WikiDer > Формула шнурков

В формула шнурка или же алгоритм шнурка (также известен как Формула площади Гаусса и формула сюрвейера^[1]) является математическим алгоритм определить площадь из простой многоугольник чьи вершины описываются своими Декартовы координаты в плоскости.^[2] Пользователь перекрестное умножение соответствующие координаты, чтобы найти область, охватывающую многоугольник, и вычитает ее из окружающего многоугольника, чтобы найти область внутри многоугольника. Это называется формулой шнурка из-за постоянного перемножения координат, составляющих многоугольник, как завязывание шнурков.^[2] Его также иногда называют шнурок метод. Применяется в геодезии и лесном хозяйстве,^[3] среди других областей.

Формула была описана Мейстером (1724–1788) в 1769 году.^[4] и по Гаусс в 1795 г.^{[требуется полная цитата]} Это можно проверить, разделив многоугольник на треугольники, и его можно рассматривать как частный случай Теорема Грина.

Формула площади получается путем взятия каждого края AB, и вычисляя площадь треугольника ABO с вершиной в начале координат О, взяв перекрестное произведение (которое дает площадь параллелограмма) и разделив его на 2. При обтекании многоугольника эти треугольники с положительной и отрицательной площадью будут перекрываться, а области между исходной точкой и многоугольником будут аннулированы. out и суммировать до 0, при этом остается только область внутри ссылочного треугольника. Вот почему формула называется формулой геодезиста, поскольку «геодезист» стоит в начале координат; при движении против часовой стрелки положительная область добавляется при движении слева направо и отрицательная область добавляется при движении справа налево с точки зрения исходной точки.^{[нужна цитата]}

Формула площади также может быть применена к самоперекрывающимся полигонам, поскольку значение площади по-прежнему понятно, хотя самоперекрывающиеся полигоны обычно не просты.^[5] Более того, самоперекрывающийся многоугольник может иметь несколько «интерпретаций», но формула Shoelace может использоваться, чтобы показать, что площадь многоугольника одинакова независимо от интерпретации.^[6]

Заявление

Формулу можно представить выражением

${displaystyle {egin {align} mathbf {A} & = {1 over 2} left | sum _ {i = 1} ^ {n-1} x_ {i} y_ {i + 1} + x_ {n} y_ { 1} -сумма _ {i = 1} ^ {n-1} x_ {i + 1} y_ {i} -x_ {1} y_ {n} ight | [4pt] & = {1 больше 2} | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + cdots + x_ {n-1} y_ {n} + x_ {n} y_ {1} -x_ {2} y_ {1} -x_ { 3} y_ {2} -cdots -x_ {n} y_ {n-1} -x_ {1} y_ {n} | конец {выровнено}}}$

куда

• А площадь многоугольника,
• п - количество сторон многоугольника, а
• (Икс_я, у_я), я = 1, 2,..., п упорядоченные вершины (или «углы») многоугольника.

Альтернативно^[3][7][8]

${displaystyle {egin {align} mathbf {A} & = {1 over 2} left | sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} (y_ {i + 1} -y_ {i-1}) право | = {1 больше 2} слева | сумма _ {i = 1} ^ {n} y_ {i} (x_ {i + 1} -x_ {i-1}) ight | = {1 больше 2} осталось | сумма _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i} y_ {i + 1} -x_ {i + 1} y_ {i}) ight | [5pt] & = {1 больше 2} осталось | сумма _ {i = 1} ^ {n} (x_ {i + 1} + x_ {i}) (y_ {i + 1} -y_ {i}) ight | = {1 over 2} left | sum _ {i = 1} ^ {n} det {egin {pmatrix} x_ {i} & x_ {i + 1} y_ {i} & y_ {i + 1} end {pmatrix}} ight | end {выровнено}}}$

кудаИкс_п+1 = Икс₁ и Икс₀ = Икс_п,а такжеу_п+1 = у₁ и у₀ = у_п.

Если точки помечены последовательно против часовой стрелки, то сумма указанных выше детерминанты положительно, и знаки абсолютного значения можно опустить;^[1] если они помечены по часовой стрелке, сумма определителей будет отрицательной. Это потому, что формулу можно рассматривать как частный случай Теорема Грина.

