WikiDer > Реальная алгебраическая геометрия

Real algebraic geometry

В математика, действительная алгебраическая геометрия это подразделение алгебраическая геометрия учусь на реальном алгебраические множества, т.е. настоящий номер решения для алгебраические уравнения с коэффициентами действительного числа, и сопоставления между ними (в частности вещественные полиномиальные отображения).

Полуалгебраическая геометрия это изучение полуалгебраические множества, т.е. решения в виде вещественных чисел алгебраических неравенство с вещественными числовыми коэффициентами и отображениями между ними. Наиболее естественными отображениями между полуалгебраическими множествами являются полуалгебраические отображения, т.е. отображения, графики которых являются полуалгебраическими множествами.

Терминология

В настоящее время слова «полуалгебраическая геометрия» и «реальная алгебраическая геометрия» используются как синонимы, потому что реальные алгебраические множества нельзя серьезно изучать без использования полуалгебраических множеств. Например, проекция реального алгебраического множества вдоль координатной оси не обязательно должна быть реальным алгебраическим множеством, но это всегда полуалгебраическое множество: это Теорема Тарского – Зайденберга..[1][2] Связанные поля о-минимальная теория и реальная аналитическая геометрия.

Примеры: Реальные плоские кривые являются примерами вещественных алгебраических множеств и многогранники являются примерами полуалгебраических множеств. Настоящий алгебраические функции и Функции Нэша являются примерами полуалгебраических отображений. Кусочно-полиномиальные отображения (см. Гипотеза Пирса – Биркгофа) также являются полуалгебраическими отображениями.

Вычислительная вещественная алгебраическая геометрия занимается алгоритмическими аспектами реальной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. Основной алгоритм цилиндрическое алгебраическое разложение. Он используется для разрезания полуалгебраических множеств на красивые части и вычисления их проекций.

Реальная алгебра - это часть алгебры, имеющая отношение к реальной алгебраической (и полуалгебраической) геометрии. В основном это связано с изучением упорядоченные поля и заказанные кольца (особенно настоящие закрытые поля) и их приложения к изучению положительные полиномы и суммы квадратов многочленов. (Видеть 17-я проблема Гильберта и Positivestellensatz Кривиной.) Отношение действительной алгебры к действительной алгебраической геометрии аналогично отношению коммутативная алгебра к сложная алгебраическая геометрия. Связанные области - теория момент проблемы, выпуклая оптимизация, теория квадратичные формы, теория оценки и теория моделей.

