WikiDer > Рефлексивная операторная алгебра

В функциональный анализ, а рефлексивный операторная алгебра А это операторная алгебра, в которой достаточно инвариантные подпространства чтобы охарактеризовать это. Формально, А рефлексивно, если оно равно алгебре ограниченные операторы которые оставляют инвариантный каждый подпространство остается инвариантным для каждого оператора в А.

Это не следует путать с рефлексивное пространство.

Примеры

Гнездовые алгебры являются примерами рефлексивных операторных алгебр. В конечных размерах это просто алгебры всех матриц заданного размера, ненулевые элементы которых лежат в верхней треугольной структуре.

Фактически, если мы исправим какой-либо шаблон записей в п к п матрица, содержащая диагональ, то множество всех п к п матрицы, ненулевые элементы которых лежат в этом образце, образуют рефлексивную алгебру.

Пример алгебры, которая нет рефлексивным является набор матриц 2 на 2

${ displaystyle left {{ begin {pmatrix} a & b 0 & a end {pmatrix}} : a, b in mathbb {C} right }.}$

Эта алгебра меньше алгебры Неста

${ displaystyle left {{ begin {pmatrix} a & b 0 & c end {pmatrix}} : a, b, c in mathbb {C} right }}$

но имеет те же инвариантные подпространства, поэтому он не рефлексивен.

Если Т фиксированный п к п матрица, то набор всех многочленов от Т а единичный оператор образует унитальную операторную алгебру. Теорема Дедденса и Филлмора утверждает, что эта алгебра рефлексивна тогда и только тогда, когда два наибольших блока в Нормальная форма Джордана из Т различаются по размеру не более чем на один. Например, алгебра

${ displaystyle left {{ begin {pmatrix} a & b & 0 0 & a & 0 0 & 0 & a end {pmatrix}} : a, b in mathbb {C} right }}$

который равен множеству всех многочленов от

${ displaystyle T = { begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 end {pmatrix}}}$

и идентичность рефлексивна.

Гиперрефлексивность

Позволять ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ - слабая * -замкнутая операторная алгебра, содержащаяся в B (H), множество всех ограниченных операторов на Гильбертово пространство ЧАС и для Т любой оператор в B (H), позволять

${ displaystyle beta (T, { mathcal {A}}) = sup { | P ^ { perp} TP | : P { mbox {- это проекция, а}} P ^ { perp} { mathcal {A}} P = (0) }}$.

Заметьте, что п является проекцией, входящей в этот супремум именно тогда, когда диапазон п инвариантное подпространство ${ displaystyle { mathcal {A}}}$.

Алгебра ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ рефлексивно тогда и только тогда, когда для каждого Т в B (H):

${ displaystyle beta (T, { mathcal {A}}) = 0 { mbox {означает, что}} T { mbox {находится в}} { mathcal {A}}}$.

Отметим, что для любого Т в B (H) выполняется следующее неравенство:

${ Displaystyle бета (Т, { mathcal {A}}) leq { mbox {dist}} (T, { mathcal {A}})}$.

Здесь ${ displaystyle { mbox {dist}} (T, { mathcal {A}})}$ это расстояние Т из алгебры, а именно наименьшую норму оператора Т-А где A пробегает алгебру. Мы называем ${ displaystyle { mathcal {A}}}$ гиперрефлексивный если есть постоянная K так что для каждого оператора Т в B (H),

${ displaystyle { mbox {dist}} (T, { mathcal {A}}) leq K beta (T, { mathcal {A}})}$.

Самый маленький такой K называется постоянная расстояния за ${ displaystyle { mathcal {A}}}$. Гиперрефлексивная операторная алгебра автоматически рефлексивна.

В случае рефлексивной алгебры матриц с ненулевыми элементами, заданными данным шаблоном, проблема нахождения константы расстояния может быть перефразирована как проблема заполнения матрицы: если мы заполняем элементы в дополнении шаблона произвольными элементами, какой выбор записей в шаблоне дает наименьшую операторную норму?

Примеры

• Всякая конечномерная рефлексивная алгебра гиперрефлексивна. Однако есть примеры бесконечномерных рефлексивных операторных алгебр, которые не являются гиперрефлексивными.
• Константа расстояния для одномерной алгебры равна 1.
• Алгебры гнезд гиперрефлексивны с константой расстояния 1.
• Много алгебры фон Неймана гиперрефлексивны, но неизвестно, все ли они таковы.
• А алгебра фон Неймана типа I гиперрефлексивен с постоянным расстоянием не более 2.

Смотрите также

• Инвариантное подпространство
• решетка подпространств
• рефлексивная решетка подпространств
• алгебра гнезда

Рекомендации

• Уильям Арвесон, Десять лекций по операторным алгебрам, ISBN 0-8218-0705-6
• Х. Раджави и П. Розенталь, Инвариантные подпространства, ISBN 0-486-42822-2