WikiDer > Ограниченное частичное частное - Википедия

В математикаи, в частности, в аналитической теории регулярные непрерывные дроби, бесконечная правильная цепная дробь Икс как говорят ограниченный, или состоящий из ограниченные частные частные, если последовательность знаменателей его частных частных ограничена; то есть

${ displaystyle x = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, dots] = a_ {0} + { cfrac {1} {a_ {1} + { cfrac {1} {a_ {2} + { cfrac {1} {a_ {3} + { cfrac {1} {a_ {4} + ddots}}}}}}}} = a_ {0} + { underset {i = 1} { overset { infty} {K}}} { frac {1} {a_ {i}}}, ,}$

и есть некоторое положительное целое число M такие, что все (целые) частные знаменатели а_я меньше или равны M.^[1][2]

Периодические непрерывные дроби

Обычный периодическая цепная дробь состоит из конечного начального блока частичных знаменателей, за которым следует повторяющийся блок; если

${ displaystyle zeta = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, dots, a_ {k}, { overline {a_ {k + 1}, a_ {k + 2}, dots , a_ {k + m}}}], ,}$

тогда ζ является квадратичный иррациональный число, а его представление в виде правильной цепной дроби является периодическим. Ясно, что любая регулярная периодическая непрерывная дробь состоит из ограниченных частных частных, поскольку ни один из частных знаменателей не может быть больше наибольшего из а₀ через а_k+м. Исторически сложилось так, что математики изучали периодические непрерывные дроби, прежде чем рассматривать более общую концепцию ограниченных частных частных.

Ограниченные CF и множество Кантора

В Кантор набор это набор C из измерять ноль из которых полный интервал вещественных чисел можно построить простым сложением - то есть любое действительное число из интервала можно выразить как сумму ровно двух элементов множества C. Обычное доказательство существования множества Кантора основано на идее пробить «дыру» в середине интервала, затем пробить дыры в оставшихся подынтерваллах и повторить этот процесс. до бесконечности.

Процесс добавления еще одного частичного частного к конечной непрерывной дроби во многом аналогичен процессу «пробивания дыры» в интервале действительных чисел. Размер «дыры» обратно пропорционален следующему выбранному частному знаменателю - если следующий частный знаменатель равен 1, промежуток между последовательными сходящиеся максимизируется. Для уточнения следующих теорем рассмотрим CF (M), множество ограниченных цепных дробей, значения которых лежат в открытом интервале (0, 1), а частные знаменатели которых ограничены положительным целым числом M - то есть,

${ displaystyle mathrm {CF} (M) = {[0; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, dots]: 1 leq a_ {i} leq M }. ,}$

Проведя рассуждение, параллельное тому, которое использовалось для построения множества Кантора, можно получить два интересных результата.

• Если M ≥ 4, то любое действительное число в интервале можно построить как сумму двух элементов из CF (M), где интервал определяется выражением

${ displaystyle (2 times [0; { overline {M, 1}}], 2 times [0; { overline {1, M}}]) = left ({ frac {1} {M }} left [{ sqrt {M ^ {2} + 4M}} - M right], { sqrt {M ^ {2} + 4M}} - M right).}$

• Простой аргумент показывает, что ${ displaystyle { scriptstyle [0; { overline {1, M}}] - [0; { overline {M, 1}}] geq { frac {1} {2}}}}$ держится, когда M ≥ 4, а это, в свою очередь, означает, что если M ≥ 4, каждое действительное число можно представить в виде п + CF₁ + CF₂, куда п целое число, а CF₁ и CF₂ являются элементами CF (M).^[3]

Гипотеза Зарембы

Заремба предположил существование абсолютной постоянной А, такие, что рациональные числа с частными частными ограничены А содержать по крайней мере один для каждого (положительного целого) знаменателя. Выбор А = 5 совместимо с числовым свидетельством.^[4] Дальнейшие предположения уменьшают это значение в случае всех достаточно больших знаменателей.^[5] Жан Бургейн и Алексей Конторович показали, что А можно выбрать так, чтобы вывод был верен для набора знаменателей с плотностью 1.^[6]

Смотрите также

• Марковский спектр

Рекомендации