WikiDer > Квазиконформное отображение

Quasiconformal mapping

В математике комплексный анализ, а квазиконформное отображение, представлен Грётч (1928) и назван Альфорс (1935), является гомеоморфизмом между плоскими областями, который в первом порядке переводит маленькие окружности в маленькие эллипсы ограниченного эксцентриситет.

Интуитивно пусть ж : D → D'Быть ориентация-сохранение гомеоморфизм между открытые наборы в самолете. Если ж является непрерывно дифференцируемый, то это K-квазиконформно, если производная от ж в каждой точке отображает круги в эллипсы с эксцентриситетом, ограниченным K.

Определение

Предположим ж : D → D' где D и D′ - две области в C. Существует множество эквивалентных определений в зависимости от требуемой гладкости ж. Если ж предполагается, что имеет непрерывный частные производные, тогда ж квазиконформен при условии, что он удовлетворяет Уравнение Бельтрами

 

 

 

 

(1)

для некоторых комплексных Измеримый по Лебегу μ, удовлетворяющие sup | μ | <1 (Берс 1977). Это уравнение допускает геометрическую интерпретацию. Оборудовать D с метрический тензор

где Ω (z)> 0. Тогда ж удовлетворяет (1) именно тогда, когда это конформное преобразование из D с этой метрикой в ​​домен D′ Со стандартной евклидовой метрикой. Функция ж затем называется μ-конформный. В более общем смысле, непрерывная дифференцируемость ж можно заменить более слабым условием, что ж быть в Соболевское пространство W1,2(D) функций, у которых производные от распределения находятся в L2(D). В таком случае, ж требуется быть слабое решение из (1). Когда μ равен нулю почти всюду, любой гомеоморфизм в W1,2(D), которое является слабым решением (1) конформно.

Не обращаясь к вспомогательной метрике, рассмотрим влияние откат под ж обычной евклидовой метрики. Результирующая метрика определяется выражением

которая относительно фоновой евклидовой метрики , имеет собственные значения

Собственные значения представляют, соответственно, квадрат длины большой и малой оси эллипса, полученный путем растягивания назад вдоль ж единичная окружность в касательной плоскости.

Соответственно, расширение из ж в какой-то момент z определяется

Самое важное) супремум из K(z) дан кем-то

и называется дилатациейж.

Определение, основанное на понятии экстремальная длина составляет. Если есть конечное K так что для каждой коллекции Γ кривых в D экстремальная длина Γ самое большее K умноженное на экстремальную длину {ж o γ: γ ∈Γ}. потом ж является K-квазиконформный.

Если ж является K-квазиконформный для некоторого конечного K, тогда ж квазиконформен.

Несколько фактов о квазиконформных отображениях

Если K > 1, то карты Икс + иу ↦ Kx + иу и Икс + иу ↦ Икс + iKy оба квазиконформны и имеют постоянную дилатацию K.

Если s > −1, то отображение квазиконформен (здесь z является комплексным числом) и имеет постоянное расширение . Когда s 0, это пример негладкого квазиконформного гомеоморфизма. Если s = 0, это просто тождественное отображение.

Гомеоморфизм 1-квазиконформен тогда и только тогда, когда он конформен. Следовательно, тождественное отображение всегда 1-квазиконформно. Если ж : D → D' является K-квазиконформный и г : D′ → D'' является K′ -Квазиконформно, то г ож является KK′ -Квазиконформный. Обратное к K-квазиконформный гомеоморфизм K-квазиконформный. Набор 1-квазиконформных отображений образует группу по композиции.

Пространство K-квазиконформных отображений комплексной плоскости в себя, отображающих три различные точки в три заданные точки, компактно.

Теорема об измеримом римановом отображении

Центральное значение в теории квазиконформных отображений в двух измерениях имеет измеримая теорема об отображении Римана, доказано Ларсом Альфорсом и Липманом Берсом. Теорема обобщает Теорема римана отображения от конформных к квазиконформным гомеоморфизмам и формулируется следующим образом. Предположим, что D односвязная область в C это не равно C, и предположим, что μ: D → C является Измеримый по Лебегу и удовлетворяет . Тогда существует квазиконформный гомеоморфизм ж от D на единичный диск, находящийся в пространстве Соболева W1,2(D) и удовлетворяет соответствующему уравнению Бельтрами (1) в чувство распределения. Как и в случае с теоремой Римана об отображении, это ж уникален до 3-х реальных параметров.

п-мерное обобщение

Вычислительная квазиконформная геометрия

В последнее время квазиконформная геометрия привлекает внимание в различных областях, таких как прикладная математика, компьютерное зрение и медицинская визуализация. Была разработана вычислительная квазиконформная геометрия, которая расширяет квазиконформную теорию до дискретных условий. Он нашел различные важные применения в анализе медицинских изображений, компьютерном зрении и графике.

Смотрите также

использованная литература