 − q ) п ( q ; q ) п ( − z ) п = е − z . {displaystyle lim _ {q o 1} E_ {q} left (z (1-q) ight) = lim _ {q o 1} sum _ {n = 0} ^ {infty} {frac {q ^ {inom { n} {2}} (1-q) ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} (- z) ^ {n} = e ^ {- z}. ~} Связь с Дилогарифмом е q ( Икс ) {displaystyle e_ {q} (x)}
е q ( Икс ) = ( ∏ k = 0 ∞ ( 1 − q k ( 1 − q ) Икс ) ) − 1 . {displaystyle e_ {q} (x) = left (prod _ {k = 0} ^ {infty} (1-q ^ {k} (1-q) x) ight) ^ {- 1}.} С другой стороны, бревно ( 1 − Икс ) = − ∑ п = 1 ∞ Икс п п {displaystyle log (1-x) = - sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {x ^ {n}} {n}}} | q | < 1 {displaystyle | q | <1}
бревно е q ( Икс ) = − ∑ k = 0 ∞ бревно ( 1 − q k ( 1 − q ) Икс ) = ∑ k = 0 ∞ ∑ п = 1 ∞ ( q k ( 1 − q ) Икс ) п п = ∑ п = 1 ∞ ( ( 1 − q ) Икс ) п ( 1 − q п ) п = 1 1 − q ∑ п = 1 ∞ ( ( 1 − q ) Икс ) п [ п ] q п . {displaystyle log e_ {q} (x) = - sum _ {k = 0} ^ {infty} log (1-q ^ {k} (1-q) x) = sum _ {k = 0} ^ {infty } sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {(q ^ {k} (1-q) x) ^ {n}} {n}} = sum _ {n = 1} ^ {infty} { гидроразрыв {((1-q) x) ^ {n}} {(1-q ^ {n}) n}} = {frac {1} {1-q}} сумма _ {n = 1} ^ {infty } {гидроразрыв {((1-q) x) ^ {n}} {[n] _ {q} n}}.} Взяв предел q → 1 {displaystyle q o 1}
Lim q → 1 ( 1 − q ) бревно е q ( Икс / ( 1 − q ) ) = L я 2 ( Икс ) , {displaystyle lim _ {q o 1} (1-q) log e_ {q} (x / (1-q)) = mathrm {Li} _ {2} (x),} куда L я 2 ( Икс ) {displaystyle mathrm {Li} _ {2} (x)} дилогарифм .
Рекомендации
Exton , Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538 Гаспер , ГРАММ. & Рахман , М. (2004), Базовая гипергеометрическая серия , Издательство Кембриджского университета, ISBN 0521833574 Исмаил , М. Э. Х. (2005), Классические и квантовые ортогональные многочлены от одной переменной , Cambridge University Press.Исмаил , М. Э. Х. и Чжан , Р. (1994), «Диагонализация некоторых интегральных операторов», Успехи в математике. 108, 1–33.Исмаил , M.E.H. Рахман , М. & Чжан , Р. (1996), Диагонализация некоторых интегральных операторов II, J. Comp. Appl. Математика. 68, 163–196.Джексон, Ф. Х. (1908), "О q-функциях и одном разностном операторе", Сделки Королевского общества Эдинбурга , 46 , 253-281. 
![e_ {q} (z) = сумма _ {{n = 0}} ^ {infty} {frac {z ^ {n}} {[n] _ {q}!}} = сумма _ {{n = 0} } ^ {infty} {frac {z ^ {n} (1-q) ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} = сумма _ {{n = 0}} ^ {infty} z ^ {n} {гидроразрыв {(1-q) ^ {n}} {(1-q ^ {n}) (1-q ^ {{n-1}}) cdots (1-q)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f224e5c169bd7d785bc27d1cb5c515c5416330d1)
![[n] _ {q}!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265dcf73f45dc7d6cff172fe6b6d0f457f1c107f)
![left ({frac {d} {dz}} ight) _ {q} z ^ {n} = z ^ {{n-1}} {frac {1-q ^ {n}} {1-q}} = [n] _ {q} z ^ {{n-1}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5454c7904c36ab46a23fd93c086675aa4f7f618)
![[n] _q](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dfd22063139d4a06ae9dfcaf79a85a2b2f751fc)
![{displaystyle log e_ {q} (x) = - sum _ {k = 0} ^ {infty} log (1-q ^ {k} (1-q) x) = sum _ {k = 0} ^ {infty } sum _ {n = 1} ^ {infty} {frac {(q ^ {k} (1-q) x) ^ {n}} {n}} = sum _ {n = 1} ^ {infty} { гидроразрыв {((1-q) x) ^ {n}} {(1-q ^ {n}) n}} = {frac {1} {1-q}} сумма _ {n = 1} ^ {infty } {гидроразрыв {((1-q) x) ^ {n}} {[n] _ {q} n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46d1c45c044490123c81aab2a12e18ea8c32c329)
