WikiDer > Ранг группы

Rank of a group
О ранге без кручения см. Ранг абелевой группы; о размерности подгруппы Картана см. Ранг группы Ли.

в математический предмет чего-либо теория групп, то ранг группы грамм, обозначенный ранг (грамм), может относиться к самым маленьким мощность из создание набор для грамм, то есть

Если грамм это конечно порожденная группа, то звание грамм является целым неотрицательным числом. Понятие ранга группы является теоретико-групповым аналогом понятия размерность векторного пространства. Действительно, для п-группы, ранг группы п это размерность векторного пространства п/ Φ (п), где Φ (п) это Подгруппа Фраттини.

Ранг группы также часто определяется таким образом, чтобы гарантировать, что ранг подгрупп меньше или равен всей группе, что автоматически имеет место для размерностей векторных пространств, но не для таких групп, как аффинные группы. Чтобы различать эти разные определения, этот ранг иногда называют ранг подгруппы. Явно ранг подгруппы группы грамм - это максимум рангов его подгрупп:

Иногда ранг подгруппы ограничивается абелевыми подгруппами.

Известные факты и примеры

классифицировать(L) - 1 ≤ 2 (ранг (K) - 1) (ранг (ЧАС) − 1).
Этот результат обусловлен Ханна Нойманн.[3][4] В Гипотеза Ханны Нойман утверждает, что на самом деле у человека всегда есть ранг (L) - 1 ≤ (ранг (K) - 1) (ранг (ЧАС) - 1). В Гипотеза Ханны Нойман недавно решил Игорь Минеев[5] и объявлен независимо Джоэлем Фридманом.[6]
классифицировать(АB) = ранг (А) + ранг (B).
  • Если это группа с одним отношением такой, что р это не примитивный элемент в свободной группе F(Икс1,..., Иксп), то есть, р не принадлежит к свободной основе F(Икс1,..., Иксп), то ранг (грамм) = п.[7][8]

Проблема ранга

Алгоритмическая проблема изучается в теория групп, известный как проблема ранга. Проблема спрашивает, для определенного класса конечно представленные группы если существует алгоритм, который, учитывая конечное представление группы из класса, вычисляет ранг этой группы. Проблема ранга - одна из наиболее сложных алгоритмических проблем, изучаемых в теории групп, и о ней известно относительно мало. Известные результаты включают:

Обобщения и родственные понятия

Ранг конечно порожденная группа грамм можно эквивалентно определить как наименьшую мощность множества Икс такой, что существует на гомоморфизм F(Икс) → грамм, куда F(Икс) это свободная группа на бесплатной основе Икс. Есть двоякое понятие равняться из конечно порожденная группа грамм определяется как самый большой мощность из Икс такой, что существует на гомоморфизм граммF(Икс). В отличие от ранга, соранг всегда алгоритмически вычислим для конечно представленные группы,[14] используя алгоритм Маканина и Разборов для решения систем уравнений в свободных группах.[15][16]Понятие равного ранга связано с понятием вырезать номер за 3-х коллектор.[17]

Если п это простое число, то п-классифицировать из грамм самый большой ранг элементарный абелев п-подгруппа.[18] В секционный п-классифицировать - наибольший ранг элементарного абелева п-сечение (фактор подгруппы).

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Д. Дж. С. Робинсон. Курс теории групп, 2-е изд., Тексты для выпускников по математике 80 (Springer-Verlag, 1996). ISBN 0-387-94461-3
  2. ^ Фридхельм Вальдхаузен. Некоторые проблемы на 3-многообразиях. Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Часть 2, стр. 313–322, Proc. Симпози. Чистая математика, XXXII, амер. Математика. Soc., Providence, R.I., 1978; ISBN 0-8218-1433-8
  3. ^ Ханна Нойманн. На пересечении конечно порожденных свободных групп.Publicationes Mathematicae Debrecen, т. 4 (1956), 186–189.
  4. ^ Ханна Нойманн. На пересечении конечно порожденных свободных групп. Дополнение.Publicationes Mathematicae Debrecen, vol. 5 (1957), стр. 128
  5. ^ Игорь Миневев, «Субмультипликативность и гипотеза Ханны Нойман». Анна. матем., 175 (2012), вып. 1, 393-414.
  6. ^ "Пучки на графах и доказательство гипотезы Ханны Нойман". Math.ubc.ca. Получено 2012-06-12.
  7. ^ Вильгельм Магнус, Uber freie Faktorgruppen und freie Untergruppen Gegebener Gruppen, Monatshefte für Mathematik, vol. 47 (1939), стр. 307–313.
  8. ^ Роджер С. Линдон и Пол Э. Шупп. Комбинаторная теория групп. Springer-Verlag, New York, 2001. Серия "Классика в математике", перепечатка издания 1977 года. ISBN 978-3-540-41158-1; Предложение 5.11, с. 107
  9. ^ W. W. Boone.Проблемы решения алгебраических и логических систем в целом и рекурсивно перечислимые степени неразрешимости. 1968 Вклады в математику. Логика (Коллоквиум, Ганновер, 1966), с. 13 33 Северная Голландия, Амстердам
  10. ^ Чарльз Ф. Миллер, III. Решение задач для групп - обзор и размышления. Алгоритмы и классификация в комбинаторной теории групп (Беркли, Калифорния, 1989), стр. 1–59, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 23, Springer, New York, 1992; ISBN 0-387-97685-X
  11. ^ Джон Леннокс и Дерек Дж. С. Робинсон. Теория бесконечных разрешимых групп. Оксфордские математические монографии. Кларендон Пресс, Oxford University Press, Оксфорд, 2004. ISBN 0-19-850728-3
  12. ^ Г. Баумслаг, К. Ф. Миллер и Х. Шорт. Неразрешимые задачи о малых сокращениях и гиперболических группах слов. Бюллетень Лондонского математического общества, вып. 26 (1994), стр. 97–101.
  13. ^ Илья Капович и Рихард Вайдманн. Клейновы группы и проблема ранга. Геометрия и топология, т. 9 (2005), стр. 375–402.
  14. ^ Джон Р. Столлингс.Задачи о свободных факторах групп. Геометрическая теория групп (Колумбус, Огайо, 1992), стр. 165–182, Ohio State Univ. Математика. Res. Inst. Publ., 3, de Gruyter, Berlin, 1995. ISBN 3-11-014743-2
  15. ^ Разборов А.А.Системы уравнений в свободной группе. Известия Академии Наук СССР, Серия Математическая, т. 48 (1984), нет. 4. С. 779–832.
  16. ^ Маканин Г.С.Уравнения в свободной группе. , Известия Академии Наук СССР, Серия Математическая, т. 46 (1982), нет. 6. С. 1199–1273.
  17. ^ Шелли Л. Харви. О отрезке 3-х многообразия. Геометрия и топология, т. 6 (2002), стр. 409–424
  18. ^ Ашбахер, М. (2002), Теория конечных групп, Cambridge University Press, стр. 5, ISBN 978-0-521-78675-1