Особенно краткое изложение формулы можно дать в терминах внешняя алгебра. Если ${displaystyle v_ {1}, точки, v_ {n}}$ - последовательные вершины многоугольника (рассматриваемые как векторы в декартовой плоскости), то

${displaystyle A = {frac {1} {2}} cdot left | sum _ {i = 1} ^ {n} v_ {i} wedge v_ {i + 1} ight |.}$

Доказательства

Доказательство треугольника

Зная координаты треугольника, найдите его площадь ${displaystyle mathbf {A}}$.

Ссылаясь на рисунок, пусть ${displaystyle mathbf {A}}$ - площадь треугольника, вершины которого задаются координатами ${displaystyle (x_ {1}, y_ {1}), (x_ {2}, y_ {2}),}$ и ${displaystyle (x_ {3}, y_ {3}).}$ Нарисуйте прямоугольник с минимальной площадью вокруг треугольника так, чтобы его стороны были параллельны ${displaystyle x}$ или же ${displaystyle y}$ топоры. По крайней мере, одна вершина треугольника будет в углу прямоугольника. На рисунке площади трех окружающих треугольников равны ${displaystyle mathbf {C}, mathbf {D},}$ и ${displaystyle mathbf {E}.}$ Очевидно ${displaystyle mathbf {A}}$ равна площади прямоугольника (назовем его ${displaystyle mathbf {R}}$) минус площади остальных трех треугольников. Уравнение, описывающее эту взаимосвязь:

${displaystyle mathbf {A} = mathbf {R} -mathbf {C} -mathbf {D} -mathbf {E}}$

При осмотре рисунка видно, что площади даны как

${displaystyle mathbf {R} = (x_ {3} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ {3}) = (x_ {3} y_ {1} + x_ {2} y_ {3}) - (x_ {3} y_ {3} + x_ {2} y_ {1})}$

${displaystyle -mathbf {C} = - {frac {1} {2}} (x_ {3} -x_ {2}) (y_ {2} -y_ {3}) = {frac {1} {2}} (-x_ {3} y_ {2} -x_ {2} y_ {3}) + {frac {1} {2}} (x_ {3} y_ {3} + x_ {2} y_ {2})}$

${displaystyle -mathbf {D} = - {frac {1} {2}} (x_ {3} -x_ {1}) (y_ {1} -y_ {3}) = {frac {1} {2}} (-x_ {3} y_ {1} -x_ {1} y_ {3}) + {frac {1} {2}} (x_ {3} y_ {3} + x_ {1} y_ {1})}$

${displaystyle -mathbf {E} = - {frac {1} {2}} (x_ {1} -x_ {2}) (y_ {1} -y_ {2}) = {frac {1} {2}} (-x_ {1} y_ {1} -x_ {2} y_ {2}) + {frac {1} {2}} (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {1})}$

Сбор сроков и перестановка урожаев

${displaystyle mathbf {A} = {frac {1} {2}} ((x_ {2} y_ {3} -x_ {3} y_ {2}) - (x_ {1} y_ {3} -x_ {3 } y_ {1}) + (x_ {1} y_ {2} -x_ {2} y_ {1}))}$

который можно записать как определитель

${displaystyle mathbf {A} = {frac {1} {2}} {egin {vmatrix} 1 & 1 & 1 x_ {1} & x_ {2} & x_ {3} y_ {1} & y_ {2} & y_ {3} end { vmatrix}}}$

Если координаты записывать по часовой стрелке, то значение определителя будет ${displaystyle -mathbf {A}.}$

Переставляем по-другому

${displaystyle mathbf {A} = {frac {1} {2}} | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {2} y_ { 1} -x_ {3} y_ {2} -x_ {1} y_ {3} |}$

которая является формой формулы шнурка. Эту формулу можно расширить, чтобы найти площадь любого многоугольника, поскольку простой многоугольник можно разделить на треугольники.

По координатам четырехугольника найдите его площадь ${displaystyle mathbf {A} _ {ext {quad.}}}$.

