WikiDer > Теория винта

Сэр Роберт Болл, автор трактатов по теории винта в 1876 и 1900 гг.

Теория винта представляет собой алгебраическое вычисление пар векторов, таких как силы и моменты или угловая и линейная скорость, которые возникают в кинематике и динамике твердых тел.^[1][2] Математическая основа была разработана сэром Роберт Ставелл Болл в 1876 г. для применения в кинематика и статика из механизмы (механика твердого тела).^[3]

Теория винта дает математический формулировка для геометрия линий, которые являются центральными для динамика твердого тела, где линии образуют винтовые оси пространственного перемещения и линии действия сил. Пара векторов, образующих Координаты Плюккера линии определяют единичный винт, а общие винты получаются умножением на пару действительных чисел и сложением векторов.^[3]

Важным результатом теории винтов является то, что геометрические вычисления для точек с использованием векторов имеют параллельные геометрические вычисления для линий, полученных путем замены векторов винтами. Это называется принцип передачи.^[4]

Теория винта стала важным инструментом в механике роботов,^[5][6] механический дизайн, вычислительная геометрия и многотельная динамика. Отчасти это связано с соотношением винтов и двойные кватернионы которые использовались для интерполяции движения твердого тела.^[7] На основе теории винта также был разработан эффективный подход к синтезу типов параллельных механизмов (параллельные манипуляторы или параллельные роботы).^[8]

Основные теоремы включают Теорема Пуансо (Луи Пуансо, 1806) и Теорема Часлеса (Мишель Часлес, 1832). Феликс Кляйн видел теорию винта как приложение эллиптическая геометрия и его Программа Эрланген.^[9] Он также разработал эллиптическую геометрию и новый взгляд на евклидову геометрию с помощью Метрика Кэли – Клейна. Использование симметричная матрица для фон Штаудт конический и метрика, применяемая к винтам, была описана Харви Липкиным.^[10] Другие известные участники включают Юлиус Плюкер, В. К. Клиффорд, Ф. М. Диментберг, Кеннет Х. Хант, Дж. Р. Филлипс.^[11]

Базовые концепты

Шаг чистого винта связывает вращение вокруг оси с поступательным движением вдоль этой оси.

Пространственное смещение твердого тела может быть определено вращением вокруг линии и перемещением вдоль той же линии, называемым смещением винта. Это известно как Теорема Часлеса. Шесть параметров, которые определяют перемещение винта, являются четырьмя независимыми компонентами вектора Плюккера, который определяет ось винта, вместе с углом поворота и линейным скольжением вдоль этой линии, и образуют пару векторов, называемых винт. Для сравнения, шесть параметров, определяющих пространственное смещение, также могут быть заданы тремя Углы Эйлера которые определяют поворот и три компонента вектора перемещения.

Винт

Винт - это шестимерный вектор, построенный из пары трехмерных векторов, таких как силы и моменты, а также линейная и угловая скорость, которые возникают при изучении пространственного движения твердого тела. Компоненты винта определяют координаты Плюккера линии в пространстве и величины вектора вдоль линии и момента относительно этой линии.

Гаечный ключ

Векторы силы и крутящего момента, возникающие при применении законов Ньютона к твердому телу, могут быть собраны в винт, называемый винтом. гаечный ключ. У силы есть точка приложения и линия действия, поэтому она определяет Координаты Плюккера линии в пространстве и имеет нулевой шаг. С другой стороны, крутящий момент - это чистый момент, который не привязан к линии в пространстве и представляет собой винт с бесконечным шагом. Отношение этих двух величин определяет шаг винта.

Крутить

А крутить представляет скорость твердого тела как угловую скорость вокруг оси и линейную скорость вдоль этой оси. Все точки тела имеют одинаковую составляющую скорости вдоль оси, однако чем больше расстояние от оси, тем больше скорость в плоскости, перпендикулярной этой оси. Таким образом, геликоидальное поле, образованное векторами скорости в движущемся твердом теле, сглаживается по мере удаления точек радиально от оси закручивания.

