WikiDer > Разделимое уравнение в частных производных - Википедия

Было высказано предположение, что Проект: Разделимое обыкновенное дифференциальное уравнение быть слился в эту статью. (Обсуждать) Предлагается с сентября 2020 года.

А отделяемый уравнение в частных производных (PDE) - это уравнение, которое может быть разбито на набор отдельных уравнений меньшей размерности (с меньшим количеством независимых переменных) методом разделение переменных. Обычно это зависит от проблемы, имеющей особую форму или симметрия. Таким образом, PDE может быть решена путем решения набора более простых PDE или даже обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), если задача может быть разбита на одномерные уравнения.

Наиболее распространенной формой разделения переменных является простое разделение переменных, при котором решение получается путем принятия решения в форме, заданной произведением функций каждой отдельной координаты. Существует особая форма разделения переменных, называемая ${ displaystyle R}$- разделение переменных, которое достигается записью решения в виде конкретной фиксированной функции координат, умноженной на произведение функций каждой отдельной координаты. Уравнение Лапласа на ${ Displaystyle { mathbb {R}} ^ {п}}$ является примером уравнения в частных производных, которое допускает решения через ${ displaystyle R}$-разделение переменных; в трехмерном случае это использует 6-сферные координаты.

(Это не следует путать со случаем разделимого ODE, который относится к несколько другому классу задач, которые можно разбить на пару интегралы; видеть разделение переменных.)

Пример

Например, рассмотрим не зависящий от времени Уравнение Шредингера

${ displaystyle [- nabla ^ {2} + V ( mathbf {x})] psi ( mathbf {x}) = E psi ( mathbf {x})}$

для функции ${ displaystyle psi ( mathbf {x})}$ (в безразмерных единицах для простоты). (Аналогично, рассмотрим неоднородную Уравнение Гельмгольца.) Если функция ${ Displaystyle V ( mathbf {x})}$ в трех измерениях имеет форму

${ displaystyle V (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = V_ {1} (x_ {1}) + V_ {2} (x_ {2}) + V_ {3} (x_ { 3}),}$

то оказывается, что задачу можно разделить на три одномерных ОДУ для функций ${ displaystyle psi _ {1} (x_ {1})}$, ${ displaystyle psi _ {2} (x_ {2})}$, и ${ displaystyle psi _ {3} (x_ {3})}$, а окончательное решение можно записать как ${ displaystyle psi ( mathbf {x}) = psi _ {1} (x_ {1}) cdot psi _ {2} (x_ {2}) cdot psi _ {3} (x_ { 3})}$. (В более общем плане разделимые случаи уравнения Шредингера были перечислены Эйзенхартом в 1948 г.^[1])

Рекомендации