WikiDer > Процедура с вращающимся ножом Робертсона-Уэбба
В Процедура с вращающимся ножом Робертсона-Уэбба это процедура для резка торта без зависти двухмерного торта между тремя партнерами.[1]:77–78 Он делает только два разреза, поэтому каждый партнер получает одну связанную деталь.
Его главное преимущество перед ранее Процедура с движущимися ножами Стромквиста а позже Процедура с движущимися ножами Барбанеля – Брамса в том, что для этого нужен только один движущийся нож. Это преимущество использует двухмерный характер торта.
Процедура
Вначале каждый партнер делает вертикальный надрез так, чтобы торт слева от него стоил ему ровно 1/3. Выбирается крайний левый разрез. Предположим, этот разрез принадлежит Алисе. Таким образом, Алиса получает крайнюю левую фигуру, и ее ценность составляет ровно 1/3. Остаток нужно разделить между оставшимися партнерами (Бобом и Карлом).
Обратите внимание, что роль Алисы стоит в большинстве 1/3, а остаток стоит по меньшей мере 2/3 для Боба и Карла. Итак, если Боб и Карл получают хотя бы половину остатка, они не завидуют. Задача состоит в том, чтобы Алиса не завидовала никому из них.
Решение основано на следующем наблюдении: Для каждого угла , Алиса может подставить нож под углом а остаток разрезать на две равные в ее глазах половинки. Это означает, что Алиса может вращать нож над остатком так, чтобы части с двух сторон ножа всегда были равны в ее глазах.
![{ Displaystyle альфа в [0,180 ^ { circ}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59617ac970130c2c27f811f19cb3cf204e47a9d9)
Когда нож находится под углом 0, Боб (слабо) предпочитает либо кусок над ножом, либо кусок под ножом; когда нож находится под углом 180, части меняются местами. Следовательно, по теорема о промежуточном значении, должен быть угол, при котором Боб считает, что части с обеих сторон ножа равны. Под этим углом Боб кричит «стоп!». Торт разрезается, Карл выбирает кусок, а Боб получает второй.
Анализ
Алиса не завидует, потому что для нее все три части стоят ровно 1/3.
Боб и Карл не завидуют Алисе, потому что ее фигура стоит не более 1/3, а их фигура не менее (1/2) * (2/3) = 1/3.
Боб не завидует Карлу, потому что в его глазах их фигуры равны; Карл не завидует Бобу, потому что он выбрал лучшее в его глазах.
Делить плохой торт
Процедура с вращающимся ножом может быть адаптирована для деление по дому - разделение торта на отрицательное значение:[1]:упражнение 5.10 на начальном этапе крайний правый разрез должен быть выбран вместо крайнего левого разреза.