Доказательство для четырехугольника и общего многоугольника

Нахождение площади четырехугольника демонстрирует, как формула шнурков обобщается на любой многоугольник путем деления многоугольника на треугольники. Рассмотрим фигуру четырехугольника, координаты которого отмечены в порядке против часовой стрелки. Четырехугольник разделен на два треугольника с площадями ${displaystyle mathbf {A}}$ и ${displaystyle mathbf {B}.}$ Используя формулу треугольника для каждого треугольника, мы получаем

${displaystyle mathbf {A} = {frac {1} {2}} (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ {2} y_ { 1} -x_ {3} y_ {2} -x_ {1} y_ {3})}$

${displaystyle mathbf {B} = {frac {1} {2}} (x_ {1} y_ {3} + x_ {3} y_ {4} + x_ {4} y_ {1} -x_ {3} y_ { 1} -x_ {4} y_ {3} -x_ {1} y_ {4})}$

Поскольку оба треугольника были начерчены против часовой стрелки, обе области положительны, и мы получаем площадь четырехугольника, складывая две области. Последний положительный член и последний отрицательный член ${displaystyle mathbf {A}}$ отменить с первым положительным членом и первым отрицательным членом ${displaystyle mathbf {B}}$ давая

${displaystyle mathbf {A} _ {ext {quad.}} = {frac {1} {2}} (x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {4 } + x_ {4} y_ {1} -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} -x_ {4} y_ {3} -x_ {1} y_ {4})}$

Примеры

Пользователь должен знать точки многоугольника на декартовой плоскости. Например, возьмите треугольник с координатами {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Возьми первый Икс-координируйте и умножьте на секунду у-значение, затем возьмем второе Икс-координируйте и умножьте на треть у-значение, и повторите столько раз, пока это не будет сделано для всех требуемых очков. Это можно определить по следующей формуле:^[9]

${displaystyle mathbf {A} _ {ext {tri.}} = {1 больше 2} | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {1} -x_ { 2} г_ {1} -x_ {3} г_ {2} -x_ {1} г_ {3} |}$

за Икс_я и у_я представляющий каждую соответствующую координату. Эта формула является просто расширением приведенных выше для случая n = 3. Используя ее, можно найти, что площадь треугольника равна половине абсолютная величина из 10 + 32 + 7 - 4 - 35 - 16, что равно 3. Количество переменных зависит от количества сторон многоугольник. Например, пятиугольник будет определено до Икс₅ и у₅:

${displaystyle mathbf {A} _ {ext {pent.}} = {1 больше 2} | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {4} + x_ { 4} y_ {5} + x_ {5} y_ {1} -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} -x_ {4} y_ {3} -x_ {5} y_ {4 } -x_ {1} y_ {5} |}$

А четырехугольник будет определено до Икс₄ и у₄:

${displaystyle mathbf {A} _ {ext {quad.}} = {1 больше 2} | x_ {1} y_ {2} + x_ {2} y_ {3} + x_ {3} y_ {4} + x_ { 4} y_ {1} -x_ {2} y_ {1} -x_ {3} y_ {2} -x_ {4} y_ {3} -x_ {1} y_ {4} |}$

Более сложный пример

Рассмотрим многоугольник, определяемый точками (3,4), (5,11), (12,8), (9,5) и (5,6), который показан на следующей диаграмме:

Рисунок этого примера

Площадь этого многоугольника:

${displaystyle {egin {align} mathbf {A} & = {1 over 2}, {ig |} 3 imes 11 + 5 imes 8 + 12 imes 5 + 9 imes 6 + 5 imes 4 & {} qquad {} - 4 imes 5-11 imes 12-8 imes 9-5 imes 5-6 imes 3 {ig |} [10pt] & = {60 over 2} = 30end {выровнено}}}$

Этимология

Причина, по которой эта формула называется формулой шнурка, заключается в том, что для ее оценки используется общий метод. Этот метод использует матрицы. В качестве примера выберите треугольник с вершинами (2,4), (3, −8) и (1,2). Затем постройте следующую матрицу, «обойдя» треугольник и закончив его начальной точкой.^[10]

${displaystyle {egin {bmatrix} 2 & 4 3 & -8 1 & 2 2 & 4end {bmatrix}}}$

Сначала проведите диагональ вниз и вправо косой чертой (как показано ниже),

и умножьте два числа, соединенных каждой косой чертой, затем сложите все произведения: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6. Сделайте то же самое с косой чертой по диагонали вниз и влево (показано ниже с косой чертой вниз):

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8. Затем возьмите разность этих двух чисел: | (−6) - (8) | = 14. Уменьшение вдвое дает площадь треугольника: 7. Такая организация чисел упрощает вспоминание и оценку формулы. Матрица со всеми прорисованными косыми чертами напоминает туфлю с натянутыми шнурками, что дает название алгоритму.

Смотрите также

• Планиметр
• Теорема Пика
• Формула Герона

внешняя ссылка

• Видео математика о формуле шнурка Гаусса

Рекомендации