WikiDer > Тетраэдр Рива
В геометрия, то Тетраэдр Рива это многогранник, в трехмерное пространство с вершинами в (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (1, 1, р) куда р положительное целое число. Он назван в честь Джон Рив, который использовал его, чтобы показать, что многомерные обобщения Теорема Пика не существует.
Контрпример к обобщениям теоремы Пика
Каждая вершина тетраэдра Рива лежит на фундаментальном точка решетки (точка в ℤ3). Никакие другие фундаментальные точки решетки не лежат на поверхности или внутри тетраэдр. В объем тетраэдра Рива р/6. В 1957 году Рив использовал этот тетраэдр, чтобы показать, что существуют тетраэдры с четырьмя точками решетки в качестве вершин и не содержащие других точек решетки, но со сколь угодно большим объемом.[1]
В двух измерениях площадь каждого многогранника с вершинами решетки определяется как формула количества точек решетки в его вершинах, на границе и внутри, согласно Теорема Пика. Тетраэдры Рива подразумевают, что не может быть соответствующей формулы для объема в трех или более измерениях. Любая такая формула не смогла бы различить тетраэдры Рива с различным выбором р друг от друга, но их объемы отличаются друг от друга.[1]
Несмотря на этот отрицательный результат, можно (как показал Рив) разработать более сложную формулу для объема многогранника решетки, которая сочетает в себе число узлов решетки в многограннике, число узлов более тонкой решетки в многограннике и Эйлерова характеристика многогранника.[1][2]
Многочлен Эрхарта
В Многочлен Эрхарта любого решетчатого многогранника подсчитывает количество узлов решетки, которые он содержит, при увеличении в целочисленном масштабе. Полином Эрхарта тетраэдра Рива Тр высоты р является[3]
Таким образом, для р ≥ 13, коэффициент т в полиноме Эрхарта от Тр отрицательный. Этот пример показывает, что полиномы Эрхарта иногда могут иметь отрицательные коэффициенты.[3]
Рекомендации
- ^ а б c Рив, Дж. Э. (1957). «Об объеме решетчатых многогранников». Труды Лондонского математического общества. Третья серия. 7: 378–395. Дои:10.1112 / плмс / с3-7.1.378. МИСТЕР 0095452.
- ^ Колодзейчик, Кшиштоф (1996). «Нечетная формула для объема трехмерных решетчатых многогранников». Geometriae Dedicata. 61 (3): 271–278. Дои:10.1007 / BF00150027. МИСТЕР 1397808.
- ^ а б Бек, Матиас; Робинс, Синай (2015). Вычисление непрерывных дискретных чисел: перечисление целых точек в многогранниках. Тексты для бакалавриата по математике (второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 78–79, 82. Дои:10.1007/978-1-4939-2969-6. ISBN 978-1-4939-2968-9. МИСТЕР 3410115.