WikiDer > Пентагон Роббинса - Википедия

Нерешенная проблема в математике: Может ли пятиугольник Роббинса иметь иррациональные диагонали? (больше нерешенных задач по математике)

Пятиугольник Роббинса площадью 13104

Пятиугольник Роббинса площадью 7392

В геометрия, а Пентагон Роббинса это циклический пятиугольник чьи стороны длины и площади все рациональное число.

История

Пентагоны Роббинса были названы Бухгольц и Макдугалл (2008) после Дэвид П. Роббинс, который ранее дал формулу для площади циклического пятиугольника в зависимости от длины его ребер. Бухгольц и МакДугалл выбрали это имя по аналогии с именованием Треугольники цапли после Герой Александрии, первооткрыватель Формула Герона для площади треугольника как функции длины его ребер.

Площадь и периметр

Каждый пятиугольник Роббинса можно масштабировать так, чтобы его стороны и площадь были целыми числами. Более того, Бухгольц и Мак-Дугалл показали, что если все стороны имеют целые числа, а площадь рациональна, то площадь обязательно также является целым числом, и периметр обязательно четное число.

Диагонали

Бухгольц и Макдугалл также показали, что в каждом пятиугольнике Роббинса либо все пять внутренних диагоналей являются рациональными числами, либо ни одна из них не является. Если пять диагоналей рациональны (случай, называемый Пентагон Брахмагупта к Састры (2005)), то радиус его описанной окружности также должен быть рациональным, и пятиугольник можно разделить на три треугольника Герона, разрезав его по любым двум непересекающимся диагоналям, или на пять треугольников Герона, разрезав его по пяти радиусам от круга. центр к его вершинам.

Бухгольц и Макдугалл выполнили вычислительный поиск пятиугольников Роббинса с иррациональными диагоналями, но не смогли их найти. На основании этого отрицательного результата они предположили, что пятиугольники Роббинса с иррациональными диагоналями могут не существовать.

Рекомендации

• Buchholz, Ralph H .; Макдугалл, Джеймс А. (2008), «Циклические многоугольники с рациональными сторонами и площадью», Журнал теории чисел, 128 (1): 17–48, Дои:10.1016 / j.jnt.2007.05.005, МИСТЕР 2382768.
• Роббинс, Дэвид П. (1994), «Области многоугольников, вписанных в круг», Дискретная и вычислительная геометрия, 12 (2): 223–236, Дои:10.1007 / BF02574377, МИСТЕР 1283889
• Роббинс, Дэвид П. (1995), «Области многоугольников, вписанных в круг», Американский математический ежемесячник, 102 (6): 523–530, Дои:10.2307/2974766, МИСТЕР 1336638.
• Састри, К. Р. С. (2005), «Строительство н-угольников Брахмагупты» (PDF), Форум Geometricorum, 5: 119–126, МИСТЕР 2195739.