WikiDer > Масштабный анализ (математика)

Scale analysis (mathematics)

Масштабный анализ (или же анализ по порядку величины) - мощный инструмент, используемый в математические науки для упрощения уравнения со многими условиями. Сначала определяется приблизительная величина отдельных членов в уравнениях. Тогда можно не обращать внимания на некоторые пренебрежимо малые члены.

Пример: вертикальный импульс в метеорологии синоптического масштаба

Рассмотрим, например, уравнение импульса из Уравнения Навье – Стокса в вертикальном координатном направлении атмосферы

куда р является земной шар радиус, Ω равен частота вращения Земли, грамм является гравитационное ускорение, φ - широта, ρ - плотность воздуха и ν кинематическая вязкость воздуха (турбулентностью в свободная атмосфера).

В синоптическая шкала можно ожидать горизонтальных скоростей около U = 101 РС−1 и вертикально около W = 10−2 РС−1. Горизонтальный масштаб равен L = 106 м и вертикальный масштаб ЧАС = 104 м. Типичная шкала времени Т = L/U = 105 с. Перепады давления в тропосфере составляют ΔP = 104 Па и плотность воздуха ρ = 100 кг · м−3. Остальные физические свойства примерно следующие:

р = 6.378 × 106 м;
Ом = 7,292 × 10−5 рад · с−1;
ν = 1,46 × 10−5 м2· С−1;
грамм = 9,81 м · с−2.

Оценки различных членов в уравнении (1) могут быть сделаны с использованием их шкал:

Теперь мы можем ввести эти шкалы и их значения в уравнение (1):


Мы видим, что все члены, кроме первого и второго справа, пренебрежимо малы. Таким образом, мы можем упростить уравнение вертикального импульса до гидростатическое равновесие уравнение:

Правила масштабного анализа

Масштабный анализ - очень полезный и широко используемый инструмент для решения задач в области теплопередачи и механики жидкости, приводимой под давлением пристенной струи, разделения потоков за обратными ступенями, струйного диффузионного пламени, исследования линейной и нелинейной динамики. Масштабный анализ рекомендуется в качестве основного метода для получения максимальной информации на единицу интеллектуальных усилий, несмотря на то, что это предварительное условие для хорошего анализа в безразмерной форме. Целью масштабного анализа является использование основных принципов конвективной теплопередачи для получения оценок по порядку величины для представляющих интерес величин. Масштабный анализ предполагает, что при правильном выполнении с коэффициентом порядка одного дорогостоящие результаты, полученные при точном анализе. Масштабный анализ показал следующее:

Правило1- Первым шагом в масштабном анализе является определение области экстента, в которой мы применяем масштабный анализ. Любой масштабный анализ области потока, который не определен однозначно, недействителен.

Правило2- Одно уравнение представляет собой эквивалентность двух основных членов, входящих в уравнение. Например,

В приведенном выше примере левая часть может иметь такой же порядок величины, что и правая часть.

Правило 3- Если в сумме двух слагаемых

порядок величины одного члена больше, чем порядок величины другого члена

то порядок величины суммы определяется доминирующим членом

Тот же вывод верен, если у нас есть разница двух членов

Правило4- В сумме двух членов, если два члена имеют одинаковый порядок величины,

тогда сумма также будет того же порядка:

Правило 5- В случае произведения двух условий

порядок величины продукта равен произведению порядков величины двух факторов

для соотношений

тогда

здесь O (a) представляет собой порядок величины a.

~ представляет два члена одного порядка величины.

> представляет собой больше чем в смысле порядка величины.

Развитие потока во входной зоне воздуховода с параллельными пластинами

Масштабный анализ полностью развитого потока

Рассмотрим стационарный ламинарный поток вязкой жидкости внутри круглой трубы. Пусть жидкость входит с равномерной скоростью в потоке поперечного сечения. Когда жидкость движется по трубе, образуется пограничный слой низкоскоростной жидкости, который растет на поверхности, потому что жидкость, непосредственно прилегающая к поверхности, имеет нулевую скорость. Особым и упрощающим признаком вязкого течения внутри цилиндрических трубок является тот факт, что пограничный слой должен встречаться на центральной линии трубы, и тогда распределение скоростей устанавливает фиксированную картину, которая является инвариантной. Гидродинамическая входная длина - это та часть трубы, в которой импульсный пограничный слой растет, а распределение скорости изменяется с длиной. Фиксированное распределение скорости в полностью развитой области называется полностью развитым профилем скорости. Непрерывность в установившемся режиме и сохранение уравнений импульса в двумерном пространстве являются

Эти уравнения можно упростить, используя масштабный анализ. В любой момент в полностью развитой зоне у нас есть и . Теперь из уравнения (1), поперечная составляющая скорости в полностью развитой области упрощается с использованием масштабирования как

В полностью развитом регионе , так что масштаб поперечной скорости пренебрежимо мал из уравнения (4). Поэтому в полностью развитом потоке уравнение неразрывности требует, чтобы

На основании уравнения (5) уравнение импульса y (3) сводится к

это означает, что P является функцией только x. Отсюда уравнение импульса x становится

Каждый член должен быть постоянным, потому что левая часть является функцией только x, а правая - функцией y. Решая уравнение (7) с граничным условием

это приводит к хорошо известному решению Хагена – Пуазейля для полностью развитого потока между параллельными пластинами.

где y отсчитывается от центра канала. Скорость должна быть параболической и пропорциональной давлению на единицу длины воздуховода в направлении потока.

Смотрите также

Рекомендации

  • Баренблатт, Г.И. (1996). Масштабирование, самоподобие и промежуточные асимптотики. Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-43522-6.
  • Теннекес, Х.; Ламли, Джон Л. (1972). Первый курс в турбулентности. MIT Press, Кембридж, Массачусетс. ISBN 0-262-20019-8.
  • Бежан, А. (2004). Конвекционная теплопередача. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-81-265-0934-8.
  • Кейс, У. М., Кроуфорд М. Э. (2012). Конвективный тепло- и массообмен.. McGraw Hill Education (Индия). ISBN 978-1-25-902562-4.CS1 maint: несколько имен: список авторов (ссылка на сайт)

внешняя ссылка