WikiDer > Состояние Слейтера - Википедия

В математика, Состояние Слейтера (или же Состояние Слейтера) это достаточное условие за сильная двойственность держать в течение задача выпуклой оптимизации, названный в честь Мортона Л. Слейтера.^[1] Неформально условие Слейтера гласит, что возможный регион должен иметь внутренняя точка (см. технические подробности ниже).

Состояние Слейтера - конкретный пример ограничение квалификации.^[2] В частности, если условие Слейтера выполнено для основная проблема, то разрыв дуальности равно 0, и если двойственное значение конечно, то оно достигается.^[3]

Формулировка

Рассмотрим проблема оптимизации

${ displaystyle { text {Minimize}} ; f_ {0} (x)}$

${ displaystyle { text {при условии:}} }$

${ Displaystyle f_ {я} (х) leq 0, я = 1, ldots, м}$

${ displaystyle Ax = b}$

куда ${ displaystyle f_ {0}, ldots, f_ {m}}$ находятся выпуклые функции. Это пример выпуклое программирование.

Другими словами, условие Слейтера для выпуклого программирования утверждает, что сильная двойственность имеет место, если существует ${ displaystyle x ^ {*}}$ такой, что ${ displaystyle x ^ {*}}$ строго достижимый (т.е. все ограничения выполняются, а нелинейные ограничения удовлетворяются строгими неравенствами).

Математически условие Слейтера утверждает, что сильная двойственность имеет место, если существует ${ displaystyle x ^ {*} in operatorname {relint} (D)}$ (где relint означает относительный интерьер выпуклого множества${ displaystyle D: = cap _ {i = 0} ^ {m} operatorname {dom} (f_ {i})}$) такие, что

${ Displaystyle f_ {я} (х ^ {*}) <0, я = 1, ldots, m,}$ (выпуклые, нелинейные ограничения)

${ Displaystyle Ax ^ {*} = b. ,}$^[4]

Обобщенные неравенства

Учитывая проблему

${ displaystyle { text {Minimize}} ; f_ {0} (x)}$

${ displaystyle { text {при условии:}} }$

${ displaystyle f_ {i} (x) leq _ {K_ {i}} 0, i = 1, ldots, m}$

${ displaystyle Ax = b}$

куда ${ displaystyle f_ {0}}$ выпуклый и ${ displaystyle f_ {i}}$ является ${ displaystyle K_ {i}}$-выпуклый для каждого ${ displaystyle i}$. Тогда условие Слейтера гласит, что если существует ${ displaystyle x ^ {*} in operatorname {relint} (D)}$ такой, что

${ displaystyle f_ {i} (x ^ {*}) <_ {K_ {i}} 0, i = 1, ldots, m}$ и

${ displaystyle Ax ^ {*} = b}$

тогда сохраняется сильная двойственность.^[4]

Рекомендации