WikiDer > Шесть операций

Six operations

В математика, Шесть операций Гротендика, названный в честь Александр Гротендик, является формализмом в гомологическая алгебра. Первоначально он возник из отношений в этальные когомологии которые возникают из морфизма схемы ж : ИксY. Основная идея заключалась в том, что многие элементарные факты, относящиеся к когомологиям на Икс и Y были формальными следствиями небольшого числа аксиом. Эти аксиомы верны во многих случаях совершенно не связанными с исходным контекстом, и поэтому формальные следствия также имеют место. С тех пор было показано, что формализм шести операций применим к таким контекстам, как D-модули на алгебраических многообразиях, пучки на локально компактных топологических пространствах и мотивы.

Операции

Операции представляют собой шесть функторов. Обычно это функторы между производными категориями, так что на самом деле это левый и правый производные функторы.

Функторы и для мужчин присоединенный функтор пара, как и и .[1] Аналогично внутреннее тензорное произведение слева сопряжено с внутренним Hom.

Шесть операций в этальных когомологиях

Позволять ж : ИксY быть морфизмом схем. Морфизм ж индуцирует несколько функторов. В частности, это дает присоединенные функторы ж* и ж* между категориями пучков на Икс и Y, и это дает функтор ж! прямого имиджа с соответствующей поддержкой. в производная категория, Rf! допускает правый сопряженный ж!. Наконец, при работе с абелевыми пучками существует функтор тензорного произведения ⊗ и внутренний функтор Hom, и они сопряжены. Шесть операций являются соответствующими функторами производной категории: Lf*, Rf*, Rf!, ж!, L, и RHom.

Предположим, что мы ограничиваемся категорией -адические торсионные связки, где взаимно прост с характеристикой Икс и из Y. В SGA 4 III Гротендик и Артин доказали, что если ж гладкая относительной размерности d, тогда Lf* изоморфен ж!(−d)[−2d], куда (−d) обозначить dй обратный Тейт твист и [−2d] обозначает сдвиг по степени −2d. Кроме того, предположим, что ж разделен и имеет конечный тип. Если грамм : Y′ → Y это еще один морфизм схем, если Икс обозначает изменение базы Икс к грамм, и если ж' и грамм′ Обозначают базовые изменения ж и грамм к грамм и жсоответственно, то существуют естественные изоморфизмы:

Снова предполагая, что ж разделен и конечного типа, для любых объектов M в производной категории Икс и N в производной категории Y, существуют естественные изоморфизмы:

Если я это закрытое погружение Z в S с дополнительным открытым погружением j, то в производной категории есть выделенный треугольник:

где первые две карты - это соответственно счет и единица пристроек. Если Z и S регулярны, то имеется изоморфизм:

куда 1Z и 1S единицы операций тензорного произведения (которые различаются в зависимости от категории -адические торсионные пучки).

Если S регулярно и грамм : ИксS, и если K является обратимым объектом в производной категории на S относительно L, затем определим DИкс быть функтором RHom (-, грамм!K). Затем для объектов M и M′ В производной категории на Икс, канонические карты:

являются изоморфизмами. Наконец, если ж : ИксY это морфизм S-схемы, а если M и N объекты в производных категориях Икс и Y, то существуют естественные изоморфизмы:

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Fausk, H .; П. Ху; Дж. П. Мэй (2003). «Изоморфизмы между левым и правым сопряженными» (PDF). Теория Appl. Категория: 107–131. arXiv:математика / 0206079. Bibcode:2002математика ...... 6079F. Получено 6 июн 2013.

внешняя ссылка