Хронология реальной алгебры и реальной алгебраической геометрии

  • 1826 Алгоритм Фурье для систем линейных неравенств.[3] Открыто заново Ллойд Дайнс в 1919 г.[4] и Теодор Моцкин в 1936 г.[5]
  • 1835 Теорема Штурма на реальном корне[6]
  • 1856 Теорема Эрмита о действительном подсчете корней.[7]
  • 1876 Теорема Гарнака о кривой.[8] (Эта оценка количества компонентов позже была распространена на все Бетти числа всех вещественных алгебраических множеств[9][10][11] и все полуалгебраические множества.[12])
  • 1888 Теорема Гильберта о тройных квартиках.[13]
  • 1900 Проблемы Гильберта (особенно 16-е и 17-е проблема)
  • 1902 Лемма Фаркаша[14] (Можно переформулировать как linear positivstellensatz.)
  • 1914 Аннибале Комессатти показал, что не всякая вещественная алгебраическая поверхность бирациональна [15]
  • 1916 г. Гипотеза Фейера о неотрицательных тригонометрических полиномах.[16] (Решено Фриджес Рис.[17])
  • 1927 Эмиль Артинрешение 17-я проблема Гильберта[18]
  • Теорема Крулля – Бэра 1927 г.[19][20] (связь между заказами и оценками)
  • 1928 Теорема Полиа о положительных многочленах на симплексе[21]
  • 1929 Б. Л. ван дер Варден набрасывает доказательство того, что вещественные алгебраические и полуалгебраические множества треугольные,[22] но необходимые инструменты не были разработаны, чтобы сделать аргумент строгим.
  • 1931 Альфред Тарскийс исключение реального квантора.[23] Улучшено и популяризировано Авраам Зайденберг в 1954 г.[24] (Оба используют Теорема Штурма.)
  • 1936 Герберт Зайферт доказал, что всякое гладкое замкнутое подмногообразие в с тривиальным нормальным расслоением, может быть изотопен компоненту неособого вещественного алгебраического подмножества которое является полным пересечением[25] (из заключения этой теоремы нельзя убрать слово «компонент»[26]).
  • 1940 Маршалл СтоунТеорема о представлении частично упорядоченных колец.[27] Улучшено Ричард Кэдисон в 1951 г.[28] и Дональд Дюбуа в 1967 году[29] (Теорема Кадисона – Дюбуа о представлении). Доработан Михаем Путинаром в 1993 г.[30] и Якоби в 2001 году[31] (Теорема Путинара – Якоби).
  • 1952 Джон Нэш доказал, что всякое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособой компоненте вещественного алгебраического множества.[32]
  • 1956 Гипотеза Пирса – Биркгофа сформулированы.[33](Решено в размерах ≤ 2.[34])
  • 1964 Nullstellensatz и Positivestellensatz Кривиной.[35] Вновь открыт и популяризирован Стенглом в 1974 г.[36] (Кривин использует исключение реального квантора в то время как Стенгл использует теорему Ланга о гомоморфизме.[37])
  • 1964 Триангулированные полуаналитические множества Лоясевича[38]
  • 1964 Хейсуке Хиронака доказал разрешение теоремы об особенностях[39]
  • 1964 Хасслер Уитни доказал, что каждое аналитическое многообразие допускает стратификацию, удовлетворяющую Условия Уитни.[40]
  • 1967 Теодор Моцкин находит положительный многочлен, не являющийся сумма квадратов многочленов.[41]
  • 1973 Альберто Тоньоли доказал, что всякое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно неособому вещественному алгебраическому множеству.[42]
  • 1975 Джордж Э. Коллинз обнаруживает цилиндрическое алгебраическое разложение алгоритм, улучшающий реальный исключение квантора и позволяет реализовать на компьютере.[43]
  • 1973 Жан-Луи Вердье доказал, что каждое субаналитическое множество допускает стратификацию с условием (w).[44]
  • 1979 Мишель Кост и Мари-Франсуаза Руа обнаружить вещественный спектр коммутативного кольца.[45]
  • 1980 Олег Виро представил технику "работы с заплатами" и использовал ее для классификации реальных алгебраических кривых низкой степени.[46] Позже Илья Итенберг и Виро использовали его для создания контрпримеров Гипотеза Рэгсдейла,[47][48] и Григорий Михалкин применил это к тропическая геометрия для подсчета кривых.[49]
