WikiDer > Радикал алгебры Ли

в математический поле Теория лжи, то радикальный из Алгебра Ли ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ самый большой разрешимый идеальный из ${displaystyle {mathfrak {g}}.}$^[1]

Радикал, обозначаемый ${displaystyle {m {rad}} ({mathfrak {g}})}$, вписывается в точную последовательность

${displaystyle 0 o {m {rad}} ({mathfrak {g}}) o {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}} / {m {rad}} ({mathfrak {g}}) o 0}$.

куда ${displaystyle {mathfrak {g}} / {m {rad}} ({mathfrak {g}})}$ является полупростой. Когда основное поле имеет нулевую характеристику и ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ имеет конечную размерность, то Теорема Леви заявляет, что эта точная последовательность разбивается; т.е. существует (обязательно полупростая) подалгебра в ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ которое изоморфно полупростому факторному ${displaystyle {mathfrak {g}} / {m {rad}} ({mathfrak {g}})}$ через карту частных ${displaystyle {mathfrak {g}} o {mathfrak {g}} / {m {rad}} ({mathfrak {g}}).}$

Аналогичное понятие Подалгебра Бореля, которая является (не обязательно единственной) максимальной разрешимой подалгеброй.

Определение

Позволять ${displaystyle k}$ быть полем и пусть ${displaystyle {mathfrak {g}}}$ быть конечномерным Алгебра Ли над ${displaystyle k}$. Существует единственный максимальный разрешимый идеал, называемый радикальный по следующей причине.

Сначала позвольте ${displaystyle {mathfrak {a}}}$ и ${displaystyle {mathfrak {b}}}$ быть двумя разрешимыми идеалами ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. потом ${displaystyle {mathfrak {a}} + {mathfrak {b}}}$ снова идеал ${displaystyle {mathfrak {g}}}$, и она разрешима, поскольку является продолжением ${displaystyle ({mathfrak {a}} + {mathfrak {b}}) / {mathfrak {a}} simeq {mathfrak {b}} / ({mathfrak {a}} cap {mathfrak {b}})}$ к ${displaystyle {mathfrak {a}}}$. Теперь рассмотрим сумму всех разрешимых идеалов ${displaystyle {mathfrak {g}}}$. Непусто, поскольку ${displaystyle {0}}$ является разрешимым идеалом, и он является разрешимым идеалом в силу только что выведенного свойства суммы. Ясно, что это единственный максимальный разрешимый идеал.

Связанные понятия

• Алгебра Ли - это полупростой тогда и только тогда, когда его радикал ${displaystyle 0}$.
• Алгебра Ли - это редуктивный тогда и только тогда, когда его радикал равен его центру.

Смотрите также

• Разложение Леви

Рекомендации