WikiDer > Корневые данные - Википедия

В математике теория групп, то корень связного раскола редуктивный алгебраическая группа над полем является обобщением корневая система определяющий группу с точностью до изоморфизма. Их представил Мишель Демазюр в SGA III, опубликовано в 1970 году.

Определение

А корень состоит из четырехместного

${ displaystyle (X ^ { ast}, Phi, X _ { ast}, Phi ^ { vee})}$,

куда

• ${ Displaystyle X ^ { ast}}$ и ${ displaystyle X _ { ast}}$ - свободные абелевы группы конечных классифицировать вместе с идеальное сочетание между ними со значениями в ${ Displaystyle mathbb {Z}}$ которые мы обозначим через (,) (иными словами, каждый отождествляется с двойником другого).
• ${ displaystyle Phi}$ конечное подмножество ${ Displaystyle X ^ { ast}}$ и ${ displaystyle Phi ^ { vee}}$ конечное подмножество ${ displaystyle X _ { ast}}$ и есть биекция от ${ displaystyle Phi}$ на ${ displaystyle Phi ^ { vee}}$, обозначаемый ${ Displaystyle альфа mapsto alpha ^ { vee}}$.
• Для каждого ${ displaystyle alpha}$, ${ Displaystyle ( альфа, альфа ^ { vee}) = 2}$.
• Для каждого ${ displaystyle alpha}$, карта ${ Displaystyle х mapsto х- (х, альфа ^ { vee}) альфа}$ индуцирует автоморфизм корневых данных (другими словами, отображает ${ displaystyle Phi}$ к ${ displaystyle Phi}$ и индуцированное воздействие на ${ displaystyle X _ { ast}}$ карты ${ displaystyle Phi ^ { vee}}$ к ${ displaystyle Phi ^ { vee}}$)

Элементы ${ displaystyle Phi}$ называются корни корневого элемента данных, а элементы ${ displaystyle Phi ^ { vee}}$ называются коруты.

Если ${ displaystyle Phi}$ не содержит ${ displaystyle 2 alpha}$ для любого ${ displaystyle alpha in Phi}$, то корневой элемент называется уменьшенный.

Корневые данные алгебраической группы

Если ${ displaystyle G}$ редуктивная алгебраическая группа над алгебраически замкнутое поле ${ displaystyle K}$ с расщепленным максимальным тором ${ displaystyle T}$ тогда это корень четверка

${ displaystyle (X ^ {*}, Phi, X _ {*}, Phi ^ { vee})}$,

куда

• ${ displaystyle X ^ {*}}$ - решетка характеров максимального тора,
• ${ displaystyle X _ {*}}$ - двойственная решетка (заданная однопараметрическими подгруппами),
• ${ displaystyle Phi}$ это набор корней,
• ${ displaystyle Phi ^ { vee}}$ - соответствующий набор коронок.

Связная расщепленная редуктивная алгебраическая группа над ${ displaystyle K}$ однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своим корневым элементом, который всегда сокращается. И наоборот, для любого корневого элемента существует редуктивная алгебраическая группа. Корневая система данных содержит немного больше информации, чем Диаграмма Дынкина, потому что он также определяет центр группы.

Для любых корневых данных ${ displaystyle (X ^ {*}, Phi, X _ {*}, Phi ^ { vee})}$, мы можем определить двойная корень ${ displaystyle (X _ {*}, Phi ^ { vee}, X ^ {*}, Phi)}$ путем переключения символов с помощью однопараметрических подгрупп и переключения корней с помощью сопутствующих корней.

Если ${ displaystyle G}$ - связная редуктивная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем ${ displaystyle K}$, то его Двойная группа Ленглендса ${ displaystyle {} ^ {L} G}$ - комплексно связная редуктивная группа, корень которой двойственен ${ displaystyle G}$.

Рекомендации

• Мишель Демазюр, Exp. XXI в СГА 3 том 3
• Т. А. Спрингер, Редуктивные группы, в Автоморфные формы, представления и L-функции том 1 ISBN 0-8218-3347-2