  • 1980 Сельман Акбулут и Генри К. Кинг дал топологическую характеристику вещественных алгебраических множеств с изолированными особенностями и топологически охарактеризовал неособые вещественные алгебраические множества (не обязательно компактные).[50]
  • 1980 Акбулут и Кинг доказали, что каждый узел в является звеном вещественного алгебраического множества с изолированной особенностью в [51]
  • 1981 Акбулут и Кинг доказали, что любое компактное PL-многообразие PL гомеоморфно вещественному алгебраическому множеству.[52][53][54]
  • 1983 Акбулут и Кинг представили «Башни топологических разрешений» как топологические модели реальных алгебраических множеств, из этого они получили новые топологические инварианты вещественных алгебраических множеств и топологически охарактеризовали все 3-мерные алгебраические множества.[55] Эти инварианты позднее обобщены Мишелем Косте и Кшиштофом Курдыкой.[56] а также Клинт МакКрори и Адам Парусинский.[57]
  • 1984 Теорема Людвига Бреккера о минимальном порождении основных открытых полуалгебраические множества[58] (улучшено и расширено до базового закрытого полуалгебраические множества пользователя Scheiderer.[59])
  • 1984 Бенедетти и Дедо доказали, что не всякое замкнутое гладкое многообразие диффеоморфно вполне алгебраическому неособому вещественному алгебраическому множеству (полностью алгебраическое означает, что все его Z / 2Z-гомологические циклы представлены вещественными алгебраическими подмножествами).[60]
  • 1991 Акбулут и Кинг доказали, что каждое замкнутое гладкое многообразие гомеоморфно вполне алгебраическому вещественному алгебраическому множеству.[61]
  • 1991 Решение Шмюдгеном многомерной проблемы моментов для компактных полуалгебраических множеств и связанных с ним строгих позитивных представлений.[62] Алгебраическое доказательство, найденное Вёрманном.[63] Подразумевает версию Резника теоремы Артина с одинаковыми знаменателями.[64]
  • 1992 Акбулут и Кинг доказали объемлющие версии теоремы Нэша-Тонноли: каждое замкнутое гладкое подмногообразие рп изотопно неособым точкам (компоненте) вещественного алгебраического подмножества рп, и они распространили этот результат на погруженные подмногообразия рп.[65][66]
  • 1992 Бенедетти и Марин доказали, что каждое компактное замкнутое гладкое трехмерное многообразие M можно получить из последовательностью вздутий и падений вдоль гладких центров, и это M гомеоморфно возможно особому аффинному вещественному алгебраическому рациональному трехмерному многообразию[67]
  • 1997 Бирстон и Мильман доказали каноническое разрешение теоремы об особенностях.[68]
  • 1997 Михалкин доказал, что всякое гладкое замкнутое n-многообразие получается из последовательностью топологических взлетов и падений[69]
  • 1998 Янош Коллар показал, что не всякое замкнутое трехмерное многообразие является проективным вещественным трехмерным многообразием, которое бирационально RP3[70]
  • 2000 Локально-глобальный принцип Шайдерера и связанное с ним нестрогое расширение positivstellensatz Шмюдгена в измерениях ≤ 2.[71][72][73]
  • 2000 Янош Коллар доказал, что всякое замкнутое гладкое 3-многообразие является вещественной частью компактного комплексного многообразия, которое можно получить из чередой настоящих взрывов и взрывов.[74]
  • 2003 Велшингер вводит инвариант для подсчета вещественных рациональных кривых.[75]
  • 2005 Акбулут и Кинг показали, что не каждое неособое вещественное алгебраическое подмножество RPп гладко изотопно вещественной части неособого комплексного алгебраического подмножества CPп[76][77]

