WikiDer > Троичная квадратичная форма Рамануджана - Википедия

В математика, в теория чисел, Тернарная квадратичная форма Рамануджана является алгебраическим выражением Икс² + у² + 10z² с целыми значениями для Икс, у иz.^[1][2] Шриниваса Рамануджан рассмотрел это выражение в сноске в статье^[3] опубликовано в 1916 году и вкратце обсуждает представимость целых чисел в этой форме. Приведя необходимые и достаточные условия, что целое число не может быть представлено в виде топор² + к² + cz² для определенных конкретных значений а, б и cРамануджан заметил в сноске: «(Эти) результаты могут побудить нас предположить, что есть аналогичные простые результаты для формы топор² + к² + cz² каковы бы ни были ценности а, б и c. Однако оказывается, что в большинстве случаев таких простых результатов не бывает ".^[3] Чтобы подтвердить это наблюдение, Рамануджан обсудил форму, которая теперь называется тернарной квадратичной формой Рамануджана.

Недвижимость, обнаруженная Рамануджаном

В своей статье 1916 г.^[3] Рамануджан сделал следующие наблюдения относительно формы Икс² + у² + 10z².

• Четные числа, не имеющие формы Икс² + у² + 10z² 4 года^λ(16μ + 6).
• Нечетные числа, не имеющие вида Икс² + у² + 10z², а именно. 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, ... кажется, не подчиняются никакому простому закону.

Нечетные числа больше 391

Поставив многоточие в конец списка нечетных чисел, не представимых как Икс² + у² + 10z²Рамануджан указал, что его список неполный. Неясно, намеревался ли Рамануджан быть конечным списком или бесконечным списком. Это побудило других искать такие нечетные числа. В 1927 году Бертон У. Джонс и Гордон Полл^[2] обнаружил, что число 679 не может быть выражено в форме Икс² + у² + 10z² и они также подтвердили, что не было других таких чисел ниже 2000. Это привело к раннему предположению, что семнадцать чисел - шестнадцать чисел в списке Рамануджана и число, обнаруженное ими - были единственными нечетными числами, которые нельзя представить в виде Икс² + у² + 10z². Однако в 1941 году Х. Гупта^[4] показал, что число 2719 не может быть представлено как Икс² + у² + 10z². Он также подтвердил, что других таких чисел меньше 20000 не существует. Дальнейший прогресс в этом направлении произошел только после появления современных компьютеров. У. Голуэй написал компьютерную программу для определения нечетных целых чисел, которые нельзя выразить как Икс² + у² + 10z². Голуэй подтвердил, что всего на восемнадцать чисел меньше 2 × 10¹⁰ не представляется в форме Икс² + у² + 10z².^[1] Основываясь на расчетах Голуэя, Кен Оно и К.Сундарараджан сформулировали следующее догадка:^[1]

Нечетные положительные целые числа, не имеющие вида Икс² + у² + 10z² находятся: 3, 7, 21, 31, 33, 43, 67, 79, 87, 133, 217, 219, 223, 253, 307, 391, 679, 2719.

Некоторые известные результаты

Гипотеза Кена Оно и Соундарараджана не была полностью решена. Однако, помимо результатов, изложенных Рамануджаном, было установлено несколько более общих результатов о форме. Доказательства некоторых из них довольно просты, тогда как доказательства других содержат довольно сложные концепции и аргументы.^[1]

• Каждое целое число в форме 10п + 5 представлен тернарной квадратичной формой Рамануджана.
• Если п является нечетным целым числом, не свободным от квадратов, тогда его можно представить в виде Икс² + у² + 10z².
• Существует лишь конечное число нечетных целых чисел, которые нельзя представить в виде Икс² + у² + 10z².
• Если обобщенная гипотеза Римана верна, то гипотеза Оно и Соундарараджана также верна.
• Тернарная квадратичная форма Рамануджана не является правильной в смысле L.E. Диксон.^[5]

Рекомендации