Точки тела, совершающего постоянное движение винта, следуют по спирали в неподвижной рамке. Если это движение винта имеет нулевой шаг, тогда траектории следуют по кругу, и движение является чистым вращением. Если винтовой ход имеет бесконечный шаг, тогда все траектории являются прямыми линиями в одном направлении.

Алгебра винтов

Пусть винт быть упорядоченной парой

${ Displaystyle { mathsf {S}} = ( mathbf {S}, mathbf {V}),}$

куда S и V являются трехмерными действительными векторами. Сумма и разность этих упорядоченных пар вычисляются покомпонентно. Винты часто называют двойные векторы.

Теперь введем упорядоченную пару действительных чисел â = (а, б) называется двойственный скаляр. Пусть сложение и вычитание этих чисел будет покомпонентным, а умножение определим как

${ displaystyle { hat {a}} { hat {c}} = (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc). !}$

Умножение винта S = (S, V) двойственным скаляром â = (а, б) вычисляется покомпонентно, чтобы быть,

${ displaystyle { hat {a}} { mathsf {S}} = (a, b) ( mathbf {S}, mathbf {V}) = (a mathbf {S}, a mathbf {V } + b mathbf {S}). !}$

Наконец, представим скалярное произведение винтов и скрещенное произведение по формулам:

${ Displaystyle { mathsf {S}} cdot { mathsf {T}} = ( mathbf {S}, mathbf {V}) cdot ( mathbf {T}, mathbf {W}) = ( mathbf {S} cdot mathbf {T}, , , mathbf {S} cdot mathbf {W} + mathbf {V} cdot mathbf {T}),}$

который является двойственным скаляром, и

${ displaystyle { mathsf {S}} times { mathsf {T}} = ( mathbf {S}, mathbf {V}) times ( mathbf {T}, mathbf {W}) = ( mathbf {S} times mathbf {T}, , , mathbf {S} times mathbf {W} + mathbf {V} times mathbf {T}).}$

который винт. Точечные и перекрестные произведения винтов удовлетворяют тождествам векторной алгебры и позволяют вычислениям, которые напрямую параллельны вычислениям в алгебре векторов.

Пусть двойственный скаляр ẑ = (φ, d) определить двойной угол, то бесконечные серии определений синуса и косинуса дают соотношения

${ Displaystyle грех { шляпа {z}} = ( грех varphi, d соз varphi), , , , соз { шляпа {z}} = ( соз varphi, -d sin varphi), !}$

которые также являются двойственными скалярами. В общем, функция двойственной переменной определяется как ж(ẑ) = (ж(φ), df′(φ)), куда ж′(φ) - производная отж(φ).

Эти определения позволяют получить следующие результаты:

• Винты блока Координаты Плюккера линии и удовлетворяют соотношению

${ displaystyle | { mathsf {S}} | = { sqrt {{ mathsf {S}} cdot { mathsf {S}}}} = 1;}$

• Пусть ẑ = (φ, d) - дуальный угол, где φ угол между осями S и Т вокруг их обычной нормы, и d расстояние между этими осями по общей нормали, то

${ displaystyle { mathsf {S}} cdot { mathsf {T}} = | { mathsf {S}} || { mathsf {T}} | cos { hat {z}};}$

• Пусть N - единичный винт, определяющий общую нормаль к осям S и Т, и ẑ = (φ, d) - дуальный угол между этими осями, то

${ displaystyle { mathsf {S}} times { mathsf {T}} = | { mathsf {S}} || { mathsf {T}} | sin { hat {z}} { mathsf {N}}.}$

Гаечный ключ

Типичный пример винта - гаечный ключ связанный с силой, действующей на твердое тело. Позволять п быть точкой приложения силы F и разреши п - вектор, располагающий эту точку в фиксированной системе отсчета. Гаечный ключ W = (F, п×F) винт. Результирующая сила и момент, полученные от всех сил F_я, я = 1,...,п, действие на твердое тело - это просто сумма отдельных гаечных ключей W_я, то есть

${ displaystyle { mathsf {R}} = sum _ {i = 1} ^ {n} { mathsf {W}} _ {i} = sum _ {i = 1} ^ {n} ( mathbf {F} _ {i}, mathbf {P} _ {i} times mathbf {F} _ {i}).}$

Обратите внимание, что в случае двух равных, но противоположных сил F и -F действуя в точках А и B соответственно дает результирующую

${ Displaystyle { mathsf {R}} = ( mathbf {F} - mathbf {F}, mathbf {A} times mathbf {F} - mathbf {B} times mathbf {F}) = (0, ( mathbf {A} - mathbf {B}) times mathbf {F}).}$

Это показывает, что винты формы

${ Displaystyle { mathsf {M}} = (0, mathbf {M}),}$

можно интерпретировать как чистые моменты.