Рекомендации

  • С. Акбулут, Х.С. Кинг, Топология вещественных алгебраических множеств, Паб ИИГС, 25. Springer-Verlag, Нью-Йорк (1992). ISBN 0-387-97744-9
  • Бочнак, Яцек; Косте, Мишель; Рой, Мари-Франсуаза. Реальная алгебраическая геометрия. Перевод с французского оригинала 1987 г. Отредактировано авторами. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты в математике и смежных областях (3)], 36. Springer-Verlag, Berlin, 1998. x + 430 pp. ISBN 3-540-64663-9
  • Басу, Саугата; Поллак, Ричард; Рой, Мари-Франсуаза Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии. Второе издание. Алгоритмы и вычисления в математике, 10. Springer-Verlag, Berlin, 2006. x + 662 с. ISBN 978-3-540-33098-1; 3-540-33098-4
  • Маршалл, Мюррей Положительные многочлены и суммы квадратов. Математические обзоры и монографии, 146. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2008. xii + 187 с. ISBN 978-0-8218-4402-1; 0-8218-4402-4

Примечания

  1. ^ ван ден Дрис, Л. (1998). Ручная топология и o-минимальные структуры. Серия лекций Лондонского математического общества. 248. Издательство Кембриджского университета. п. 31. Zbl 0953.03045.
  2. ^ Хованский, А.Г. (1991). Немногие. Переводы математических монографий. 88. Перевод с русского Смилки Здравковской. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. ISBN 0-8218-4547-0. Zbl 0728.12002.
  3. ^ Джозеф Б. Дж. Фурье, Решение единственного вопроса в конкретном вычислении. Бык. наука Soc. Филомн. Париж 99–100. OEuvres 2, 315–319.
  4. ^ Дайнс, Ллойд Л. (1919). «Системы линейных неравенств». Анналы математики. (2). 20 (3): 191–199.
  5. ^ Теодор Моцкин, Beiträge zur Theorie der linearen Ungleichungen. IV + 76 S. Diss., Базель (1936).
  6. ^ Жак Шарль Франсуа Штурм, Mémoires divers présentés par des savants étrangers 6, pp. 273–318 (1835).
  7. ^ Чарльз Эрмит, Sur le Nombre des Racines d’une Équation Algébrique Comprise Entre des Limites Données, Журнал für die reine und angewandte Mathematik, т. 52, стр. 39–51 (1856).
  8. ^ К. Г. А. Харнак Über Vieltheiligkeit der ebenen algebraischen Curven, Mathematische Annalen 10 (1876), 189–199
  9. ^ Петровский И. Г., Олейник О. А. О топологии вещественных алгебраических поверхностей // Изв. АН СССР. Сер.мат. 13, (1949). 389–402
  10. ^ Джон Милнор, О числах Бетти вещественных разновидностей, Труды Американского математического общества 15 (1964), 275–280.
  11. ^ Рене Том, Sur l’homologie des var´et´es algebriques r´eelles, в: S. S. Cairns (ed.), Differential and Combinatorial Topology, pp. 255–265, Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, 1965.
  12. ^ Басу, Саугата (1999). «Об ограничении чисел Бетти и вычислении эйлеровой характеристики полуалгебраических множеств». Дискретная и вычислительная геометрия. 22 (1): 1–18.
  13. ^ Гильберт, Дэвид (1888). «Uber die Darstellung Definiter Formen als Summe von Formenquadraten». Mathematische Annalen. 32: 342–350.
  14. ^ Фаркас, Юлий. "Über die Theorie der Einfachen Ungleichungen". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 124: 1–27.
  15. ^ Комессатти, Аннибале (1914). "Sulla connessione delle superfizie razionali reali". Annali di Math. 23 (3): 215–283.
  16. ^ Липот Фейер, ¨Убер тригонометрический полином, J. Reine Angew. Математика. 146 (1916), 53–82.
  17. ^ Фриджес Рис и Béla Szkefalvi-Nagy, Функциональный анализ, Frederick Ungar Publ. Co., Нью-Йорк, 1955 год.
  18. ^ Артин, Эмиль (1927). «Uber die Zerlegung Definiter Funktionen in Quadrate». Abh. Математика. Сем. Univ. Гамбург. 5: 85–99.
  19. ^ Крулл, Вольфганг (1932). "Allgemeine Bewertungstheorie". Журнал für die reine und angewandte Mathematik. 167: 160–196.
  20. ^ Баер, Рейнхольд (1927), "Über nicht-archimedisch geordnete Körper", Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, 8: 3–13
  21. ^ Георгий Полиа, Über Positive Darstellung von Polynomen Vierteljschr, Naturforsch. Ges. Zürich 73 (1928) 141–145, в: R.P. Boas (Ed.), Collected Papers Vol. 2, MIT Press, Cambridge, MA, 1974, стр. 309–313.
  22. ^ Б. Л. ван дер Варден, Topologische Begründung des Kalküls der abzählenden Geometrie. Математика. Анна. 102, 337–362 (1929).
