WikiDer > Дзета-функция Сельберга

В Дзета-функция Сельберга был представлен Атле Сельберг (1956). Это аналог знаменитого Дзета-функция Римана

${displaystyle zeta (s) = prod _ {pin mathbb {P}} {frac {1} {1-p ^ {- s}}}}$

куда ${displaystyle mathbb {P}}$ - множество простых чисел. Дзета-функция Сельберга использует длины простых закрытые геодезические вместо простых чисел. Если ${displaystyle Gamma}$ является подгруппой SL (2,р), ассоциированная дзета-функция Сельберга определяется следующим образом:

${displaystyle zeta _ {Gamma} (s) = prod _ {p} (1-N (p) ^ {- s}) ^ {- 1},}$

или же

${displaystyle Z_ {Gamma} (s) = prod _ {p} prod _ {n = 0} ^ {infty} (1-N (p) ^ {- s-n}),}$

куда п пробегает классы сопряженности основные геодезические (эквивалентно классы сопряженности примитивных гиперболических элементов ${displaystyle Gamma}$), и N(п) обозначает длину п (эквивалентно, квадрат большего собственного значения п).

Для любого гиперболическая поверхность конечной площади есть связанный Дзета-функция Сельберга; эта функция мероморфная функция определено в комплексная плоскость. Дзета-функция определяется в терминах замкнутого геодезические поверхности.

Нули и полюсы дзета-функции Сельберга, Z(s), можно описать спектральными данными поверхности.

Нули стоят в следующих точках:

1. Для каждой формы возврата с собственным значением ${displaystyle s_ {0} (1-s_ {0})}$ существует нуль в точке ${displaystyle s_ {0}}$. Порядок нуля равен размерности соответствующего собственного подпространства. (Форма возврата - это собственная функция Оператор Лапласа – Бельтрами у которого есть Разложение Фурье с нулевым постоянным членом.)
2. Дзета-функция также имеет нуль на каждом полюсе определителя матрицы рассеяния, ${displaystyle phi (s)}$. Порядок нуля равен порядку соответствующего полюса матрицы рассеяния.

Дзета-функция также имеет полюса в ${displaystyle 1/2-mathbb {N}}$, и может иметь нули или полюсы в точках ${displaystyle -mathbb {N}}$.

В Дзета-функция Ихары считается p-адическим (и теоретико-графическим) аналогом дзета-функции Сельберга.

Дзета-функция Сельберга для модульной группы

Для случая, когда поверхность ${displaystyle Gamma ackslash mathbb {H} ^ {2}}$, куда ${displaystyle Gamma}$ это модульная группа, дзета-функция Сельберга представляет особый интерес. В этом частном случае дзета-функция Сельберга тесно связана с Дзета-функция Римана.

В этом случае определитель матрица рассеяния дан кем-то:

${displaystyle varphi (s) = pi ^ {1/2} {frac {Gamma (s-1/2) zeta (2s-1)} {Gamma (s) zeta (2s)}}.}.}$^{[нужна цитата]}

В частности, мы видим, что если дзета-функция Римана имеет нуль в ${displaystyle s_ {0}}$, то определитель матрицы рассеяния имеет полюс при ${displaystyle s_ {0} / 2}$, а значит, дзета-функция Сельберга имеет нуль в точке ${displaystyle s_ {0} / 2}$.^{[нужна цитата]}

Рекомендации

• Фишер, Юрген (1987), Подход к формуле следа Сельберга через дзета-функцию Сельберга, Конспект лекций по математике, 1253, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0077696, ISBN 978-3-540-15208-8, МИСТЕР 0892317
• Хейхал, Деннис А. (1976), Формула следа Сельберга для PSL (2, R). Vol. я, Конспект лекций по математике, Vol. 548, г. 548, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0079608, МИСТЕР 0439755
• Хейхал, Деннис А. (1983), Формула следа Сельберга для PSL (2, R). Vol. 2, Конспект лекций по математике, 1001, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007 / BFb0061302, ISBN 978-3-540-12323-1, МИСТЕР 0711197
• Иванец, Х. Спектральные методы автоморфных форм, Американское математическое общество, второе издание, 2002 г.
• Сельберг, Атле (1956), "Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле", J. Indian Math. Soc. (Н.С.), 20: 47–87, МИСТЕР 0088511
• Венков А.Б. Спектральная теория автоморфных функций. Proc. Стеклова. Inst. Математика, 1982.
• Сунада, Т., L-функции в геометрии и некоторых приложениях, Proc. Taniguchi Symp. 1985, "Кривизна и топология римановых многообразий", Springer Lect. Примечание по математике. 1201 (1986), 266-284.