Крутить

Чтобы определить крутить твердого тела, мы должны рассматривать его движение, определяемое параметризованным набором пространственных перемещений, D (t) = ([A (t)],d(t)), где [A] - матрица вращения и d вектор перевода. Это вызывает точку п который фиксируется в координатах движущегося тела, чтобы проследить кривую п(t) в фиксированной системе отсчета, задаваемой формулой,

${ displaystyle mathbf {P} (t) = [A (t)] mathbf {p} + mathbf {d} (t).}$

Скорость п является

${ Displaystyle mathbf {V} _ {P} (t) = left [{ frac {dA (t)} {dt}} right] mathbf {p} + mathbf {v} (t), }$

куда v - скорость начала движущейся системы отсчета, то есть dd/ dt. Теперь замените п =  [А^Т](п − d) в это уравнение, чтобы получить

${ displaystyle mathbf {V} _ {P} (t) = [ Omega] mathbf {P} + mathbf {v} - [ Omega] mathbf {d} quad { text {или}} quad mathbf {V} _ {P} (t) = mathbf { omega} times mathbf {P} + mathbf {v} + mathbf {d} times mathbf { omega},}$

где [Ω] = [dА/ дт][А^Т] - матрица угловой скорости, ω - вектор угловой скорости.

Винт

${ displaystyle { mathsf {T}} = ({ vec { omega}}, mathbf {v} + mathbf {d} times { vec { omega}}), !}$

это крутить движущегося тела. Вектор V = v + d × ω - скорость точки в теле, которая соответствует началу неподвижной системы отсчета.

Есть два важных особых случая: (i) когда d постоянно, то есть v = 0, то скручивание - это чистое вращение вокруг прямой, тогда скрутка

${ displaystyle { mathsf {L}} = ( omega, mathbf {d} times omega),}$

и (ii) когда [Ω] = 0, то есть тело не вращается, а только скользит в направлении v, то поворот будет чистым скольжением, заданным

${ displaystyle { mathsf {T}} = (0, mathbf {v}).}$

Революционные суставы

Для революционный сустав, пусть ось вращения проходит через точку q и быть направленным по вектору ω, то скручивание соединения определяется выражением

${ displaystyle xi = { begin {Bmatrix} omega q times omega end {Bmatrix}}.}$

Призматические швы

Для призматический шарнир, пусть вектор v указывает направление скольжения, тогда поворот для соединения задается как,

${ displaystyle xi = { begin {Bmatrix} 0 v end {Bmatrix}}.}$

Координатная трансформация винтов

Преобразования координат для винтов легко понять, если начать с преобразований координат вектора Плюккера линии, которые, в свою очередь, получаются из преобразований координат точек на линии.

Пусть перемещение тела определяется выражением D = ([А], d), куда [А] - матрица вращения и d вектор перевода. Рассмотрим линию тела, определяемую двумя точками п и q, который имеет Координаты Плюккера,

${ displaystyle { mathsf {q}} = ( mathbf {q} - mathbf {p}, mathbf {p} times mathbf {q}),}$

то в фиксированной системе координат мы имеем преобразованные координаты точки п = [А]п + d и Q = [А]q + d, которые уступают.

${ Displaystyle { mathsf {Q}} = ( mathbf {Q} - mathbf {P}, mathbf {P} times mathbf {Q}) = ([A] ( mathbf {q} - mathbf {p}), [A] ( mathbf {p} times mathbf {q}) + mathbf {d} times [A] ( mathbf {q} - mathbf {p}))}$

Таким образом, пространственное смещение определяет преобразование для координат Плюккера линий, заданных формулой

${ displaystyle { begin {Bmatrix} mathbf {Q} - mathbf {P} mathbf {P} times mathbf {Q} end {Bmatrix}} = { begin {bmatrix} A & 0 DA&A end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} mathbf {q} - mathbf {p} mathbf {p} times mathbf {q} end {Bmatrix}}.}$

Матрица [D] - это кососимметричная матрица, выполняющая операцию перекрестного произведения, то есть [D]у = d × у.