  23. ^ Альфред Тарский, Метод принятия решений для элементарной алгебры и геометрии, Rand. Corp .. 1948; UC Press, Беркли, 1951, Объявлено в: Ann. Soc. Pol. Математика. 9 (1930, опубл. 1931) 206–7; и в фонде. Математика. 17 (1931) 210–239.
  24. ^ Авраам Зайденберг, Новый метод решений для элементарной алгебры, Анналы математики 60 (1954), 365–374.
  25. ^ Герберт Зайферт, Алгебраическое приближение фон Mannigfaltigkeiten, Mathematische Zeitschrift 41 (1936), 1–17
  26. ^ Сельман Акбулут и Генри К. Кинг, Подмногообразия и гомологии неособых вещественных алгебраических многообразий, Американский журнал математики, т. 107, нет. 1 (февраль 1985 г.) стр.72
  27. ^ Стоун, Маршалл (1940). «Общая теория спектров. I.». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки. 26: 280–283.
  28. ^ Кадисон, Ричард В. (1951), "Теория представлений коммутативной топологической алгебры", Мемуары Американского математического общества, 7: 39 с., МИСТЕР 0044040
  29. ^ Дюбуа, Дональд В. (1967). «Заметка о теории препримеров Дэвида Харрисона». Тихоокеанский математический журнал. 21: 15–19. МИСТЕР 0209200.
  30. ^ Михай Путин. Положительные многочлены на компактных полуалгебраических множествах. Математический журнал Университета Индианы 42 (1993), нет. 3, 969–984.
  31. ^ Т. Якоби, Теорема представления для некоторых частично упорядоченных коммутативных колец. Mathematische Zeitschrift 237 (2001), нет. 2, 259–273.
  32. ^ Нэш, Джон (1952). «Вещественные алгебраические многообразия». Анналы математики. 56: 405–421.
  33. ^ Биркофф, Гарретт; Пирс, Ричард Скотт (1956). «Решетчатые упорядоченные кольца». Anais da Academia Brasileira de Ciências. 28: 41–69.
  34. ^ Маэ, Луи (1984). "О гипотезе Пирса – Биркгофа". Журнал математики Роки-Маунтин. 14 (4): 983–985. Дои:10.1216 / RMJ-1984-14-4-983. МИСТЕР 0773148.
  35. ^ Ж.-Л. Кривино, Anneaux preordonnés, J. Analyze Math. 12 (1964), 307–326.
  36. ^ Г. Стенгл, Нулевой и позитивный в полуалгебраической геометрии. Математика. Анна. 207 (1974), 87–97.
  37. ^ Ланг С. Алгебра. Addison – Wesley Publishing Co., Inc., Рединг, Массачусетс, 1965 xvii + 508 с.
  38. ^ С. Лоясевич, Триангуляция полуаналитических множеств, Ann. Scu. Норма. ди Пиза, 18 (1964), 449–474.
  39. ^ Хейсуке Хиронака, Разрешение особенностей алгебраического многообразия над полем нулевой характеристики. Я, Анналы математики (2) 79 (1): (1964) 109–203, и часть II, стр. 205–326.
  40. ^ Хасслер Уитни, Локальные свойства аналитических многообразий, Дифференциальная и комбинаторная топология (под ред. С. Кэрнса), Princeton Univ. Press, Princeton N.J. (1965), 205–244.
  41. ^ Теодор С. Моцкин, Арифметико-геометрическое неравенство. 1967 Inequalities (Proc. Sympos. База ВВС Райт – Паттерсон, Огайо, 1965), стр. 205–224. МИСТЕР0223521.
  42. ^ Альберто Тоньоли, Su una congettura di Nash, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa 27, 167–185 (1973).
  43. ^ Джордж Э. Коллинз, "Исключение кванторов для вещественных замкнутых полей цилиндрическим алгебраическим разложением", Lect. Notes Comput. Sci. 33, 134–183, 1975 г. МИСТЕР0403962.
  44. ^ Жан-Луи Вердье, Стратификации Уитни и теории Бертини-Сарда, Inventiones Mathematicae 36, 295–312 (1976).
  45. ^ Мари-Франсуаза Кост-Рой, Мишель Кост, Топологии для реальной алгебраической геометрии. Теоретические методы топоса в геометрии, стр. 37–100, Разные опубл. Сер., 30, Орхусский университет, Орхус, 1979.
  46. ^ Олег Я. Виро, Склейка плоских вещественных алгебраических кривых и построение кривых степеней 6 и 7. В Топологии (Ленинград, 1982), том 1060, стр. Конспект лекций по математике, страницы 187–200. Спрингер, Берлин, 1984 г.
  47. ^ Виро, Олег Я. (1980). «Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотеза Рэгсдейл» [Кривые степени 7, кривые степени 8 и гипотеза Рэгсдейла]. Доклады Академии Наук СССР. 254 (6): 1306–1309. Переведено на Советская математика - Доклады. 22: 566–570. 1980. Zbl 0422.14032. Отсутствует или пусто | название = (помощь)
  48. ^ Итенберг, Илья; Михалкин, Григорий; Шустин, Евгений (2007). Тропическая алгебраическая геометрия. Обервольфахские семинары. 35. Базель: Биркхойзер. С. 34–35. ISBN 978-3-7643-8309-1. Zbl 1162.14300.
  49. ^ Михалкин, Григорий (2005). «Перечислительная тропическая алгебраическая геометрия в ". Журнал Американского математического общества. 18: 313–377.
