WikiDer > Поле остатков

В математика, то поле вычетов это базовая конструкция в коммутативная алгебра. Если р это коммутативное кольцо и м это максимальный идеал, то поле вычетов - это кольцо частного k = р/м, который является поле.^[1] Часто, р это местное кольцо и м тогда является его единственным максимальным идеалом.

Эта конструкция применяется в алгебраическая геометрия, где в каждую точку Икс из схема Икс один связывает его поле вычетов k(Икс).^[2] Немного свободно можно сказать, что поле вычетов точки абстрактного алгебраическое многообразие - «естественная область» для координат точки.^{[требуется разъяснение]}

Определение

Предположим, что р коммутативный местное кольцо, с максимальным идеалом м. Тогда поле вычетов фактор-кольцо р/м.

Теперь предположим, что Икс это схема и Икс это точка Икс. По определению схемы мы можем найти аффинную окрестность U = Спецификация (А), с участием А немного коммутативное кольцо. Считается по соседству U, смысл Икс соответствует главный идеал п ⊂ А (увидеть Топология Зарисского). В местное кольцо из Икс в Икс по определению локализация р = А_п, с максимальным идеалом м = p · A_п. Применяя приведенную выше конструкцию, получаем поле вычетов точки Икс:

k(Икс) := А_п / п·А_п.

Можно доказать, что это определение не зависит от выбора аффинной окрестности U.^[3]

Точка называется K-рациональный для определенного поля K, если k(Икс) = K.^[4]

пример

Рассмотрим аффинная линия А¹(k) = Спец (k[т]) через поле k. Если k является алгебраически замкнутый, существует ровно два типа простых идеалов, а именно

• (т − а), а ∈ k
• (0), нулевой идеал.

Поля вычетов

• ${Displaystyle к [т] _ {(т-а)} / (т-а) к [т] _ {(т-а)} конг к}$
• ${displaystyle k [t] _ {(0)} cong k (t)}$, поле функции над k в одной переменной.

Если k не является алгебраически замкнутым, то возникает больше типов, например, если k = р, то простой идеал (Икс² + 1) имеет поле вычетов, изоморфное C.

Свойства

• Для схемы локально конечный тип над полем k, точка Икс закрыто тогда и только тогда, когда k(Икс) является конечным расширением базового поля k. Это геометрическая формулировка Nullstellensatz Гильберта. В приведенном выше примере точки первого рода замкнуты, имея поле вычетов k, а вторая точка - это общая точка, имея степень трансцендентности 1 больше k.
• Морфизм Spec (K) → Икс, K какое-то поле эквивалентно заданию точки Икс ∈ Икс и расширение K/k(Икс).
• В измерение схемы конечного типа над полем равна степени трансцендентности поля вычетов общей точки.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Г-Н 0463157, раздел II.2