Матрица 6 × 6, полученная из пространственного смещения D = ([А], d) можно собрать в двойственную матрицу

${ displaystyle [{ hat {A}}] = ([A], [DA]),}$

который действует на винт s = (s.v) чтобы получить,

${ displaystyle { mathsf {S}} = [{ hat {A}}] { mathsf {s}}, quad ( mathbf {S}, mathbf {V}) = ([A], [ DA]) ( mathbf {s}, mathbf {v}) = ([A] mathbf {s}, [A] mathbf {v} + [DA] mathbf {s}).}$

Двойственная матрица [Â] = ([А], [DA]) имеет определитель 1 и называется дуальная ортогональная матрица.

Твисты как элементы алгебры Ли

Рассмотрим движение твердого тела, заданное параметризованным однородным преобразованием 4x4,

${ displaystyle { textbf {P}} (t) = [T (t)] { textbf {p}} = { begin {Bmatrix} { textbf {P}} 1 end {Bmatrix}} = { begin {bmatrix} A (t) & { textbf {d}} (t) 0 & 1 end {bmatrix}} { begin {Bmatrix} { textbf {p}} 1 end { Bmatrix}}.}$

Это обозначение не различает п = (Икс, Y, Z, 1), и п = (Икс, Y, Z), что, надеюсь, понятно в контексте.

Скорость этого движения определяется путем вычисления скорости траекторий точек тела,

${ displaystyle { textbf {V}} _ {P} = [{ dot {T}} (t)] { textbf {p}} = { begin {Bmatrix} { textbf {V}} _ { P} 0 end {Bmatrix}} = { begin {bmatrix} { dot {A}} (t) & { dot { textbf {d}}} (t) 0 & 0 end {bmatrix }} { begin {Bmatrix} { textbf {p}} 1 end {Bmatrix}}.}$

Точка обозначает производную по времени, а поскольку п постоянна, его производная равна нулю.

Подставим обратное преобразование вместо п в уравнение скорости, чтобы получить скорость п действуя по его траектории п(т), то есть

${ displaystyle { textbf {V}} _ {P} = [{ dot {T}} (t)] [T (t)] ^ {- 1} { textbf {P}} (t) = [ S] { textbf {P}},}$

куда

${ displaystyle [S] = { begin {bmatrix} Omega & - Omega { textbf {d}} + { dot { textbf {d}}} 0 & 0 end {bmatrix}} = { begin {bmatrix} Omega & mathbf {d} times omega + mathbf {v} 0 & 0 end {bmatrix}}.}$

Напомним, что [Ω] - матрица угловой скорости. Матрица [S] является элементом алгебры Ли se (3) группы Ли SE (3) однородных преобразований. Компоненты [S] являются составными частями винта, и по этой причине [S] также часто называют поворотом.

Из определения матрицы [S], можно сформулировать обыкновенное дифференциальное уравнение:

${ Displaystyle [{ точка {T}} (т)] = [S] [Т (т)],}$

и попросите движение [Т(т)] с постоянной матрицей скручивания [S]. Решением является матричная экспонента

${ displaystyle [T (t)] = e ^ {[S] t}.}$

Эту формулировку можно обобщить так, чтобы при начальной конфигурации грамм(0) в SE (п), и поворот ξ в себе (п), однородное преобразование в новое положение и ориентацию можно вычислить по формуле

${ Displaystyle г ( тета) = ехр ( хи тета) г (0),}$

куда θ представляет параметры преобразования.