  50. ^ Сельман Акбулут и Генри К. Кинг, Топология вещественных алгебраических множеств с изолированными особенностями. Анналы математики 113 (1981), 425–446.
  51. ^ Сельман Акбулут и Генри К. Кинг, Все узлы алгебраические, Комментарии Mathematici Helvetici 56, фас. 3 (1981), 339–351.
  52. ^ С. Акбулут, Х.С. Кинг, Вещественные алгебраические структуры на топологических пространствах,Публикации Mathématiques de l'IHÉS 53 (1981), 79–162.
  53. ^ С. Акбулут, Л. Тейлор, Теорема о топологической разрешающей способности, Публикации Mathématiques de l'IHÉS 53 (1981), 163–196.
  54. ^ С. Акбулут, Х.С. Кинг, Топология вещественных алгебраических множеств, L'Enseignement Mathématique 29 (1983), 221–261.
  55. ^ Селман Акбулут и Генри К. Кинг, Топология вещественных алгебраических множеств, Паб ИИГС, 25. Springer-Verlag, Нью-Йорк (1992). ISBN 0-387-97744-9
  56. ^ Косте, Мишель; Курдыка, Кшиштоф (1992). «О зацеплении страта в реальном алгебраическом множестве». Топология. 31 (2): 323–336. Дои:10.1016 / 0040-9383 (92) 90025-д. МИСТЕР 1167174.
  57. ^ МакКрори, Клинт; Парусинский, Адам (2007), "Алгебраически конструктивные функции: вещественная алгебра и топология", Дуговые пространства и аддитивные инварианты в вещественной алгебраической и аналитической геометрии, Panoramas et Synthèses, 24, Париж: Société mathématique de France, стр. 69–85, arXiv:математика / 0202086, МИСТЕР 2409689
  58. ^ Брекер, Людвиг (1984). "Minimale erzeugung von Positivbereichen". Geometriae Dedicata (на немецком). 16 (3): 335–350. Дои:10.1007 / bf00147875. МИСТЕР 0765338.
  59. ^ К. Шайдерер, Индекс устойчивости реальных сортов. Inventiones Mathematicae 97 (1989), нет. 3, 467–483.
  60. ^ Р. Бенедетти и М. Дедо, Контрпримеры представления классов гомологий вещественными алгебраическими подмногообразиями с точностью до гомеоморфизма, Compositio Mathematica, 53, (1984), 143–151.
  61. ^ С. Акбулут, Х.С. Кинг, Все компактные многообразия гомеоморфны вполне алгебраическим вещественным алгебраическим множествам, Комментарий. Математика. Helvetici 66 (1991) 139–149.
  62. ^ К. Шмюдген, The Kпроблема моментов для компактных полуалгебраических множеств. Математика. Анна. 289 (1991), нет. 2, 203–206.
  63. ^ Положительный полином Т. Вёрманн Страйт в семиалгебрайской геометрии, Univ. Дортмунд 1998.
  64. ^ Б. Резник, Равномерные знаменатели в семнадцатой проблеме Гильберта. Математика. Z.220 (1995), нет. 1, 75–97.
  65. ^ С. Акбулут, Х.С. Кинг Об аппроксимации подмногообразий алгебраическими множествами и решении гипотезы Нэша, Inventiones Mathematicae 107 (1992), 87–98
  66. ^ С. Акбулут, Х.С. Кинг, Алгебраичность погружений, Топология, т. 31, нет. 4, (1992), 701–712.
  67. ^ Р. Бенедетти и А. Марин, Déchirures de Variétés de Dimension Trois ...., Comm. Математика. Helv. 67 (1992), 514–545.
  68. ^ Э. Бирстон, П.Д. Мильман, Каноническая десингуляризация в нулевой характеристике путем раздувания максимальных слоев локального инварианта. Inventiones Mathematicae 128 (2) (1997) 207–302.
  69. ^ Михалкин Г. Раздутие эквивалентности гладких замкнутых многообразий. Топология, 36 (1997) 287–299
  70. ^ Янош Коллар, Гипотеза Нэша для трехмерных алгебраических многообразий, ERA of AMS 4 (1998) 63–73
  71. ^ К. Шайдерер, Суммы квадратов регулярных функций на вещественных алгебраических многообразиях. Труды Американского математического общества 352 (2000), нет. 3, 1039–1069.
  72. ^ К. Шайдерер, Суммы квадратов на вещественных алгебраических кривых, Mathematische Zeitschrift 245 (2003), нет. 4, 725–760.
  73. ^ C. Шайдерер, Суммы квадратов на вещественных алгебраических поверхностях. Manuscripta Mathematica 119 (2006), вып. 4, 395–410.
  74. ^ Янош Коллар, Гипотеза Нэша для непроективных трехмерных многообразий, arXiv: math / 0009108v1
  75. ^ Ж.-Й. Вельшингер, Инварианты вещественных рациональных симплектических 4-многообразий и оценки снизу в вещественной перечислительной геометрии, Inventiones Mathematicae 162 (2005), нет. 1, 195–234. Zbl 1082.14052
  76. ^ С. Акбулут, Х.С. Кинг, Трансцендентные подмногообразия RPп Comm. Математика. Helv., 80, (2005), 427–432
  77. ^ С. Акбулут, Вещественные алгебраические структуры, Труды GGT, (2005) 49–58, arXiv: math / 0601105v3.

внешняя ссылка