WikiDer > Сектрикс Маклорена

Sectrix of Maclaurin
Сектрикс Маклорена: пример с q0 = PI / 2 и K = 3

В геометрия, а сектриса Маклорена определяется как кривая, проходящая через точку пересечения двух линий, каждая из которых вращается с постоянной скоростью вокруг разных точек, называемых полюса. Эквивалентно сектрису Маклорена можно определить как кривую, уравнение которой в двуугольные координаты линейно. Название происходит от трисектрикс Маклорена (назван в честь Колин Маклорен), который является выдающимся членом семьи, и их сектрикс свойство, что означает, что их можно использовать для разделения угла на заданное количество равных частей. Есть особые случаи, также известные как паукообразный или же аранейданс из-за их паук-подобная форма, и Кривые плато после Плато Джозеф кто их изучал.

Уравнения в полярных координатах

Нам даны две линии, вращающиеся вокруг двух полюсов и . Путем перевода и вращения мы можем считать и . Вовремя , линия, вращающаяся вокруг имеет угол и линия, вращающаяся вокруг имеет угол , куда , , и являются константами. Устранять получить куда и . Мы предполагаем рационально, иначе кривая не является алгебраической и плотна на плоскости. Позволять - точка пересечения двух прямых, и пусть быть углом в , так . Если это расстояние от к затем, по закон синуса,

так

- уравнение в полярных координатах.

Дело и куда целое число больше 2 дает кривые паукообразных или аранейдановых

Дело и куда целое число больше 1 дает альтернативные формы кривых паукообразных или аранейдановых

Вывод, аналогичный приведенному выше, дает

как полярное уравнение (в и ), если начало координат сдвинуто вправо на . Обратите внимание, что это более раннее уравнение с изменением параметров; этого следовало ожидать из того факта, что два полюса взаимозаменяемы при построении кривой.

Уравнения в комплексной плоскости, прямоугольные координаты и ортогональные траектории

Позволять куда и - целые числа, а дробь - в младших членах В обозначениях предыдущего раздела имеем или же .Если тогда , поэтому уравнение принимает вид или же . Это также можно написать

из которого относительно просто вывести декартово уравнение с заданными m и n. Функция аналитична, поэтому ортогональные траектории семейства кривые , или же

Параметрические уравнения

Позволять куда и целые числа, и пусть куда является параметром. Затем преобразовав полярное уравнение выше к параметрические уравнения производит

.

Применение правила сложения углов для синуса дает

.

Таким образом, если начало координат сдвинуто вправо на a / 2, то параметрические уравнения будут

.

Это уравнения для кривых Плато, когда , или же

.

Инверсивные тройни

В обратный относительно окружности радиуса a с центром в начале координат

является

.

Это еще одна кривая в семье. Инверсия по отношению к другому полюсу дает еще одну кривую в том же семействе, а две инверсии, в свою очередь, противоположны друг другу. Следовательно, каждая кривая в семействе является членом тройки, каждая из которых принадлежит семейству и является обратной по отношению к двум другим. Значения q в этом семействе равны

.

Свойства Sectrix

Позволять куда и являются целыми числами в младших членах и предполагают является строится с компасом и линейкой. (Значение на практике обычно равно 0, поэтому обычно это не проблема.) Пусть - заданный угол, и предположим, что секта Маклорена нарисована полюсами и согласно приведенной выше конструкции. Построить луч из под углом и разреши быть точкой пересечения луча и сектрисы и нарисуйте . Если угол этой линии, тогда

так .Путем многократного вычитания и друг от друга, как в Евклидов алгоритм, угол могут быть построены. Таким образом, кривая представляет собой м-сектриса, означающая, что с помощью кривой произвольный угол можно разделить на любое целое число. Это обобщение концепции трисектриса и их примеры можно найти ниже.

Теперь нарисуйте луч с углом из и - точка пересечения этого луча с кривой. Угол является

и вычитая дает угол

.

Повторное применение алгоритма Евклида дает угол показывая, что кривая также является п-сектрикс.

Наконец, нарисуйте луч из с углом и луч от с углом , и разреши быть точкой пересечения. Эта точка находится на серединном перпендикуляре к так что есть круг с центром содержащий и . поэтому любая точка на окружности образует угол между и . (Это, по сути, один из Аполлонические круги из п и П'.) Позволять точка пересечения этой окружности и кривой. потом так

.

Применение алгоритма Евклида в третий раз дает угол , показывая, что кривая представляет собой (мп) -сектрисы.

Конкретные случаи

q = 0

Это кривая

который проходит через

q = 1

Это круг, содержащий начало и . Он имеет полярное уравнение

.

Это обратное по отношению к происхождению q = 0 случай. Ортогональные траектории семейства окружностей - это семейство Они образуют Аполлонические круги с шестами и .

q = -1

Эти кривые имеют полярное уравнение

,

сложное уравнение В прямоугольных координатах это становится которая является конической. Из полярного уравнения видно, что кривые имеют асимптоты при и которые находятся под прямым углом. Таким образом, коники представляют собой прямоугольные гиперболы. Центр гиперболы всегда . Ортогональные траектории этого семейства задаются формулами которая является семьей Кассини овалы с фокусами и .

Трисектрикс Маклорена

В случае, когда (или же переключением полюсов) и , уравнение

.

Это Трисектрикс Маклорена что является частным случаем, обобщением которого является сектриса Маклорена. Приведенная выше конструкция дает метод, позволяющий использовать эту кривую как трисектрису.

Лимасон трисектрикс

В случае, когда (или же переключением полюсов) и , уравнение

.

Это Лимасон трисектрикс. Уравнение с началом координат принимаем за другой полюс:

.

3 в числителе q и приведенная выше конструкция дает метод, позволяющий использовать кривую как трисектрису.

Рекомендации

  • "Sectrice de Maclaurin" в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (На французском)
  • Вайсштейн, Эрик В. "Арахнида". MathWorld.
  • Вайсштейн, Эрик В. «Кривые плато». MathWorld.