Винты отражением

В геометрия трансформации, элементарная концепция трансформации - это отражение (математика). При плоских преобразованиях перевод получается отражением в параллельных линиях, а поворот получается отражением в паре пересекающихся линий. Чтобы произвести преобразование винта из аналогичных концепций, необходимо использовать плоскости в Космос: параллельные плоскости должны быть перпендикулярны ось винта, которая представляет собой линию пересечения пересекающихся плоскостей, которые генерируют вращение винта. Таким образом, четыре отражения в плоскостях производят винтовое преобразование. Традиция инверсивная геометрия заимствует некоторые идеи проективная геометрия и предоставляет язык преобразования, который не зависит от аналитическая геометрия.

Гомография

Комбинация поступательного движения с вращением, вызванным смещением винта, может быть проиллюстрирована с помощью экспоненциальное отображение. Эта идея в геометрии преобразований была продвинута Софус Ли более века назад. Еще раньше Уильям Роуэн Гамильтон показал Versor форма единичных кватернионов как exp (а р) = cos а + р грех а. Идея тоже есть в Формула Эйлера параметризация единичный круг в комплексная плоскость.

С ε² = 0 для двойные числа, ехр (как) = 1 + как, все остальные члены экспоненциального ряда исчезают.

Позволять F = {1 + εr : р ∈ ЧАС}, ε² = 0. Обратите внимание, что F является стабильный под вращение q → п ⁻¹ qp и под переводом (1+ εr)(1 + εs) = 1 + ε (р + s) для любых векторных кватернионов р и s.F это 3-квартирный в восьмимерном пространстве двойные кватернионы. Эта 3-х квартира F представляет Космос, а омография построен, ограниченный к F, это винтовой смещение пространства.

Позволять а быть половиной угла желаемого поворота вокруг оси р, и br половина смещения на ось винта. Затем форма z = ехр ((а + bε)р ) и z * = exp ((а − bε)р). Теперь омография

${ displaystyle [q : 1] { begin {pmatrix} z ​​& 0 0 & z ^ {*} end {pmatrix}} = [qz : z ^ {*}] Thicksim [(z ^ {* }) ^ {- 1} qz : 1].}$

Обратное для z* является

${ displaystyle { frac {1} { exp (ar-b varepsilon r)}} = (e ^ {ar} e ^ {- br varepsilon}) ^ {- 1} = e ^ {br varepsilon } e ^ {- ar},}$

Итак, омография отправляет q к

${ displaystyle (e ^ {b varepsilon} e ^ {- ar}) q (e ^ {ar} e ^ {b varepsilon r}) = e ^ {b varepsilon r} (e ^ {- ar} qe ^ {ar}) e ^ {b varepsilon r} = e ^ {2b varepsilon r} (e ^ {- ar} qe ^ {ar}).}$

Теперь для любого кватернионного вектора п, п* = −п, позволять q = 1 + pε ∈ F где осуществляется необходимое вращение и перемещение.

Уильям Кингдон Клиффорд инициировал использование двойных кватернионов для кинематика, с последующим Александр Котельников, Эдуард Этюд (Geometrie der Dynamen), и Вильгельм Блашке. Однако точка зрения Софуса Ли повторилась.^[12]В 1940 г. Джулиан Кулидж описал использование двойных кватернионов для винтового смещения на стр. 261 История геометрических методов. Он отмечает вклад 1885 г. Артур Буххайм.^[13] Кулидж основывал свое описание просто на инструментах, которые Гамильтон использовал для реальных кватернионов.

Очевидно группа единиц из звенеть двойных кватернионов является Группа Ли. Подгруппа имеет Алгебра Ли генерируется параметрами а р и б с, куда а, б ∈ р, и р, s ∈ ЧАС. Эти шесть параметров образуют подгруппу единиц, единичную сферу. Конечно, это включает F и 3-сфера из версоры.

Работа сил, действующих на твердое тело

Рассмотрим набор сил F₁, F₂ ... F_п действовать по пунктам Икс₁, Икс₂ ... Икс_п в твердом теле. Траектории Икс_я, я = 1,...,п определяются движением твердого тела с вращением [А(т)] и перевод d(т) Опорной точки в организме, дается

${ displaystyle mathbf {X} _ {i} (t) = [A (t)] mathbf {x} _ {i} + mathbf {d} (t) quad i = 1, ldots, n ,}$

куда Икс_я - координаты в движущемся теле.

