WikiDer > Случайный компакт

В математика, а случайный компакт по сути компактный набор-значен случайная переменная. Случайные компакты полезны при изучении аттракторов для случайные динамические системы.

Определение

Позволять ${displaystyle (M, d)}$ быть полный отделяемый метрическое пространство. Позволять ${displaystyle {mathcal {K}}}$ обозначим множество всех компактных подмножеств ${displaystyle M}$. Метрика Хаусдорфа ${displaystyle h}$ на ${displaystyle {mathcal {K}}}$ определяется

${displaystyle h (K_ {1}, K_ {2}): = max left {sup _ {ain K_ {1}} inf _ {bin K_ {2}} d (a, b), sup _ {bin K_ { 2}} inf _ {ain K_ {1}} d (a, b) ight}.}$

${displaystyle ({mathcal {K}}, h)}$ также является полным сепарабельным метрическим пространством. Соответствующие открытые подмножества порождают σ-алгебра на ${displaystyle {mathcal {K}}}$, то Борелевская сигма-алгебра ${displaystyle {mathcal {B}} ({mathcal {K}})}$ из ${displaystyle {mathcal {K}}}$.

А случайный компакт это а измеримая функция ${displaystyle K}$ от а вероятностное пространство ${displaystyle (Omega, {mathcal {F}}, mathbb {P})}$ в ${displaystyle ({mathcal {K}}, {mathcal {B}} ({mathcal {K}}))}$.

Другими словами, случайный компакт - это измеримая функция ${displaystyle Kcolon Omega o 2 ^ {M}}$ такой, что ${displaystyle K (омега)}$ является почти наверняка компактный и

${displaystyle omega mapsto inf _ {bin K (omega)} d (x, b)}$

является измеримой функцией для каждого ${displaystyle xin M}$.

Обсуждение

Случайные компакты в этом смысле также являются случайные замкнутые множества как в Матерон (1975). Следовательно, при дополнительном предположении, что несущее пространство локально компактно, их распределение определяется вероятностями

${displaystyle mathbb {P} (Xcap K = emptyset)}$ за ${displaystyle Kin {mathcal {K}}.}$

(Распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения ${displaystyle mathbb {P} (Xsubset K).}$)

За ${displaystyle K = {x}}$вероятность ${displaystyle mathbb {P} (xin X)}$ получается, что удовлетворяет

${displaystyle mathbb {P} (xin X) = 1-mathbb {P} (xot в X).}$

Таким образом функция покрытия ${displaystyle p_ {X}}$ дан кем-то

${displaystyle p_ {X} (x) = mathbb {P} (xin X)}$ за ${displaystyle xin M.}$

Конечно, ${displaystyle p_ {X}}$ также может интерпретироваться как среднее значение индикаторной функции ${displaystyle mathbf {1} _ {X}}$:

${displaystyle p_ {X} (x) = mathbb {E} mathbf {1} _ {X} (x).}$

Функция покрытия принимает значения между ${displaystyle 0}$ и ${displaystyle 1}$. Набор ${displaystyle b_ {X}}$ из всех ${displaystyle xin M}$ с ${displaystyle p_ {X} (x)> 0}$ называется поддерживать из ${displaystyle X}$. Набор ${displaystyle k_ {X}}$, из всех ${displaystyle xin M}$ с ${displaystyle p_ {X} (x) = 1}$ называется ядро, набор фиксированные точки, или же необходимый минимум ${displaystyle e (X)}$. Если ${displaystyle X_ {1}, X_ {2}, ldots}$, представляет собой последовательность i.i.d. случайные компакты, то почти наверняка

${displaystyle igcap _ {i = 1} ^ {infty} X_ {i} = e (X)}$

и ${displaystyle igcap _ {i = 1} ^ {infty} X_ {i}}$ почти наверняка сходится к ${displaystyle e (X).}$

Рекомендации

• Матерон, Г. (1975) Случайные множества и интегральная геометрия. J.Wiley & Sons, Нью-Йорк.
• Молчанов, И. (2005) Теория случайных множеств. Спрингер, Нью-Йорк.
• Стоян Д., Стоян Г. (1994) Фракталы, случайные формы и точечные поля. John Wiley & Sons, Чичестер, Нью-Йорк.