WikiDer > Симплициальная предпучка

В математике, а точнее в теория гомотопии, а симплициальный предпучок это предпучка на сайт (например, категория из топологические пространства) принимая значения в симплициальные множества (т.е. контравариантный функтор с сайта в категорию симплициальных множеств). Эквивалентно, симплициальный предпучок - это симплициальный объект в категории предпучков на сайте. Понятие было введено А. Джоялом в 1970-х годах.^[1] Аналогично симплициальная связка на сайте есть симплициальный объект в категории снопы на сайте.^[2]

Пример: рассмотрим эталонный сайт схемы S. Каждый U на сайте представляет собой предпучок ${ displaystyle operatorname {Hom} (-, U)}$. Таким образом, симплициальная схема, симплициальный объект в узле, представляет собой симплициальный предпучок (фактически, часто симплициальный пучок).

Пример: пусть грамм быть предпучком группоидов. Затем принимая нервы в разрезе получается симплициальный предпучок ${ displaystyle BG}$. Например, можно установить ${ displaystyle B operatorname {GL} = varinjlim B operatorname {GL_ {n}}}$. Подобные примеры появляются в K-теории.

Если ${ displaystyle f: от X до Y}$ является локальной слабой эквивалентностью симплициальных предпучков, то индуцированное отображение ${ Displaystyle mathbb {Z} е: mathbb {Z} X to mathbb {Z} Y}$ также является локальной слабой эквивалентностью.

Гомотопические пучки симплициального предпучка

Позволять F быть симплициальной предпучкой на сайте. В гомотопические пучки ${ displaystyle pi _ {*} F}$ из F определяется следующим образом. Для любого ${ displaystyle f: от X до Y}$ на сайте и 0-симплекс s в F(Икс), набор ${ displaystyle ( pi _ {0} ^ { text {pr}} F) (X) = pi _ {0} (F (X))}$ и ${ displaystyle ( pi _ {i} ^ { text {pr}} (F, s)) (f) = pi _ {i} (F (Y), f ^ {*} (s))}$. Затем мы устанавливаем ${ displaystyle pi _ {i} F}$ быть связкой, связанной с предварительным пучком ${ displaystyle pi _ {i} ^ { text {pr}} F}$.

Модельные конструкции

Категория симплициальных предпучков на сайте допускает множество различных модельные конструкции.

Некоторые из них получаются при рассмотрении симплициальных предпучков как функторов

${ displaystyle S ^ {op} to Delta ^ {op} Sets}$

Категория таких функторов наделена (как минимум) тремя модельными структурами, а именно проективной структурой, структурой Риди и инъективной структурой модели. Слабые эквивалентности / расслоения в первом - это отображения

${ Displaystyle { mathcal {F}} to { mathcal {G}}}$

такой, что

${ Displaystyle { mathcal {F}} (U) to { mathcal {G}} (U)}$

является слабой эквивалентностью / расслоением симплициальных множеств для всех U на сайте S. Структура инъективной модели аналогична, но со слабыми эквивалентностями и кофибрациями.

Куча

Симплициальный предпучок F на сайте называется стеком, если для любого Икс и любой гиперпокрытие ЧАС →Икс, каноническое отображение

${ Displaystyle F (X) to operatorname {holim} F (H_ {n})}$

это слабая эквивалентность как симплициальные множества, где правая предел гомотопии из

${ Displaystyle [п] = {0,1, точки, п } mapsto F (H_ {n})}$.

Любая связка F на сайте можно рассматривать как стек, просмотрев ${ Displaystyle F (X)}$ как постоянное симплициальное множество; Таким образом, категория пучков на сайте включается в качестве подкатегории в гомотопическую категорию симплициальных предпучков на сайте. Функтор включения имеет левый сопряженный элемент, и это в точности ${ Displaystyle F mapsto pi _ {0} F}$.

Если А является пучком абелевой группы (на том же сайте), то определим ${ Displaystyle К (А, 1)}$ классифицируя конструкцию пространства по уровням (понятие происходит от теория препятствий) и установите ${ Displaystyle К (А, я) = К (К (А, я-1), 1)}$. Можно показать (по индукции): для любого Икс на сайте,

${ displaystyle operatorname {H} ^ {i} (X; A) = [X, K (A, i)]}$

где слева обозначены когомологии пучка, а справа - гомотопический класс отображений.

Смотрите также

• кубический набор
• N-группа (теория категорий)

Примечания

дальнейшее чтение

• Конрад Фелькель, Модельные структуры на симплициальных предпучках

Рекомендации

• Жардин, Дж. Ф. (2004). "Обобщенные теории когомологий пучков". В Гринлисе, Дж. П. С. (ред.). Аксиоматическая, обогащенная и мотивирующая теория гомотопии. Труды Института перспективных исследований НАТО, Кембридж, Великобритания, 9-20 сентября 2002 г.. Наука НАТО II: математика, физика и химия. 131. Дордрехт: Kluwer Academic. С. 29–68. ISBN 1-4020-1833-9. Zbl 1063.55004.
• Джардин, Дж. Ф. (2007). «Симплициальные предпучки» (PDF).
• Б. Тоен, Симплициальные предпучки и производная алгебраическая геометрия

внешняя ссылка

• Домашняя страница J.F. Jardine