Скорость каждой точки Икс_я является

${ displaystyle mathbf {V} _ {i} = { vec { omega}} times ( mathbf {X} _ {i} - mathbf {d}) + mathbf {v},}$

куда ω - вектор угловой скорости и v является производной от d(т).

Работа сил над перемещением δр_я=v_яδt каждой точки задается

${ displaystyle delta W = mathbf {F} _ {1} cdot mathbf {V} _ {1} delta t + mathbf {F} _ {2} cdot mathbf {V} _ {2} delta t + cdots + mathbf {F} _ {n} cdot mathbf {V} _ {n} delta t.}$

Определите скорости каждой точки с точки зрения скручивания движущегося тела, чтобы получить

${ displaystyle delta W = sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} cdot ({ vec { omega}} times ( mathbf {X} _ {i } - mathbf {d}) + mathbf {v}) delta t.}$

Разложите это уравнение и соберите коэффициенты при ω и v чтобы получить

${ displaystyle { begin {align} delta W & = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} right) cdot mathbf {d} times { vec { omega}} delta t + left ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} right) cdot mathbf {v} delta t + left ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {X} _ {i} times mathbf {F} _ {i} right) cdot { vec { omega}} delta t [4pt] & = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i} right) cdot ( mathbf {v} + mathbf {d} times { vec { omega}}) delta t + left ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {X} _ {i} times mathbf {F} _ {i} right) cdot { vec { omega}} delta t. end {align}}}$

Введите поворот движущегося тела и действующий на него гаечный ключ, заданный

${ displaystyle { mathsf {T}} = ({ vec { omega}}, mathbf {d} times { vec { omega}} + mathbf {v}) = ( mathbf {T} , mathbf {T} ^ { circ}), quad { mathsf {W}} = left ( sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {F} _ {i}, sum _ {i = 1} ^ {n} mathbf {X} _ {i} times mathbf {F} _ {i} right) = ( mathbf {W}, mathbf {W} ^ { circ }),}$

тогда работа принимает форму

${ displaystyle delta W = ( mathbf {W} cdot mathbf {T} ^ { circ} + mathbf {W} ^ { circ} cdot mathbf {T}) delta t.}$

Матрица 6 × 6 [Π] используется для упрощения расчета работы с использованием винтов, так что

${ displaystyle delta W = ( mathbf {W} cdot mathbf {T} ^ { circ} + mathbf {W} ^ { circ} cdot mathbf {T}) delta t = { mathsf {W}} [ Pi] { mathsf {T}} delta t,}$

куда

${ displaystyle [ Pi] = { begin {bmatrix} 0 & I I & 0 end {bmatrix}},}$

и [I] - единичная матрица 3 × 3.

Ответные винты

Если виртуальная работа гаечного ключа при скручивании равна нулю, тогда силы и крутящий момент гаечного ключа являются силами ограничения относительно скручивания. Говорят, что гаечный ключ и поворот взаимный, это если

${ displaystyle delta W = { mathsf {W}} [ Pi] { mathsf {T}} delta t = 0,}$

затем винты W и Т взаимны.

Повороты в робототехнике

При исследовании роботизированных систем компоненты скрутки часто меняют местами, чтобы исключить необходимость использования матрицы 6 × 6 [Π] при расчете работы.^[4] В этом случае крутка определяется как

${ displaystyle { check { mathsf {T}}} = ( mathbf {d} times { vec { omega}} + mathbf {v}, { vec { omega}}),}$

таким образом расчет работы принимает вид

${ displaystyle delta W = { mathsf {W}} cdot { check { mathsf {T}}} delta t.}$

В этом случае, если

${ displaystyle delta W = { mathsf {W}} cdot { check { mathsf {T}}} delta t = 0,}$

затем гаечный ключ W обратный поворот Т.

Смотрите также

• Ось винта
• Уравнения Ньютона – Эйлера использует винты для описания движений и нагрузок твердого тела.
• Твист (математика)
• Твист (рациональная тригонометрия)

Рекомендации

внешняя ссылка

• Джо Руни Уильям Кингдон Клиффорд, Департамент дизайна и инноваций, Открытый университет, Лондон.
• Рави Банавар отмечает Робототехника, геометрия и управление